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Wachstum von Populationen

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Mtoto
Wachstum von Populationen
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Wachstum von Populationen

Inhalt

Wachstum von Populationen – Biologie

Sicher hattest du schon mal eine Krankheit, die durch Bakterien verursacht wurde. Von der Infektion bis zum Ausbruch der Krankheit vergehen meist wenige Tage. Warum das so ist und was das mit dem Populationswachstum und der Populationsökologie zu tun hat, erfährst du im folgenden Text.

Wachstum von Populationen – Definition und Wachstumsrate

Unter einer Population versteht man in der Biologie alle Individuen einer Art. So bilden zum Beispiel alle Menschen auf der Erde zusammen eine globale Population. Das Populationswachstum ist dabei die Zu- oder Abnahme einer Population. Man meint damit, dass Individuen einer Art dazukommen oder weniger werden – was durch verschiedene Einflussfaktoren bestimmt wird. Geburten und Zuwanderungen führen zu einer Zunahme von Populationen. Sterbefälle und Abwanderungen führen zu einer Abnahme der Population.

Mit der Wachstumsrate ($r$) kannst du auf einen Blick erkennen, ob eine Population zunimmt oder abnimmt. Sie gibt dir die relative Veränderung der Anzahl der Individuen innerhalb eines Zeitraums an.

  • $r < 0 \Longrightarrow$: Abnahme der Population
  • $r > 0 \Longrightarrow$: Zunahme der Population

Doch wie kann man das Populationswachstum berechnen? Für die Berechnung unterscheidet man zwischen zwei mathematischen Modellen, dem exponentiellen und dem logistischen Populationswachstum, die wir dir in den nächsten Abschnitten näher erklären.

Exponentielles Populationswachstum

Bevor wir uns das exponentielle Wachstum ansehen, sollten wir kurz klären, was exponentiell überhaupt bedeutet. Innerhalb einer exponentiellen Zahlenreihe verdoppeln sich die Zahlenwerte. Diese sieht also wie folgt aus: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 ... Du siehst, die Werte der Zahlen steigen aufgrund der Verdoppelungen sehr schnell an. Am besten veranschaulichen kann man sich das durch ein Blatt Papier. Wird es einmal in der Mitte gefaltet, erhält man zwei Lagen Papier. Faltest man es noch einmal in der Mitte, dann sind es vier, nach nochmaligem Falten acht und so weiter.

In Bezug auf das Wachstum einer Population ist dieses also unbegrenzt. Das bedeutet, dass sich Lebewesen ohne Beschränkung vermehren können. Ein Beispiel für exponentielles Wachstum ist die Vermehrung von Bakterien, wenn diese in unseren Körper eindringen. Geht man davon aus, dass wir uns mit 100 pathogenen Bakterien infizieren, die sich alle 20 Minuten verdoppeln, sind es nach zwei Stunden bereits 6 400. Haben die Bakterien also genug Nahrung und Platz zum Leben, vermehren sie sich ungehindert weiter. Die Infektion schreitet fort und die Krankheit bricht aus.

Das exponentielle Wachstum ist in dem folgenden Bild grafisch dargestellt:

Schematische Darstellung des exponentiellen Populationswachstums

Um zum Beispiel zu ermitteln, wie sich das Populationswachstum entwickelt, kann man die Anzahl ($N$) nach einer bestimmten Zeit ($t$) mit folgender Formel berechnen:

Formel Variablen
$N_t = N_0 \cdot {(1+r)}^t$ $ N_t \text{: Anzahl nach einer bestimmten Zeit } t$
$N_0 \text{: Anfangszahl}$
$r \text{: Wachstumsrate}$
$t \text{: Zeit}$

Da Populationen oftmals keine unendlichen Ressourcen für das Wachstum zur Verfügung stehen, wurde das mathematische Modell zum sogenannten logistischen Populationswachstum erweitert.

Logistisches Populationswachstum

Das logistische Wachstum ist eine Weiterentwicklung des exponentiellen Populationswachstums und berücksichtigt eine Begrenzung durch Ressourcen. Kommen wir noch einmal auf das Beispiel mit unserem Blatt Papier zurück, wäre hier die Begrenzung durch die Größe des Blatts gegeben. Es lässt sich also nicht unbegrenzt falten, da es nach jeder Faltung kleiner wird.

In Bezug auf eine biologische Population liegt eine Begrenzung durch Ressourcen beispielsweise aufgrund einer Nahrungsknappheit vor. Wenn nicht mehr ausreichend Nahrung vorhanden ist, kann die Population sich nicht weiter vermehren. Das heißt, die maximale Anzahl an Individuen in einem Lebensraum ist erreicht, was als Kapazität ($K$) bezeichnet wird. An diesem Punkt ist die Abnahme an Individuen also genauso groß wie die Zunahme.

Der Verlauf des logistischen Wachstums ist in dem folgenden Bild grafisch dargestellt:

Schematische Darstellung des logistischen Populationswachstums

Würde man Bakterien im Labor in ein kleines Reagenzglas mit Nährlösung geben, wäre ihr Wachstum durch die limitierte Nahrungsquelle begrenzt. Die Bakterien würden sich nach einiger Zeit nicht mehr vermehren, wenn die Kapazität erreicht ist. Es sterben dann gleich viele Bakterien, wie neue durch Verdoppelungen entstehen. Nun folgt das Populationswachstum aufgrund der Begrenzung also der logistischen Funktion.

Das logistische Populationswachstum kann mit der folgenden Formel berechnet werden:

Formel Variablen
$\ce{N_t{+}1}$ $\ce{= N_t + N_t \cdot r_0 \cdot (1- \frac{{N}_t}{K})}$ $N_{t+1} \text{: Anfangszahl}$
$ N_t \text{: Anzahl nach einer bestimmten Zeit} (t)$
$r \text{: Wachstumsrate}$
$K \text{: Kapazität}$

Bedeutung des Populationswachstums – Ökologie

Die Berechnung des Populationswachstums ist nicht nur für Bakterienkulturen im Labor wichtig. Forschende versuchen dadurch beispielsweise, die Populationsentwicklung von Bevölkerungsgruppen zu berechnen, um Auswirkungen auf die Umwelt, verfügbare Nahrungsmittel und das Klima abschätzen zu können. Dabei handelt es sich eher um eine Annäherung, da viele unterschiedliche Wechselbeziehungen Populationen beeinflussen, was sich sowohl auf die Zunahme als auch Abnahme von Individuen auswirkt.

Eine verbesserte medizinische Versorgung und höhere Hygienestandards führen zum Beispiel zu einer längeren Lebenszeit. Hingegen können Kriege und Hungersnöte durch Dürreperioden die Sterberate erhöhen beziehungsweise die Geburtenrate senken.

Populationswachstum und Fortpflanzungsstrategien

Darüber hinaus beeinflussen Wechselbeziehungen zwischen Lebewesen und Umwelt das Populationswachstum auch aufgrund verschiedener Fortpflanzungsstrategien. In der Ökologie unterscheidet man grundsätzlich zwischen zwei biologischen Konzepten, wobei man von den sogenannten R-Strategen und K-Strategen spricht.

R-Strategen zeichnen sich durch eine hohe Reproduktionsrate (R) aus. Sie bekommen viele Nachkommen auf einmal, da die Brut nicht gepflegt oder verteidigt wird. Damit wird sichergestellt, dass ausreichend Individuen aufgrund von Fressfeinden überleben. Diese Art der Fortpflanzung verfolgen beispielsweise Frösche und Blattläuse.

K-Strategen definieren sich hingegen durch eine geringe Reproduktionsrate, da sich diese Populationen bereits an der Kapazitätsgrenze (K) aufgrund verfügbarer Ressourcen befinden. Die Überlebenschancen der Nachkommen wird durch eine intensive Brutpflege und Aufzucht (hohe Investitionskosten) sichergestellt. Diese Strategie der Fortpflanzung wird beispielsweise von Löwen, Elefanten und Delfinen verfolgt. Auch der Mensch gehört zu den K-Strategen.

Dieses Video

In diesem Video lernst du das biologische Wachstum von Populationen kennen. Mit dem exponentiellen Populationswachstum kannst du die Anzahl der Individuen nach einer gewissen Zeit berechnen, die sich unbegrenzt vermehren. Mit dem logistischen Wachstum kannst du die Anzahl an Individuen berechnen, deren Wachstum durch Ressourcen begrenzt wird.

Im Anschluss an das Video und diesen Text findest du Übungsaufgaben und Arbeitsblätter zum Wachstum von Populationen, um dein erlerntes Wissen zu überprüfen. Wenn du mehr zum Thema Populationswachstum erfahren möchtest, schau dir auch das Video Räuber-Beute-Beziehung – die Lotka-Volterra-Regeln an. Viel Spaß!

Transkript Wachstum von Populationen

Hallo. Bestimmt hattest du schon einmal eine Krankheit, die durch Bakterien verursacht wurde. Eine Lungenentzündung, Angina oder Scharlach zum Beispiel. Auch Karies wird durch Bakterien ausgelöst. Zwischen der Infektion, also der Ansteckung, und dem Ausbruch der Krankheit liegt meist nur eine kurze Zeitspanne. Warum ist das so? In diesem Video geht es um das Wachstum von Populationen. Du wirst lernen, welche Modelle es gibt, wie man Wachstum berechnen kann und wodurch Wachstum begrenzt wird. Die Anzahl der in einer Population lebenden Individuen wird durch verschiedene Einflussfaktoren bestimmt. Es gibt Geburten, Sterbefälle, Zuwanderungen und Abwanderungen. Die relative Veränderung der Anzahl an Individuen mit der Zeit ist die Wachstumsrate r. Ist sie negativ, nimmt die Population ab. Dies ist zum Beispiel bei der Bevölkerung in Deutschland der Fall. Ist die Wachstumsrate positiv, gibt es mehr Geburten und Zuwanderungen als Sterbefälle beziehungsweise auswandernde Individuen. Die Population wächst. Die Dichte, also die Anzahl an Individuen pro Fläche, nimmt zu. Ist dieses Wachstum unbegrenzt, spricht man vom einfachen Modell des exponentiellen Wachstums. Bakterien vermehren sich zum Beispiel nach einer Neuinfektion oft exponentiell. Sie teilen sich ungehindert, bis der Körper die Erreger erkennt und Antikörper bilden kann. Hier siehst du die unbegrenzte Wachstumsrate zu diesem Modell in einem Diagramm. Je mehr Zeit vergeht, desto größer ist die Anzahl an Individuen. Natürlich ist diese Phase zeitlich begrenzt. Werden die Ressourcen knapp, kommt auch das Wachstum einer Population zum Erliegen. Hier kommen wir zum zweiten, weiter entwickelten Modell des logistischen Wachstums. Schauen wir uns zum Beispiel eine Population von Mehlkäfern an. Ist genug Mehl für die Larven der Käfer vorhanden, wächst die Population exponentiell. Geht die Nahrungsressource zur Neige, zum Beispiel wenn nur einmal im Monat eine neue Packung Mehl gekauft wird, kommt das Populationswachstum zum Stillstand. Es gibt nicht mehr genug Futter, um noch mehr Mehlwürmer zu ernähren. In diesem Diagramm siehst du, dass mit steigender Anzahl an Individuen die Geburtenrate sinkt und die Sterberate ansteigt. An dem Punkt, an dem beide gleich groß sind, ist die Kapazität, also die maximale Anzahl an Individuen in einem Lebensraum erreicht. Hier siehst du noch einmal die Kapazitätsgrenze der Mehlkäferpopulation. Doch kann man nach diesen Modellen das Populationswachstum berechnen? Im Allgemeinen ist dieser Blick in die Zukunft sehr schwierig. Da viele Faktoren ignoriert werden. Trotzdem versuchen Wissenschaftler zum Beispiel die Bevölkerungszahlen vorauszusagen, um Folgen abzuschätzen. Beim exponentiellen Wachstum ist die Formel einfach. Die Individuenzahl nach einer bestimmten Zeitspanne entspricht der Individuenzahl vom Anfang multipliziert mit 1 plus der Wachstumsrate hoch der Zeitspanne. Nehmen wir zum Beispiel eine Population von fünf Elefanten. Pro Jahr wird ein Elefant geboren. Die Wachstumsrate liegt also bei einem Fünftel, r=0,2. Nach einem Jahr haben wir N1=5(1+0,2)1. Das entspricht sechs Elefanten. Nach vier Jahren haben wir N4=5(1+0,2)4. Also schon 10,368 Elefanten. Dieser Wert muss natürlich auf zehn Elefanten abgerundet werden und ist nur eine Schätzung. Die Formel für logistisches Wachstum ist etwas komplizierter. Sie lautet: Nt+1=Nt plus die Individuenzahl nach einer bestimmten Zeitspanne entspricht der Anfangsanzahl plus der Anfangsanzahl multipliziert mit der Wachstumsrate und multipliziert mit eins minus der Anfangsanzahl geteilt durch die Kapazität K. In unserem Reservat gibt es genug Ressourcen, um 100 Elefanten aufzunehmen. Also liegt unsere Kapazität K bei 100. Nach zehn Jahren haben wir bereits eine Population von zehn Elefanten. Nun berechnen wir die vermutete Anzahl an Individuen im elften Jahr, also N10+1. N10+1=10+100,2(1-10/100). Das sind 11,8. Aufgerundet entspricht das zwölf Elefanten. Fassen wir noch einmal zusammen: Die Größe einer Population verändert sich ständig durch Geburten, Sterbefälle, Einwanderung und Abwanderung. Diese Werte der relativen Veränderung der Anzahl an Individuen heißen Wachstumsraten. Das einfachste Modell ist das des exponentiellen Wachstums. Es setzt voraus, dass alle Ressourcen unbegrenzt verfügbar sind. Die Formel zur Berechnung lautet: Nt=N0(1+rt. Entwickelt man das Modell weiter, kommt man auf das logistische Wachstum. Die Ressourcen pro Individuum sind begrenzt. Ist die maximale Anzahl an Individuen in einem Lebensraum erreicht, spricht man von der Kapazitätsgrenze. Die Geburtenrate entspricht der Sterberate. Die Zahl der Individuen zu einem Zeitpunkt in der Zukunft lässt sich mit der Formel Nt+1=Nt+Ntr0*(1-Nt/K) berechnen. Jetzt weißt du jedenfalls Bescheid, wie das mit dem Wachstum von Populationen funktioniert. Sei es bei Elefanten in einem Nationalpark, dem Bevölkerungswachstum auf der Erde oder bei Bakterien in deinem Körper. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

Wachstum von Populationen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wachstum von Populationen kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne Faktoren, welche die Größe von Populationen beeinflussen können.

    Tipps

    Überlege dir, welch Mechanismen dazu führen, dass mehr bzw. weniger Tiere in einer Population leben.

    Lösung

    Zuwanderung und Geburten sorgen für eine Vergrößerung einer Population, Sterbefälle und Abwanderung für eine Verkleinerung der Population.

  • Nenne die Formel für die Berechnung der exponentiellen Wachstumsrate.

    Tipps

    Achte genau auf die Variablen.

    Lösung

    Die exponentielle Wachstumsrate berechnet man folgendermaßen.

  • Berechne die Wachstumsrate r und die Anzahl der Giraffen N nach 5 Jahren mit Hilfe des exponentiellen Wachstumsmodells.

    Tipps

    Achte auf die dick gedruckten Angaben in der Aufgabe. Sie geben dir an, wie viel die Population im ersten Jahr wächst.

    Die Wachstumsrate ist der Anteil, um den die Population in jedem Teilschritt wächst. Gib sie als Dezimalzahl an.

    Hier sieht du die Formel für das exponentielle Wachstum. Welche Werte kennst du schon und welche Werte musst du noch berechnen?

    Lösung

    Mit Hilfe dieser Formel kannst du die Anzahl der Tiere nach 5 Jahren berechnen.

    $N_{0}$ ist die Anzahl der Tiere, welche zunächst in der Herde sind. Hier in dem Fall 8 Tiere. r ist die Wachstumsrate, welche man berechnet, indem man die Anzahl der Neugeborenen (2 Tiere) durch die Gesamtanzahl (8 Tiere) dividiert. t ist der Zeitraum, der betrachtet wird, in diesem Fall 5 Jahre. Setzt man nun alles in die Formel ein, erhält man 24,4 Tiere. Dieser Wert wird auf 24 Tiere abgerundet.

  • Erläutere, um welches Wachstumsmodell es sich bei den Kaninchen der Insel Ökunoshima handelt.

    Tipps

    Überlege dir, was es für die Kaninchen bedeutet, wenn sie keine natürlichen Feinde haben und genügend Platz.

    Lösung

    Es handelt sich um exponentielles Wachstum. Die Kaninchen haben alle Ressourcen unbegrenzt zur Verfügung und können sich daher ungestört immer weiter vermehren. Irgendwann, wenn die Insel zu voll wird, ist ihre Kapazität erreicht und es wird sich ein logistisches Wachstum einstellen.

  • Erkläre, um welches Wachstumsmodell es sich handelt.

    Tipps

    Überlege dir, ob die Ressource Mehl für den Mehlkäfer begrenzt wird und welches Modell dieses Merkmal hat.

    Lösung

    Indem der Bäcker den Mehlkäfern weniger Mehl zur Verfügung stellt, begrenzt er die Ressourcen der Mehlkäfer. Das führt dazu, dass Lebensraum knapp wird und sich nicht mehr so viele Mehlkäfer entwickeln können, weil sie miteinander in Konkurrenz stehen z.B. um Nahrung, Platz etc. Deshalb bleibt die Anzahl der Mehlkäfer irgendwann konstant. Steigt die Populationsgröße zunächst exponentiell und bleibt dann konstant, dann spricht man von einem logistischen Wachstum.

  • Erläutere, wie man mit dem logistischen Wachstumsmodell Voraussagen über die Größe einer Population treffen kann.

    Tipps

    Überlege dir, welche Angabe die Wachstumsrate ist.

    Hier siehst du die allgemeine Formel des logistischen Wachstumsmodells.

    $N_{t+1}$ ist Anzahl der Individuen im nächsten Zeitschritt. Wo findest du die aktuelle Anzahl?

    Das logistische Wachstum erreicht mit der Zeit seine Kapazität.

    Lösung

    Die Anzahl einer Population nach einer bestimmten Zeit berechnet man folgendermaßen:

    aktuelle Anzahl + aktuelle Anzahl x Wachstumsrate x (1 - aktuelle Anzahl : Kapazität).

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