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Tunneleffekt

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Die Autor*innen
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Georg Hoffmann
Tunneleffekt
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Tunneleffekt Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Tunneleffekt kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an was der Tunneleffekt ist.

    Tipps

    Ein Beispiel für eine Potentialbarriere ist ein Elektron, welches die Atomhülle nur verlässt, wenn man dessen Energieniveau erhöht.

    Der Tunneleffekt tritt nur für eine endlich breite und hohe Barriere auf.

    Lösung

    Um den Tunneleffekt besser zu verstehen, schauen wir uns zunächst mal eine Bergtour mit dem Fahrrad an.

    Solange wir nur kleine Barrieren, also kleine Berge überwinden müssen, reicht die Energie, mit der wir in die Pedale treten, aus, um die Hindernisse zu überwinden.

    Wird ein Berg jedoch zu hoch, so können wir diesen nicht mehr überwinden.

    Der Berg stellt eine zu hohe Barriere da, die wir mit der Energie, die wir mit unserem Körper erzeugen, nicht überwinden können.

    Um den hohen Berg dennoch zu passieren, könnten wir einen Tunnel nutzen, der durch den Berg gebaut wurde.

    So können wir, obwohl die Energie für eine Überwindung des Berges nicht ausreichend wäre, an diesem vorbei gelangen; durch einen Tunnel.

    Der Tunneleffekt schließt an diese Charakteristika eines allgemeinen Tunnels an.

    Nur betrachten wir nun Teilchen anstatt eines Radfahrers.

    Damit ein Teilchen eine Potentialbarriere überwinden kann, muss dieses ein bestimmtes Energieniveau haben.

    Unterhalb dieses Niveaus kann das Teilchen nicht über die Barriere hinweg.

    Ein Beispiel dafür ist ein Elektron, welches die *Atomhülle nur überschreitet, wenn man dessen Energieniveau erhöht.

    Für eine endlich breite und hohe Barriere tritt jedoch ein interessanter Effekt auf.

    Ein Teilchen (oder eine Welle), dessen Energieniveau nicht ausreicht, die Barriere zu überwinden, durchtunnelt die Barriere und gelangt so mit einigem Energieverlust (Dämpfung) auf die andere Seite der Barriere.

    Diesen Effekt nennt man den Tunneleffekt.

  • Nenne die Eigenschaften des Potentialtopf-Modells.

    Tipps

    Ist eine Potentialbarriere unendlich hoch, lässt diese kein Elektron durch.

    Elektronen sind im Potentialtopf fixiert.

    Lösung

    Betrachten wir ganz pragmatisch zunächst einen Suppentopf.

    Dieser ist dazu da, den Aufenthaltsort der Suppe auf den Bereich zwischen den Topfwänden zu beschränken. Sonst wäre die Suppe ja in der Küche verteilt und der Topf hätte seine Aufgabe nicht erfüllt.

    Halten wir fest: Die Eigenschaft der Topfwände ist es also, keine Suppe durchzulassen.

    Nun ersetzen wir die Topfwände mit unendlich hohen Potentialbarrieren und die Suppe mit Teilchen, sagen wir Elektronen.

    So erhalten wir folgende Zusammenhänge: Die Elektronen halten sich mit Sicherheit zwischen den Barrieren auf, denn sie können diese ja nicht überwinden.

    Diese sind damit fixiert.

    Nach dem quantenmechanischen Ansatz von de Broglie kann jedem Teilchen eine Wellenlänge zugeordnet werden, sodass wir die Teilchen mit einer Wellenfunktion beschreiben können.

    Da ein Teilchen nun entweder existiert, oder nicht existiert, es aber keine halben Elektronen geben kann, können im Potentialtopf nur Teilchen mit einer Wellenfunktion vorkommen, die ganze Vielfache von $\frac{\lambda}{2}$ sind.

    Damit ist das Modell des Potentialtopfes qualitativ hinreichend beschrieben.

  • Bezeichne das Diagramm zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Teilchen.

    Tipps

    $ W(E_n) = | \psi(x)|^2$

    $\psi(x) = A \cdot e^{i \cdot \frac{n \pi x}{a}} $

    Es ist wahrscheinlicher, ein bestimmtes Teilchen im Potentialtopf als außerhalb zu finden

    Lösung

    Ob ein Teilchen eine Barriere durchtunneln kann oder nicht, hängt im Wesentlichen von drei Faktoren ab. Betrachten wir zunächst das Teilchen im Potentialtopf.

    Je höher die Energie eines Teilchens ist, desto eher wird es eine Barriere überwinden. Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist also umso größer, je höher das Energieniveau des Teilchens ist. Auch die Eigenschaft der Barriere spielt eine wichtige Rolle. Je höher und breiter eine Barriere ist, desto schwerer ist diese zu überwinden beziehungsweise zu durchtunneln. Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist also umso geringer, je höher und breiter eine Potentialbarriere ist.

    Durchtunnelt eine Welle nun eine Barriere, so wird sie gedämpft. Dabei bleibt die Wellenlänge konstant. Jedoch wird die Amplitude der Welle im Vergleich zu der im Potentialtopf deutlich abgesenkt.

    Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens mit dem Betragsquadrat seiner Wellenfunktion beschrieben wird, sinkt also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beim Tunnelvorgang.

    Für die Wellenfunktion gilt $ \psi(x) = A \cdot e^{i \cdot \frac{n \pi x}{a}} $. Dies hängt also von der Amplitude der Schwingung $A$, der irrationalen Konstante $i$, dem Ort$x$, sowie den ganzen Zahlen $n$ und $a$ ab.

    Bilden wir das Quadrat des Betrages der Wellenfunktion, so erhalten wir die Aufenthaltswahrscheinlichkeit $ W(E_n) = | \psi(x)|^2$

    Durch die Dämpfung beim Durchtunneln wird die Amplitude der Welle verringert.

    Demnach ist es stets wahrscheinlicher, ein bestimmtes Teilchen im Potentialtopf als außerhalb zu finden.

    Jedoch gibt es eine Wahrscheinlichkeit $W(E_n) > 0$ dafür, dass sich ein Teilchen im verbotenen Bereich aufhält.

  • Berechne die Wellenlänge der Teilchen.

    Tipps

    Es ist nur dann eine Wellenlänge berechenbar, wenn es sich um ein Teilchen, also ein Objekt mit einer Masse $m>0$, handelt, welches sich bewegt, sodass $E_{kin}$ ebenfalls größer als $0$ ist.

    Gib die Energie in $J$ und die Masse in $kg$ an.

    $\lambda = \frac {h}{\sqrt{2 \cdot m \cdot E_{kin}}} $

    Lösung

    Über die gezeigte Formel kann man jedem Teilchen eine bestimme Wellenlänge zuordnen.

    Diese hängt dabei vom Plank'schen Wirkungsquantum $h$, der Masse des Teilchens $m$ und der kinetischen Energie $E_{kin}$ ab.

    Das Wirkungsquantum ist dabei konstant mit $ h = 6,625 \cdot 10^{-34} J \cdot s$, weshalb man dieses auch als Planck-Konstante bezeichnet.

    Du kannst aus der Formel ablesen, dass wir nur dann eine Wellenlänge ermitteln können, wenn es sich um ein Teilchen, also ein Objekt mit einer Masse $m>0$, handelt, welches sich bewegt, sodass $E_{kin}$ ebenfalls größer als $0$ ist.

    Ansonsten käme man zu einem mathematischen Widerspruch, da man nicht durch $0$ teilen darf. Physikalisch müsste man in diesem Fall feststellen, dass es keine Wellenlänge für unbewegte oder masselose Teilchen gibt.

    Schauen wir uns ein Beispiel an.

    Wir setzen $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} kg$ und $E_{kin} = 310 J$ in $\lambda = \frac {h}{\sqrt{2 \cdot m \cdot E_{kin}}} $ ein.

    So ergibt sich $\lambda = \frac {6,626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} kg \cdot 310 J}} = 2,79 \cdot 10^{-20} m $.

    Die Wellenlänge $\lambda$ des betrachteten Teilchens beträgt also $2,79 \cdot 10^{-20} m$.

  • Gib an, welche Aussagen über die Tunnelwahrscheinlichkeit zutreffen.

    Tipps

    Das Energieniveau des Teilchens beeinflusst die Tunnelwahrscheinlichkeit.

    Je höher eine Barriere ist, desto schwerer ist diese zu überwinden.

    Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens wird mit dem Betragsquadrat seiner Wellenfunktion beschrieben.

    Lösung

    Ob ein Teilchen eine Barriere durchtunneln kann oder nicht, hängt im Wesentlichen von drei Faktoren ab.

    Betrachten wir zunächst das Teilchen im Potentialtopf.

    Je höher die Energie eines Teilchens ist, desto eher wird es eine Barriere überwinden. Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist also umso größer, je höher das Energieniveau des Teilchens ist.

    Auch die Eigenschaft der Barriere spielt eine wichtige Rolle.

    Je höher und breiter eine Barriere ist, desto schwerer ist diese zu überwinden beziehungsweise zu durchtunneln.

    Die Tunnelwahrscheinlichkeit ist also umso geringer, je höher und breiter eine Potentialbarriere ist.

    Durchtunnelt eine Welle nun eine Barriere, so wird diese gedämpft. Dabei bleibt die Wellenlänge konstant. Jedoch wird die Amplitude der Welle im Vergleich zu der im Potentialtopf, deutlich abgesenkt.

    Da die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens mit dem Betragsquadrat seiner Wellenfunktion beschrieben wird, sinkt also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beim Tunnelvorgang.

    Es ist demnach wahrscheinlicher, ein bestimmtes Teilchen im Potentialtopf als außerhalb zu finden.

  • Analysiere den Übergang der Wellenfunktion für eine endlich hohe und breite Barriere.

    Tipps

    Die Dämpfung der Wellenfunktion hängt im Wesentlichen von den Eigenschaften der Barriere ab.

    Sind die Barrieren unendlich hoch, handelt es sich um einen Potentialtopf.

    Lösung

    Die Dämpfung der Wellenfunktion hängt im Wesentlichen von den Eigenschaften der Barriere ab.

    Das liegt daran, dass die Welle Energie dafür aufbraucht, um die Barriere zu überwinden. Ist die diese leicht zu passieren, also nur sehr schmal und flach, wird die Welle gering gedämpft.

    Je höher und breiter die Barriere ist, desto stärker ist die Dämpfung. Ist die Barriere unendlich hoch, kann diese sogar überhaut gar nicht erst durchtunnelt werden, sodass alle Teilchen der Welle nur im Potentialtopf zu finden sind.

    So kommt es, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens, dass nur eine schmale Barriere durchtunnelt, im verbotenen Bereich größer ist als für eine breite Barriere.

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