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Lorentztransformation – Verbindung von Zeit und Ort

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Lorentztransformation – Verbindung von Zeit und Ort
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Lorentztransformation – Verbindung von Zeit und Ort Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lorentztransformation – Verbindung von Zeit und Ort kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse dein Wissen über die Lorentztransformation zusammen.

    Tipps

    Wozu dient die beschriebene Transformation?

    In welchen Bereich der Physik ordnet sie sich ein?

    Lösung

    Die Lorentztransformation ist Bestandteil der speziellen Relativitätstheorie. Sie wurde nach dem Wissenschaftler Hendrik Lorentz benannt, aber auch von Albert Einstein (siehe Abbildung) hergeleitet.

    Die Lorentztransformation dient dazu, Orts- und Zeitkoordinaten aus der Sicht von verschiedenen Inertialsystemen zu beschreiben. Dazu können Gleichungen verwendet werden, mit deren Hilfe man die Koordinaten von einem System in ein relativ zu diesem bewegten Inertialsystem umrechnen kann. Die räumlichen und zeitlichen Beobachtungen von zueinander bewegten Beobachtern können somit ineinander überführt werden.

  • Ergänze die Gleichungen für die Lorentztransformation.

    Tipps

    $k$ ist der sogenannte Lorentzfaktor.

    Die Rücktransformation erfolgt durch Vorzeichenwechsel.

    Es wird stets die Bewegung in einer Dimension betrachtet.

    Lösung

    Um die Koordinaten eines Ereignisses aus dem bewegten roten System in das ruhende blaue System zu überführen, gelten die folgenden Formeln für die Lorentztransformation:

    $x=k(x´+vt´)$

    $y=y´$

    $z=z´$

    $t=k(t´+\frac {v} {c^2} x´)$

    Durch Vorzeichenwechsel erhält man die Rücktransformation aus dem blauen in das rote System:

    $x´=k(vt-x)$

    $y´=y$

    $z´=z$

    $t´=k(t-\frac {v} {c^2} x)$

    Da alle betrachtenden Bewegungen in einer Dimension ablaufen, sind die Koordinaten für y und z immer gleich y´ und z´. Diese Formeln gelten für den Fall, dass sich die Koordinatensysteme zum Zeitpunkt Null wie in der Abbildung dargestellt beide im selben Ursprung befinden.

  • Leite die Formel zur Berechnung von e´ her.

    Tipps

    Orientiere dich an der Abbildung.

    Lösung

    Zur Herleitung der Formeln für die Lorentztransformation wird unter anderem die Formel für die Zeicheneinheit e' benötigt.

    Diese kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras und der Zeitdilatation hergeleitet werden. Präge sie dir gut ein, sie wird dir wieder begegnen.

  • Erkläre die Herleitungsansätze für die Formeln der Lorentztransformation.

    Tipps

    Gib die Koordinaten für das blaue System mit Hilfe der blauen Achsen an und für das rote System mit Hilfe der roten Achsen.

    Die Strecken $x\cdot e$ und $ct\cdot e$ setzen sich jeweils aus zwei Teilstücken der Hilfsdreiecke zusammen.

    Achte auf die korrekten Winkelfunktionen.

    Lösung

    Für die Koordinaten von Ereignis A gilt im System des ruhenden Beobachters: $x\cdot e$/$e\cdot c\cdot t$ (siehe Abbildung)

    Für die Koordinaten von Ereignis A gilt im System des bewegten Beobachters: $x'\cdot e'$/$e'\cdot c\cdot t'$ (siehe Abbildung)

    Aus den Hilfsdreiecken ergibt sich: $x\cdot e=c\cdot t'\cdot e'\cdot sin\alpha+x'\cdot e'\cdot cos\alpha$ und

    $ct\cdot e=c\cdot t'\cdot e'\cdot cos\alpha+x'\cdot e'\cdot sin\alpha$

  • Gib den Ausdruck an, mit dessen Hilfe der Abstand e in e´ überführt werden kann.

    Tipps

    Wie verhalten sich die Vorzeichen in den Wurzeltermen?

    Welches Geschwindigkeitsverhältnis wird in den Formeln korrekterweise verwendet?

    Taucht der Lorentzfaktor in den Wurzeln direkt auf?

    Lösung

    $e'$ lässt sich aus dem Wert für $e$ sowie der Relativgeschwindigkeit $v$ der beiden Systeme und der Lichtgeschwindigkeit $c$ bestimmen.

    Der Wert für $e$ muss dabei mit einem komplexen Bruch, der einen Wert über $1$ annimmt, multipliziert werden. Dabei steht der Lorentzfaktor $k=\sqrt {1-\frac {v^2} {c^2}}$ im Nenner des Bruches. Im Zähler taucht ein sehr ähnlicher Term auf, bei dem jedoch zur Zahl 1 das Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten addiert - und nicht wie beim Lorentzfaktor subtrahiert - wird.

  • Erkläre das weitere Vorgehen bei der Herleitung der Gleichungen für die Lorentztransformation.

    Tipps

    Jeweils eine der beiden Formeln ist richtig.

    Überprüfe die Stellung von Zähler und Nenner sowie die Vorzeichen.

    Lösung

    Durch Einsetzen der genannten Ausdrücke können die Gleichungen für die Lorentztransformation abschließend hergeleitet werden.

    Führt man noch den Lorentzfaktor $k$ ein, teilt durch die Lichtgeschwindigkeit $c$ und vereinfacht die Ausdrücke, so ergibt sich wie bekannt:

    $x=k(x´+vt´)$

    $t=k(t´+\frac {v} {c^2} x´)$

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