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Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell (Übungsvideo) 09:22 min

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Transkript Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell (Übungsvideo)

Aufgaben zur Schrödingergleichung und zum Potenzialtopfmodell

Hallo und herzlich Willkommen. In diesem Video lösen wir drei Aufgaben zur zeitunabhängigen Schrödingergleichung und zum Potenzialtopfmodell. Bevor es los geht, wiederholen wir noch einmal die Schrödingergleichung und ihre Lösung im Potenzialtopfmodell. Los geht es mit der Schrödingergleichung.

Wir wollen die zeitunabhängige Schrödingergleichung für ein punktförmiges Quantenobjekt verstehen, das in einer Dimension gefangen ist - zum Beispiel ein Elektron. In der Quantenmechanik werden Teilchen durch eine Wellenfunktion Psi von x beschrieben.

Dabei beschreibt das Quadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsverteilung, wo sich das Teilchen befindet. Das Diagramm zeigt, wie diese Wellenfunktion aussehen könnte. Das Quadrat der Funktion zeigt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens. Die Wellenfunktion dient also der Beschreibung des Teilchens. Nun wollen wir die Schrödingergleichung dafür aufstellen:

Sie lautet: Die Gesamtenergie eines Teilchen E_gesamt mal Psi von x ist gleich minus h Quadrat geteilt durch acht Pi Quadrat mal der Teilchenmasse m mal der zweiten Ableitung der Wellenfunktion nach x Psi Strich Strich von x plus der potentiellen Energie des Teilchens E_pot von x mal Psi von x. Klein h steht für die Plancksche Konstante.

Die potenzielle Energie E_pot von x muss gegeben sein. Das Standardbeispiel für die potenzielle Energie ist der unendliche hohe Potenzialtopf - und den schauen wir uns jetzt an. Der unendliche hohe Potenzialtopf der Länge L hat folgende Eigenschaften: Die potenzielle Energie E_pot wird für Werte von x zwischen Null und L willkürlich mit dem Wert Null festgelegt. Für alle anderen Werte von x gilt: E_pot gleich unendlich.

Wir können jetzt die potenzielle Energie in unser Diagramm einzeichnen. Die rote Linie ist einfach Null zwischen 0 und L. Außerhalb müssten wir die Linie bei unendlich zeichnen, was leider nicht ins Bild passt. Stattdessen schraffieren wir den Bereich außerhalb vom Potenzialtopf.

Das Bild macht den Namen des Modells deutlich: Die potenzielle Energie sieht wie ein sehr tiefer Topf aus, in dem das Teilchen gefangen ist. Für das Teilchen ist es physikalisch unmöglich, außerhalb des Topfes zu sein - deshalb muss dort auch die Wellenfunktion und damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit Null sein! Daraus folgt, dass die Wellenfunktion insbesondere an den zwei Randpunkten des Topfes - bei 0 und bei L - null sein muss.

Kommen wir nun zu unseren Aufgaben. Ein Elektron ist in einem unendlichen Potenzialtopf der Länge L gleich 1 Mikrometer gefangen. Hierzu sind die folgenden Aufgaben gestellt: Aufgabe 1: Zeichne den Potenzialtopf und stelle die Schrödingergleichung für Psi innerhalb des Topfes auf. Aufgabe 2: Löse die Schrödingergleichung mit dem Ansatz Psi von x ist gleich Sinus von k mal x. Aufgabe 3: Welche Werte für k erlauben die Randbedinungen? Was sind die möglichen Energien?

Los geht es mit Aufgabe 1. Wir zeichnen den Potenzialtopf genauso, wie wir es besprochen haben. Das Teilchen ist nun zwischen Null und L gleich ein Mikrometer gefangen. Dazu können wir jetzt die Schrödingergleichung aufstellen. Außerhalb des Topfes wissen wir ja bereits, dass die Wellenfunktion Null ist.

Im Topf ist die potenzielle Energie E_pot aber Null, sodass wir den rechten Term in der Schrödingergleichung weglassen können. Damit lautet die Schrödingergleichung E_ges mal Psi von x ist gleich h Quadrat geteilt durch 8 Pi Quadrat mal m mal Psi Strich-Strich von x. Das war schon die erste Aufgabe.

In der zweiten Aufgabe sollen wir jetzt einen vorgegebenen Ansatz verwenden. Um zu überprüfen, ob dieser Ansatz die Schrödingergleichung löst, müssen wir ihn einsetzen und mit Hilfe der Kettenregel lösen.

Die äußere Ableitung von Sinus ist der Kosinus und die innere Ableitung von k mal x ist einfach nur k. Deshalb lautet die erste Ableitung von Psi gerade k mal Kosinus von k mal x. Das machen wir gleich nochmal: Die äußere Ableitung von Kosinus ist diesmal minus Sinus und die innere Ableitung von k mal x ist wieder nur k. Deshalb ist die zweite Ableitung von Psi gleich minus k zum Quadrat mal Sinus von k mal x.

Das können wir jetzt in die Schrödingergleichung einsetzen und erhalten E_ges mal Sinus k x ist gleich minus h Quadrat geteilt durch 8 Pi Quadrat mal m mal minus k Quadrat mal Sinus von k x. Super, jetzt sind wir nur noch einen Schritt von der Lösung entfernt: Auf beiden Seiten steht Sinus von k mal x. Das heißt beide Seiten sind genau dann gleich, wenn E_gesamt gleich h Quadrat mal k Quadrat geteilt durch 8 mal Pi Quadrat mal m ist.

Das war schon ein bisschen Arbeit, aber zum Glück wurde uns ja der Ansatz gegeben. Weiter geht es mit der dritten Aufgabe. Hier sollen wir die möglichen Werte für k aus den Randbedingungen finden. Die Randbedingungen besagten, dass die Wellenfunktion Psi bei Werten von x gleich Null und x gleich L jeweils Null sein muss.

Wenn wir unsere Wellenfunktion einsetzen, erhalten wir Psi von 0 gleich Sinus von k mal Null. Das ist der Sinus von Null und das ist tatsächlich Null. Damit ist die linke Randbedingung bereits erfüllt. Anders sieht es bei Psi von L aus: Wir finden Psi von L ist gleich Sinus von k mal L. Das ist aber nicht immer null, sondern nur dann, wenn k mal L eben gerade eine Nullstelle von Sinus ist. Aber wo sind die? Stellen wir den Sinus graphisch dar, dann sehen wir, dass die Nullstellen bei 0, Pi, zwei Pi und so weiter liegen.

Allgemein können wir sagen, dass eine Nullstelle bei n mal Pi liegt, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Deshalb erfüllt unsere Wellenfunktion die rechte Randbedinung nur, wenn k mal L gleich n mal Pi ist. Oder umgestellt als Bedingung für k muss gelten: k gleich n mal Pi geteilt durch L. Das sind die einzigen erlaubte Werte.

Hieraus folgt aber auch etwas für die Gesamtenergie: Im zweiten Teil hatten wir bereits eine Aussage für die Gesamtenergie hergeleitet. Hier können wir nun unsere möglichen Werte für k einsetzen und erhalten E_gesamt ist gleich h Quadrat geteilt durch 8 Pi Quadrat mal m mal n Quadrat mal Pi Quadrat durch L Quadrat. Die Pi Quadrat kürzen sich weg und es bleibt nur h Quadrat mal n Quadrat geteilt durch 8 L Quadrat mal m stehen. Das sind alle möglichen Gesamtenergien des Teilchens im Potenzialtopf der Länge L. Da n eine ganze Zahl sein muss, sind die Energiewerte gequantelt. Daher kommt der Name Quantenmechanik oder Theorie der Quanten.

Das waren drei anspruchsvolle Aufgaben auf Leistungkursniveau, die dir gleich gezeigt haben, woher der Name Quantenmechanik kommt. Bis zum nächsten Mal und viel Spaß mit der Physik.

Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere quantenmechanische Größen und Formeln.

    Tipps

    Warum nennt man die Quantenmechanik so?

    Lösung

    In der Quantenmechanik geht es um winzige Teilchen, die man mit bloßem Auge nicht sehen kann, wie zum Beispiel Elektronen. Hier stellt man durch Experimente fest, dass die Teilchen anderen Gesetzen unterworfen sind. Daher trennt man die Quantenmechanik von der klassischen Mechanik.

    Planck hat festgestellt, dass Photonen gequantelt sind, so ist das Plancksche Wirkungsquantum $h$ entstanden.

    Wir wissen bereits, dass Licht Wellen- und Teilcheneigenschaften besitzt. Das gilt auch für Teilchen mit Masse, wie Elektronen.

    $\psi(x)$ ist die Wellenfunktion eines Teilchens und $|\psi(x)|^2$ beschreibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens.

    Man kann den Aufenthaltsort der winzigen Teilchen nicht messen, ohne sie zu beeinflussen. Außerdem stellt man durch bestimmte Experimente fest, dass sich die Teilchen nicht wie gewohnt von A nach B bewegen, sondern als Wahrscheinlichkeitswelle im Raum ausbreiten. Sobald man das Teilchen jedoch misst, fällt diese Wellenfunktion zusammen. Man sagt dann, dass sie kollabiert.

  • Gib an, welche Werte die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ annehmen kann

    Tipps

    $E_{ges}=\frac{h^2\cdot ~n^2}{8L^2m}$

    Durch welchen Wert wird die Energie einer Welle beeinflusst?

    Welche Randbedingungen gibt es beim unendlich hohen Potentialtopf?

    Lösung

    Am Rand des Potentialtopfes muss die Welle jeweils den Wert Null annehmen. Der Sinus hat Nullstellen bei $0,\pi,2\pi,3\pi,...$

    Um also die Stetigkeitsbedingungen am Rand zu erfüllen, muss $k=\frac{n\cdot \pi}{L}$ gelten.

    Dabei ist $n$ eine ganze Zahl und k kann logischerweise auf Grund der irrationalen Zahl $pi$ nicht ganzzahlig sein.

    Dadurch, dass n nur bestimmte Werte annimmt, kann auch k nur bestimmte Werte annehmen und das gilt daher auch für die Energiewerte $E_{ges}=\frac{h^2\cdot ~n^2}{8L^2m}$.

    Man spricht hier wieder von einer Quantelung der Energiewerte.

    Das Gegenteil wäre ein kontinuierliches Spektrum an Energiewerten, wie sie in der klassischen Mechanik möglich sind.

  • Beschreibe die Wellenfunktion und Energie eines Teilchens im Potentialtopf der Breite L mit unendlich hohen Wänden, wenn das Potential innerhalb einen konstanten Wert ungleich Null besitzt.

    Tipps

    Die allgemeine zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet: $E_{ges}\psi(x)=-\frac{h^2}{8\pi^2m} \psi^{''}(x)+E_{pot}\psi(x)$

    Was ändert sich an der Schrödingergleichung im Vergleich zu $E_{pot}=0$?

    Lösung

    Die allgemeine zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet: $E_{ges}\psi(x)=-\frac{h^2}{8\pi^2m} \psi^{''}(x)+E_{pot}\psi(x)$

    In dieser Aufgabe soll $E_{pot}=E_0$ sein und nicht wie vorher Null.

    Einsetzen in die Schrödingergleichung:

    $E_{ges}\psi(x)=-\frac{h^2}{8\pi^2m} E_0\psi^{''}(x)$

    Als Ansatz wählen wir für die Wellenfunktion wieder $\psi(x)=\sin (k\cdot x)$, da sich das Teilchen innerhalb des Topfes frei als Welle ausbreiten kann.

    Der Ansatz muss zweimal abgeleitet werden:

    $\begin{align} \psi^{'}(x)&=k\cdot \cos(k\cdot x)\\ \psi^{''}(x)&=-k^2\cdot \sin (k\cdot x) \end{align}$

    Nun wird in die Schrödingergleichung eingesetzt:

    $ E_{ges}\cdot\sin (k\cdot x)=-\frac{h^2}{8\pi^2m} \cdot(-k^2\cdot \sin (k\cdot x))+E_0\cdot\sin (k\cdot x)$

    Teilen durch $ \sin (k\cdot x)$ auf beiden Seiten liefert:

    $E_{ges}=-\frac{h^2}{8\pi^2m} \cdot(-k^2)+E_0$

    Somit gilt für die Gesamtenergie des Teilchens:

    $E_{ges}=\frac{h^2\cdot ~k^2}{8\pi^2m} +E_0 $

    Mit den Stetigkeitsbedingungen kann man k bestimmen und einsetzen:

    $k=\frac{n\cdot \pi}{L} $

    $\Longrightarrow E_{ges}=\frac{h^2\cdot ~n^2}{8L^2m} +E_0$

    Bis auf einen konstanten Term ändert sich an der Lösung nichts. Daher wird das konstante Potential in der Regel gleich Null gesetzt.

  • Stelle einen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden und dem Potential Null dar.

    Tipps

    Welche Werte sind in den Energiediagrammen aufgetragen?

    Die Form des Potentialtopfes hat einen Einfluss auf das Teilchen und daher auch auf seine Wellenfunktion.

    Lösung

    Der Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden ist das einfachste Modell, das auch am einfachsten zu berechnen ist.

    Klassisch kannst du dir das wie eine unendlich tiefe Grube vorstellen, in der ein Ball eingeschlossen ist. Du siehst es in Bild zwei und vier. Einmal mit dem konstanten Potential und das andere Mal mit dem Potential Null.

    Sobald die Wände dieses Loches jedoch nicht mehr unendlich hoch sind (Bild 6), gibt es eine geringe Wahrscheinlichkeit, dass sich der Ball nicht mehr im Loch, sondern in der Lochwand befindet. Und das obwohl der Ball nicht genug Energie besitzt, um das Loch nach oben zu verlassen. Das haben wir im Alltag noch nie beobachtet und soweit wird es auch nicht kommen, da der Ball winzig sein müsste. Wir reden schließlich über quantenmechanische Effekte.

    Das Potential eines harmonischen Oszillators, der klassisch einer Feder entspricht, siehst du im dritten Bild.

    In einem Atom befinden sich die Elektronen in einem Coulombpotential, das im fünften Bild dargestellt ist. $E_{\text{pot}}=-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

  • Stelle die zeitunabhängige Schrödingergleichung für ein Teilchen innerhalb eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden auf.

    Tipps

    Welchen Einfluss hat die Form des Topfes auf das Teilchen und die Schrödingergleichung?

    Welche mathematische Form hat das Potential im Inneren eines Potentialtopfes?

    Lösung

    Das Potential im Inneren eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden hat einen konstanten Wert und wird meistens gleich Null gesetzt. Daher verschwindet der Term mit $E_{\text{pot}}$ in der Schrödingergleichung einfach.

  • Löse die Schrödingergleichung für ein Teilchen im Potentialtopf der Breite L mit unendlich hohen Wänden.

    Tipps

    Die Schrödingergleichung ist eine Differentialgleichung.

    Überlege dir, was das Ziel bei der Lösung ist.

    Lösung

    Die Lösung der Schrödingergleichung läuft immer nach dem gleichen Schema ab.

    Man setzt zuerst das entsprechende Potential ein und überlegt sich einen sinnvollen Ansatz für die Wellenfunktion.

    Setzt man diesen Ansatz und seine Ableitungen in die Schrödingergleichung ein, muss man nach $ E_{ges}$ umformen. Dies ist je nach Potential nicht immer einfach und man muss teilweise komplizierte Differentialgleichungen lösen.

    Daher bleiben wir beim unendlichen Potentialtopf mit dem einfachsten Potential $ E_{pot}=0$.