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Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell (Übungsvideo)

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Physik-Team
Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell (Übungsvideo)
lernst du in der Oberstufe 8. Klasse - 9. Klasse

Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schrödingergleichung und Potentialtopfmodell (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere quantenmechanische Größen und Formeln.

    Tipps

    Warum nennt man die Quantenmechanik so?

    Lösung

    In der Quantenmechanik geht es um winzige Teilchen, die man mit bloßem Auge nicht sehen kann, wie zum Beispiel Elektronen. Hier stellt man durch Experimente fest, dass die Teilchen anderen Gesetzen unterworfen sind. Daher trennt man die Quantenmechanik von der klassischen Mechanik.

    Planck hat festgestellt, dass Photonen gequantelt sind, so ist das Plancksche Wirkungsquantum $h$ entstanden.

    Wir wissen bereits, dass Licht Wellen- und Teilcheneigenschaften besitzt. Das gilt auch für Teilchen mit Masse, wie Elektronen.

    $\psi(x)$ ist die Wellenfunktion eines Teilchens und $|\psi(x)|^2$ beschreibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens.

    Man kann den Aufenthaltsort der winzigen Teilchen nicht messen, ohne sie zu beeinflussen. Außerdem stellt man durch bestimmte Experimente fest, dass sich die Teilchen nicht wie gewohnt von A nach B bewegen, sondern als Wahrscheinlichkeitswelle im Raum ausbreiten. Sobald man das Teilchen jedoch misst, fällt diese Wellenfunktion zusammen. Man sagt dann, dass sie kollabiert.

  • Stelle einen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden und dem Potential Null dar.

    Tipps

    Welche Werte sind in den Energiediagrammen aufgetragen?

    Die Form des Potentialtopfes hat einen Einfluss auf das Teilchen und daher auch auf seine Wellenfunktion.

    Lösung

    Der Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden ist das einfachste Modell, das auch am einfachsten zu berechnen ist.

    Klassisch kannst du dir das wie eine unendlich tiefe Grube vorstellen, in der ein Ball eingeschlossen ist. Du siehst es in Bild zwei und vier. Einmal mit dem konstanten Potential und das andere Mal mit dem Potential Null.

    Sobald die Wände dieses Loches jedoch nicht mehr unendlich hoch sind (Bild 6), gibt es eine geringe Wahrscheinlichkeit, dass sich der Ball nicht mehr im Loch, sondern in der Lochwand befindet. Und das obwohl der Ball nicht genug Energie besitzt, um das Loch nach oben zu verlassen. Das haben wir im Alltag noch nie beobachtet und soweit wird es auch nicht kommen, da der Ball winzig sein müsste. Wir reden schließlich über quantenmechanische Effekte.

    Das Potential eines harmonischen Oszillators, der klassisch einer Feder entspricht, siehst du im dritten Bild.

    In einem Atom befinden sich die Elektronen in einem Coulombpotential, das im fünften Bild dargestellt ist. $E_{\text{pot}}=-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r}$

  • Stelle die zeitunabhängige Schrödingergleichung für ein Teilchen innerhalb eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden auf.

    Tipps

    Welchen Einfluss hat die Form des Topfes auf das Teilchen und die Schrödingergleichung?

    Welche mathematische Form hat das Potential im Inneren eines Potentialtopfes?

    Lösung

    Das Potential im Inneren eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden hat einen konstanten Wert und wird meistens gleich Null gesetzt. Daher verschwindet der Term mit $E_{\text{pot}}$ in der Schrödingergleichung einfach.

  • Löse die Schrödingergleichung für ein Teilchen im Potentialtopf der Breite L mit unendlich hohen Wänden.

    Tipps

    Die Schrödingergleichung ist eine Differentialgleichung.

    Überlege dir, was das Ziel bei der Lösung ist.

    Lösung

    Die Lösung der Schrödingergleichung läuft immer nach dem gleichen Schema ab.

    Man setzt zuerst das entsprechende Potential ein und überlegt sich einen sinnvollen Ansatz für die Wellenfunktion.

    Setzt man diesen Ansatz und seine Ableitungen in die Schrödingergleichung ein, muss man nach $ E_{ges}$ umformen. Dies ist je nach Potential nicht immer einfach und man muss teilweise komplizierte Differentialgleichungen lösen.

    Daher bleiben wir beim unendlichen Potentialtopf mit dem einfachsten Potential $ E_{pot}=0$.

  • Gib an, welche Werte die Gesamtenergie $E_{\text{ges}}$ annehmen kann

    Tipps

    $E_{ges}=\frac{h^2\cdot ~n^2}{8L^2m}$

    Durch welchen Wert wird die Energie einer Welle beeinflusst?

    Welche Randbedingungen gibt es beim unendlich hohen Potentialtopf?

    Lösung

    Am Rand des Potentialtopfes muss die Welle jeweils den Wert Null annehmen. Der Sinus hat Nullstellen bei $0,\pi,2\pi,3\pi,...$

    Um also die Stetigkeitsbedingungen am Rand zu erfüllen, muss $k=\frac{n\cdot \pi}{L}$ gelten.

    Dabei ist $n$ eine ganze Zahl und k kann logischerweise auf Grund der irrationalen Zahl $pi$ nicht ganzzahlig sein.

    Dadurch, dass n nur bestimmte Werte annimmt, kann auch k nur bestimmte Werte annehmen und das gilt daher auch für die Energiewerte $E_{ges}=\frac{h^2\cdot ~n^2}{8L^2m}$.

    Man spricht hier wieder von einer Quantelung der Energiewerte.

    Das Gegenteil wäre ein kontinuierliches Spektrum an Energiewerten, wie sie in der klassischen Mechanik möglich sind.

  • Beschreibe die Wellenfunktion und Energie eines Teilchens im Potentialtopf der Breite L mit unendlich hohen Wänden, wenn das Potential innerhalb einen konstanten Wert ungleich Null besitzt.

    Tipps

    Die allgemeine zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet: $E_{ges}\psi(x)=-\frac{h^2}{8\pi^2m} \psi^{''}(x)+E_{pot}\psi(x)$

    Was ändert sich an der Schrödingergleichung im Vergleich zu $E_{pot}=0$?

    Lösung

    Die allgemeine zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet: $E_{ges}\psi(x)=-\frac{h^2}{8\pi^2m} \psi^{''}(x)+E_{pot}\psi(x)$

    In dieser Aufgabe soll $E_{pot}=E_0$ sein und nicht wie vorher Null.

    Einsetzen in die Schrödingergleichung:

    $E_{ges}\psi(x)=-\frac{h^2}{8\pi^2m} E_0\psi^{''}(x)$

    Als Ansatz wählen wir für die Wellenfunktion wieder $\psi(x)=\sin (k\cdot x)$, da sich das Teilchen innerhalb des Topfes frei als Welle ausbreiten kann.

    Der Ansatz muss zweimal abgeleitet werden:

    $\begin{align} \psi^{'}(x)&=k\cdot \cos(k\cdot x)\\ \psi^{''}(x)&=-k^2\cdot \sin (k\cdot x) \end{align}$

    Nun wird in die Schrödingergleichung eingesetzt:

    $ E_{ges}\cdot\sin (k\cdot x)=-\frac{h^2}{8\pi^2m} \cdot(-k^2\cdot \sin (k\cdot x))+E_0\cdot\sin (k\cdot x)$

    Teilen durch $ \sin (k\cdot x)$ auf beiden Seiten liefert:

    $E_{ges}=-\frac{h^2}{8\pi^2m} \cdot(-k^2)+E_0$

    Somit gilt für die Gesamtenergie des Teilchens:

    $E_{ges}=\frac{h^2\cdot ~k^2}{8\pi^2m} +E_0 $

    Mit den Stetigkeitsbedingungen kann man k bestimmen und einsetzen:

    $k=\frac{n\cdot \pi}{L} $

    $\Longrightarrow E_{ges}=\frac{h^2\cdot ~n^2}{8L^2m} +E_0$

    Bis auf einen konstanten Term ändert sich an der Lösung nichts. Daher wird das konstante Potential in der Regel gleich Null gesetzt.

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