Aufgabe zur Parallelschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis

Herzlich willkommen zu einem Video von Doktor Psi. Wir behandeln heute eine Aufgabe zur Parallelschaltung von Widerständen im Wechselstromkreis. Zunächst wiederholen wir die wichtigsten Formeln und dann wollen wir mit Hilfe dieser Formeln versuchen, diese Aufgabe zur Parallelschaltung zu bearbeiten. Ja, die Parallelschaltung von Widerständen kannst du hier in dieser Schaltung sehen: Wir haben einen Ohm’schen Widerstand, einen Kondensator und eine Spule und diese Parallelschaltung wird angetrieben von einer frequenzvariablen Spannung. Wir können aus den Überlegungen zu Strom und Spannung von diesen Widerständen ein Zeigerdiagramm erstellen und insbesondere ein Zeigerdiagramm, wie du es hier siehst, zu den Widerständen. Und der Gesamtwiderstand oder Impedanz, wir sagen auch Scheinwiderstand, der lässt sich aus diesem Diagramm über den Pythagoras sehr schön herleiten. Und diese Impedanz, ich schreibe das mal in dieser Form, wir haben hier eine Platzbegrenzung, das ist dann 1/1R²+(1XC-1XL)², das sind die Wechselstromwiderstände des Kondensators und der Spule. Ja, wenn wir hier in dieser Formel die Zusammenhänge für die Spule, XL= Omega L, L ist die Induktivität der Spule, und für XC, der Wechselstromwiderstand des Kondensators, 1/ Omega C, Omega ist die Kreisfrequenz mit Omega =2 Pi f und C ist die Kapazität des Kondensators, den du hier in der Parallelschaltung der Widerstände siehst. Wir erhalten also, wenn wir diese Werte dort einsetzen, für die Impedanz folgenden Zusammenhang: 1/R², das bleibt stehen, plus, und wenn wir jetzt für XC 1/ Omega C einsetzen, dann wandert das Omega C in den Zähler, minus, XL ist Omega L, 1/ Omega L, in Klammern zum Quadrat. Das also ist der Gesamtwiderstand oder die Impedanz, setzt sich zusammen aus dem Wirkwiderstand und den Blindwiderständen von Kondensator und Spule. Wir können auch die Phasenverschiebung, die hier noch in diesem Dreieck auch zu erkennen ist, ausrechnen über den Tangens. Tangens, Gegenkathete durch Ankathete, und wenn wir dort die entsprechenden Werte einsetzen, gewinnen wir für den Tangens der Phasenverschiebung folgenden Term: Das ist Omega C minus 1/ Omega L, das kann man dort sehen, geteilt durch 1/R. Ja, mit dem Arcustangens oder tan-1 kann man dann die Phasenverschiebung Phi selbst ausrechnen. Für den Effektivstrom gilt: I_effektiv das wäre dann gleich U_effektiv geteilt durch die Impedanz Z. Dann gibt es noch einen besonderen Fall, den wir immer betrachten. Das ist, wenn die Blindwiderstände null sind, das heißt, wenn wir diesen Term gleich null setzen und daraus gewinnen wir dann Omega C=1/ Omega L; für Omega wird 2 Pi f eingesetzt und daraus folgt dann die Resonanzfrequenz für den entsprechenden Parallelkreis. Und diese Resonanzfrequenz ist dann 12L*C. Bei dieser Resonanzfrequenz wirkt diese Parallelschaltung von Widerständen als Sperrkreis; es wird eine ganz bestimmte Frequenz, nämlich diese Resonanzfrequenz, herausgefiltert und gesperrt; und daher ist eben der Name, entsteht dieser Name dieser Parallelschaltung von Widerständen als Sperrkreis. Das wären so die wichtigsten Formeln, die wir zur Lösung der Aufgabe, die wir gleich besprechen werden, an geeigneten Stellen brauchen werden. Ja, hier ist nun unsere Textaufgabe zur Parallelschaltung von Kondensator und Ohm’schem Widerstand. Du siehst hier die entsprechende Schaltung: Parallel sind der Ohm’sche Widerstand und der Kondensator geschaltet und wir sehen hier eine Spannungsquelle mit einer frequenzvariablen Spannung. Die gegebenen Größen siehst du hier: R, der Widerstand, beträgt 3 Omega, die Kapazität des Kondensators 70 My F, die Spannung, die anliegt, 10V und wir behandeln den Fall, dass die Frequenz 500Hz sei. Wir suchen den Widerstand des Kondensators, den Wechselstromwiderstand XC, die Impedanz Z und die Stromstärke in den Einzelkreisen und im gesamten Kreis und wir wollen die Phasenverschiebung Phi, diesmal nicht über den Tangens, können wir natürlich auch, sondern aus einem Stromstärkezeigerdiagramm ablesen. Ja, berechnen wir also zunächst den Wert von XC; die Formel zur Berechnung von XC haben wir in der Wiederholung nochmal dargestellt, das ist 1/ Omega C, Omega ist die Kreisfrequenz und C ist die Kapazität. Wir setzen für Omega 2Pi f ein und für die Kapazität zunächst mal C; und wenn wir die Werte einsetzen, dann gewinnen wir also folgende Darstellung: 2 Pi mal f, sind 500Hz, und die Kapazität beträgt 70 My F; und wenn wir das ausrechnen, und du solltest das unbedingt nachrechnen mit dem Taschenrechner, dann gewinnen wir hier einen Widerstand von 4,5 Omega. Noch eine Bemerkung zur Lösung von Textaufgaben: Wir haben hier ein Ergebnis, ich markiere die vielleicht mit einem Doppelstrich; wenn du eine solche Textaufgabe in der Schule löst, dann solltest du dir immer angewöhnen, Antwortsätze zu formulieren, und zwar vollständige Antwortsätze; die werden erwartet und auch gelegentlich entsprechend bewertet. Kommen wir nun zur Ermittlung der Impedanz, Z: Z war, ich notiere noch einmal die Formel: eins geteilt durch Wurzel 1/R² plus, und ich setze hier gleich für die entsprechenden Wechselstromwiderstände die Formeln ein, 1/ Omega C müssen wir hier als Bruch betrachten, dann kehrt sich Zähler und Nenner um und wir haben Omega C im Zähler, minus 1/ Omega L, in Klammern zum Quadrat, die Wurzel wird hier vervollständigt und hier können wir jetzt einsetzen. Das gibt dann 1 geteilt durch Wurzel, R ist 3 Omega, also ich rechne jetzt hier ohne Einheiten, das ist 1/3² plus, und du siehst, eine Induktivität kommt hier gar nicht vor, also ist dieser Term null, es bleibt übrig Omega ²C, das ist der Widerstand, der hier berechnet wurde, das ist dann 1/4,5², und wenn wir das ausrechnen, ist es 2,5; und damit haben wir für den gesamten, für den Widerstand 2,5 Omega. Ja, als nächstes ist die Berechnung der Stromstärken durchzuführen. Die Stromstärke I ist gleich U, die angelegte Spannung, 10 Volt, geteilt durch die Impedanz, die wir gerade berechnet haben, 2,5 Omega, und das gibt gleich 4A. Die Stromstärke IR, nehmen wir das als nächstes, das ist U/R, das sind dann hier 10 Volt geteilt durch, R ist, wir lesen dort ab, 3 Omega, und das sind 3,3A. Ja, und dann zum Schluss bleibt noch übrig, IC zu berechnen. IC ist U/XC und, den Wert haben wir da oben stehen, 10 Volt geteilt durch 4,5Omega; und da haben wir einen Wert von, ja, schreiben wir ungefähr 2A. Ja, das sind die Werte, die hier berechnet werden, und wenn wir uns der nächsten Aufgabe zuwenden, Phi aus einem Stromstärkezeigerdiagramm zu ermitteln, dann können wir uns das Stromstärkezeigerdiagramm hier mal anschauen und das sehen wir jetzt hier. Die Bezugsgröße ist die Spannung, die tragen wir nach rechts auf und können gleichzeitig IR dort auftragen; das ist dieser Pfeil, wenn wir jetzt einen geeigneten Maßstab wählen, dann können wir also IR hier wie einen Vektor, eine gerichtete Größe, über die Spannung legen; bei einem Ohm’schen Widerstand sind ja Stromstärke und Spannung in Phase, deswegen liegen die aufeinander; und bei einem Kondensator hingegen eilt die Stromstärke der Spannung um Pi /2 voraus und daher zeigt IC nach oben. Wir können den Zeiger, den Anfangspunkt des Zeigers, an den Endpunkt des Zeigers von IR setzen und verbinden dann den Nullpunkt mit dem Endpunkt und gewinnen dort ein Dreieck. Dieser grüne Zeiger ist die Gesamtstromstärke. Bei einem geeigneten Maßstab können wir hier eben entsprechend ablesen die Länge; und wir finden dort auch die Länge von, in Anführungsstrichen, 4A. Wir haben hier eben Zeiger, die wie Vektoren behandelt werden, und die Beträge entsprechen den physikalischen Werten für die Stromstärke. Ja, wenn wir jetzt uns in diesem Diagramm noch einmal beschäftigen mit der Phasenverschiebung, so ist der Winkel zwischen der Stromstärke IR und der Gesamtstromstärke I die Phasenverschiebung Phi; und wenn wir die jetzt mit einem Geodreieck einfach mal abmessen würden, so würden wir erhalten, dass Phi ungefähr 34° ist. Im Übrigen könntest du, wenn du jetzt die Phasenverschiebung noch berechnen wolltest, könntest du mit tan (Phi) das überprüfen und könntest hier IC/IR rechnen; und das solltest du auch tun, um unseren Wert, den wir hier geometrisch gewonnen haben, numerisch oder algebraisch einfach noch mal nachrechnen. Ja, das war eine kleinere Aufgabe zur Parallelschaltung. Das Besondere an dieser Aufgabe ist also nicht das übliche Rechnen; die Formeln kennst du, die kannst du aus jeder Formelsammlung entnehmen; die Werte können eingesetzt werden, natürlich muss man beachten, dass man einmal ohne Einheiten rechnet, zum Schluss schreibt man dann die Einheiten dazu, formuliert einen Antwortsatz; und das Besondere, wie gesagt, war die Ermittlung der Phasenverschiebung aus einem Stromstärkezeigerdiagramm. Ja, das war’s für heute. Vielleicht hast du hoffentlich alles gut verstanden und, na ja, vielleicht auch ein bisschen Spaß dabei. Und wir sehen uns bestimmt wieder bei einem der nächsten Videos von Doktor Psi. Tschüss!