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Zeitdilatation

Die Zeitdilatation in der speziellen Relativitätstheorie besagt, dass Zeit langsamer verläuft in einem System, das sich relativ zu einem Beobachter bewegt. Dieser Effekt entsteht aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Interessiert? Das und vieles mehr erfährst du im folgenden Video!

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Zeitdilatation
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Zeitdilatation Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zeitdilatation kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Parameter, die die Zeitdilatation maßgeblich beeinflussen.

    Tipps

    Zeitdilatation beschreibt die Effekte der Dehnung der Zeit.

    Die Schallgeschwindigkeit ist sehr viel geringer als die Lichtgeschwindigkeit.

    Zeitdilatation tritt nur bei sehr großen Geschwindigkeiten auf.

    Lösung

    Die Zeitdilatation wird mit der nebenstehenden Formel beschrieben.

    Darin ist $t'$ die gedehnte Zeit, $t$ die gemessene Zeit, $v$ die relative Geschwindigkeit und $c$ die konstante Lichtgeschwindigkeit.

    Damit ist klar, dass dies die wesentlichen Parameter sind, welche Einfluss auf die Zeitdilatation nehmen.

    Für die Lichtgeschwindigkeit reicht es meistens aus, diese mit $3,0 \cdot 10^8 \frac{m}{s}$ anzugeben. Genauer wäre $ 2,99792 \cdot 10^8 \frac{m}{s}$. Dadurch würde die Berechnung jedoch viel aufwendiger.

    Die gemessene Zeit erhalten wir in der Einheit $s$, da diese auf die Einheit der Geschwindigkeit $\frac{m}{s}$ angepasst sein muss.

    Die Geschwindigkeit des Schalls spielt bei der Berechnung keine Rolle, denn wir betrachten ja auch Effekte, die sich direkt visuell bemerkbar machen, also mit Licht zu tun haben und keine, die akustisch, also auf Schall zurückzuführen sind.

  • Gib an, was Zeitdilatation ist.

    Tipps

    Wichtig ist, dass sich zwei Systeme relativ zueinander bewegen.

    Hier siehst du eine Lichtuhr im Schema.

    Lösung

    Die Zeit in einem relativ zu einem Beobachter bewegten System wird von ihm verlangsamt wahrgenommen.

    Je schneller die Relativbewegung ist, desto größer ist die Zeitdilatation, also die Zeitdehnung.

    Mit einer Lichtuhr kann man diesen Effekt gut beobachten, sobald sich diese sehr schnell bewegt.

    Sehr wichtig ist, dass die Bewegung relativ zwischen zwei Systemen stattfinden muss. Bewegen sich zwei Systeme sehr schnell aber parallel zueinander, ist die Relativbewegung $v_r = 0$. Damit tritt zwischen diesen Systemen keine Zeitdilatation auf.

  • Berechne die Zeitdilatation, die durch die relative Bewegung zweier Systeme entsteht.

    Tipps

    Gib die Geschwindigkeiten immer in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ an.

    Rechne $1 \text{min} = 60\text{s}$.

    Lösung

    Mit der gezeigten Formel lässt sich der Betrag der gedehnten Zeit berechnen. In dieser ist $t'$ die gedehnte Zeit, $t$ die gemessene Zeit, $v$ die relative Geschwindigkeit und $c$ die Lichtgeschwindigkeit.

    Das Vorgehen ist an einem Beispiel leicht zu erkennen:

    Zwei Inertialsysteme bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von $ v= \frac{2}{3} \cdot c $ relativ voneinander weg.

    Wir haben $t = const. = 1 \text{min} = 60\text{s}$ , $c = 3 \cdot 10^8 \frac{\text{m}}{\text{s}} $ und $ v = \frac{2}{3} \cdot c $.

    Damit ergibt sich :

    $t' = \frac{60s}{\sqrt{1-\frac{\frac{2}{3} \cdot c^2}{c^2}}}$.

    Nach Vereinfachen ergibt sich :

    $t' = \frac{60\text{s}}{\sqrt{1-\frac{0,4444}{1}}} = \frac{60\text{s}}{0,7454} = 80,498 \text{s} $.

    Die gedehnte Zeit nimmt den Wert $ t' = 80,498 s $ an und ist damit um $\Delta t = 80,498 \text{s} - 60 \text{s} = 20,498 \text{s}$ länger als die Zeit $t$.

  • Leite die Formel her.

    Tipps

    Ziel der Herleitung ist : $t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

    Stelle die Formel nach $t'$ um.

    Lösung

    $(ct')^2 = (ct)^2 + (vt')^2 → c^2t^2 = c^2t'^2 – v^2t'^2 $

    Nach $t$ ergibt sich :

    $t^2 = t'^2 \cdot \frac{c^2-v^2}{c^2}$. Mit Wurzel ziehen ergibt sich :

    $t = t' \cdot \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} → t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$.

    Die Zeitdilatation $t'$ geht also mit der Annäherung der relativen Geschwindigkeit $c$ an die Lichtgeschwindigkeit $c$ immer stärker gegen unendlich.

  • Nenne die Bestandteile der Lichtuhr.

    Tipps

    Der Winkel zwischen den Lichtstrahlen ist zu vernachlässigen ( \lim \alpha -> 0 ).

    $ t = \frac {L}{c} $

    Lösung

    Eine Lichtuhr besteht aus zwei, sich gegenüber stehenden Spiegeln. Zwischen diesen pendelt ein Lichtstrahl hin und her. An den Spiegeloberflächen wird dieser immer wieder reflektiert. Kennt man den Spiegelabstand L, kann man aus der Lichtgeschwindigkeit $c$ und dem Abstand $L$ die vergangene Zeit nach dem Ansatz $ t = \frac {L}{c} $ berechnen.

    Hinweis: Der Winkel zwischen den Lichtstrahlen soll sehr klein sein, sodass wir die beiden Strecken als rechtwinklig zu den Spiegeloberflächen betrachten können.

  • Erkläre die Effekte der Zeitdilatation bei einer Bewegung mit Lichtgeschwindigkeit.

    Tipps

    Betrachte den Grenzfall $ c = v $.

    Eine Division durch Null ergibt einen mathematischen Widerspruch.

    Lösung

    Grundsätzlich lässt sich die Zeitdilatation mit der Formel :

    $t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ darstellen.

    Somit ist die Dehnung der Zeit abhängig von der Zeit, die im bewegten System vergeht, und der Geschwindigkeit, mit der sich das beschleunigte System relativ zum Ausgangssystem bewegt.

    Das hängt damit zusammen, dass eine Information immer eine gewisse Verbreitungsgeschwindigkeit hat: ein akustisches Signal die Schallgeschwindigkeit und ein optisches Signal die Lichtgeschwindigkeit.

    Bewegt sich ein System nun selbst mit annähernder Lichtgeschwindigkeit voran, so läuft dieses vor einer Information weg.

    Um das zu verstehen, verlangsamen wir die Geschwindigkeit des Lichtes auf Schneckentempo.

    Wir wollen ein Klassenfoto machen. Du stellst dich hinter die Kamera und drückst auf den Auslöser. Das Blitzlicht breitet sich ganz langsam zu den Klassenkameraden aus, wird zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ reflektiert und bildet exakt diesen Zeitpunkt als Foto ab.

    Da das Licht jedoch im Gedankenexperiment sehr langsam sein soll, zeigt das Display der Kamera ein Bild, dass schon einige Sekunden alt wäre. Die Information wäre also an verschiedenen Orten zu verschiedenen Zeiten eingetroffen.

    Da das Licht nicht so einfach zu verlangsamen ist, müssen wir dessen relative Geschwindigkeit verringern, weshalb ein System auf eine sehr hohe Geschwindigkeit gebracht werden muss, damit Zeitdilatation* auftritt.

    Die Zeitdilatation nimmt im Vergleich große Werte an, wenn sich die Geschwindigkeit $v$ an die Lichtgeschwindigkeit $c$ annähert.

    Im Grenzfall $v=c$ gilt :

    $t' = \frac{t}{\sqrt{1-\frac{c^2}{c^2}}}$.

    Wir isolieren den Term in der Wurzel und vereinfachen anschließend:

    $\sqrt{1-\frac{c^2}{c^2}} → \sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0 $.

    Einsetzen liefert :

    $t' = \frac{t}{0}$.

    Mathematisch käme man zu einem Widerspruch, da eine Null im Nenner steht.

    Wir gehen in unseren Betrachtungen jedoch davon aus, dass es technisch nicht möglich ist, die Lichtgeschwindigkeit zu erreichen, weshalb wir hier zweckmäßig postulieren können:

    Je näher die relative Geschwindigkeit sich an die Lichtgeschwindigkeit annähert, desto größer wird der prozentuale Wert der Zeitdilatation ($\frac{t'}{t}$).

    Daran ausgerichtet verändert sich der absolute Wert der Zeitdilatation mit der absolut vergangenen Zeit, sodass die größten Werte für die Dehnung der Zeit dann auftreten, wenn wir zwei Systeme betrachten, welche sich mit annähernder Lichtgeschwindigkeit über lange Zeiträume relativ zueinander bewegen.