Rotation (Übungsvideo)

Rotation (Übungsvideo) Übung

• Gib die Grundgleichung der Rotation an.

  Tipps

  Die Grundgleichung der Rotation legt das Moment fest.

  Das Moment eines rotierenden Körpers hängt unter anderem von dessen Masse und Geometrie ab.

  Lösung

  Die Grundgleichung der Rotation gibt an, wie sich das Moment eines rotierenden Körpers zu seinem Trägheitsmoment und der Winkelbeschleunigung verhält.

  Das Trägheitsmoment $J$ ist dabei eine Größe, die von der Geometrie und der Masse des betrachteten Körpers abhängt. Normalerweise muss $J$ zu Beginn einer Rotationsberechnung bestimmt werden. Dabei nimmt $J$ für große Massen und große Abmessungen die größten Werte an.

  Neben dem Trägheitsmoment nimmt die Winkelbeschleunigung $\alpha$ Einfluss auf die Grundgleichung.

  Die Winkelbeschleunigung gibt an, wie stark die Drehung eines Körpers beschleunigt wird, so wie die Fallbeschleunigung angibt, wie sehr ein Körper in einer bestimmten Zeit beschleunigt wird.

  Aus dem Trägheitsmoment $J$ und Winkelbeschleunigung $\alpha$ setzt sich die Grundgleichung der Rotation zusammen.

  Dabei gilt generell: Je größer die Winkelbeschleunigung und je größer dass Trägheitsmoment, desto größer ist das wirkende Moment am rotierenden Körper.

• Bestimme das Moment.

  Tipps

  Kraft und Moment sind proportional zueinander.

  Je größer die Entfernung der Kraft, desto größer das Moment.

  Lösung

  Der Zusammenhang zwischen Moment und Kraft ist über die Formel $ M = F \cdot r $ festgelegt.

  Darin ist $ F $ die wirkende Kraft und $ r $ der Abstand der Kraft zum Drehpunkt.

  Je größer also Kraft und Abstand zwischen Kraft und Drehpunkt sind, desto größer ist das Moment.

  Du kannst das gern selbst ausprobieren. Nimm eine Wasserflasche in die Hand. Halte diese nun zunächst direkt vor deinem Körper und danach am ausgestreckten Arm. Du wirst feststellen, dass es einfacher ist, die Flasche vor dem Körper zu halten als weiter weg am ausgestreckten Arm.

  Doch die Gewichtskraft der Flasche von etwa $ F_G = 1,5 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 14,7 N $ bleibt ja unverändert.

  Dieses Phänomen lässt sich also nur mit dem Moment erklären. Hältst du die Flasche direkt vor dem Körper, so ist das Moment gering. Bei $ r = 5 cm $ Abstand ergibt sich $ M _{nah} = 14,7 N \cdot 0,05m = 0,735 Nm$.

  Vergrößert Du nun durch Ausstrecken des Armes den Abstand auf sagen wir $ r = 50 cm $ so gitl $M_{fern} = 14,7 N \cdot 0,5 m = 7,35 Nm$, ist das Moment 10-mal größer.

  Wie du siehst, kann neben der Kraft auch der Abstand einen großen Einfluss auf das Moment nehmen.

• Gib an, wie sich der Drehimpuls verhält.

  Tipps

  $ \omega = 2 \cdot \pi \cdot f $

  $ M = F \cdot r $

  Für den Hohlzylinder gilt : $ J = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (r_1^2 + r_2^2) $.

  Lösung

  Um die Aussagen über die Größen der Rotation qualitativ zu bewerten, schauen wir uns die verschiedenen Formeln zur Berechnung an.

  Der Zusammenhang zwischen Moment, Kraft und Radius ist über die Formel $ M = F \cdot r $ festgelegt. Wie du siehst, entstehen große Momente dann, wenn große Kräfte bei großem Radius wirken.

  Der Abstand ist dabei stets als die Strecke zwischen dem Angriffspunkt der Kraft und einem Drehpunkt bestimmt.

  Um die Frequenz in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit zu betrachten, benutzen wir die Formel $ f = \frac{\omega}{2\pi}$. Du kannst erkennen, dass die Frequenz umso größer ist, je größer die Winkelgeschwindigkeit ist. Das macht auch Sinn, denn für große Geschwindigkeiten wird eine Periode schnell bewältigt und die Frequenz, die ja der Kehrwert der Periodendauer ist, ist demnach hoch.

  Zuletzt wollen wir die Masse eine rotierenden Körpers im Bezug auf sein Trägheitsmoment betrachten.

  Hier gilt für den Hohlzylinder $ J = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (r_1^2 + r_2^2) $. Das Trägheitsmoment ist also direkt proportional zur Masse des betrachteten Körpers und somit dann groß, wenn die Masse ebenfalls groß ist.

• Berechne das Trägheitsmoment.

  Tipps

  Rechne in den Grundeinheiten.

  Für den Hohlzylinder gilt: $J_{HZ} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (r_i^2 + r_a^2)$.

  Lösung

  Um das Trägheitsmoment $J_{HZ}$ für einen Hohlzylinder zu berechnen, können wir gut die oben gezeigte Formel nutzen.

  Auch hier gilt, dass wir in den Grundeinheiten rechnen müssen. Das heißt, bevor es richtig losgeht, müssen wir die Masse umrechnen: $m = 3,5 t = 3.500 kg$.

  Da sowohl der Innen- als auch der Außenradius gegeben sind, setzen wir weiter ein und erhalten $J_{HZ} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (r_i^2 + r_a^2) = \frac{1}{2} \cdot 3.500 kg \cdot (1,8m^2 + 2,1m^2) =1 13.387,5 kg m^2$.

  Das Trägheitsmoment des Hohlzylinders beträgt also $ 13.387,5 kg m^2$.

• Berechne die Frequenz.

  Tipps

  $ f = \frac{1}{T}$

  Die Winkelgeschwindigkeit gibt an, welcher Winkel innerhalb einer Sekunde überstrichen wird.

  Lösung

  Um zu berechnen, wie groß die Frequenz bei gegebener Winkelgeschwindigkeit ist, schauen wir uns zunächst einmal genauer an, was die Winkelgeschwindigkeit eigentlich angibt.

  Sie zeigt an, welcher Winkel innerhalb einer Sekunde überstrichen wird. Wird innerhalb einer Sekunde also der Winkel $360°$ überschritten, so rotiert ein Körper in einer Sekunde einmal um sich selbst, und die Frequenz beträgt $ 1Hz$.

  Im Beispiel ist $ \omega = 12,5 m^{-1} $ gegeben, sodass sich im Zusammenhang mit der Kreiszahl $\pi$ über die Formel $ f = \frac{\omega}{2 \pi}$ Folgendes ergibt: $ f = \frac{12,5 s^{-1}}{2 \pi} = 1,99 s^{-1} = 1,99 Hz$.

  Die Frequenz der Rotation beträgt also $ 1,99 s^{-1} = 1,99 Hz$.

• Bestimme die Winkelgeschwindigkeit und den Drehimpuls.

  Tipps

  Lösung

  Um die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ eines rotierenden Körpers zu berechen, wenn dessen Trägheitsmoment und das angreifende Moment bekannt sind, müssen wir als erstes die Winkelbeschleunigung $\alpha $ berechnen.

  Es gilt $ M = \alpha \cdot J \to \alpha = \frac{M}{J} $.

  Nun können wir die gegebenen Größen $ M = 850 kNm$ und $J_{HZ} = 13.387,5 kg \cdot m^2 $ einsetzen und erhalten so : $\alpha = \frac{850 kNm}{13.387,5 kg \cdot m^2} = 0,0635 s^{-2} $.

  Da die Beschleunigung nun über eine gewisse Zeit $ t = 3 min = 180 s$ wirken soll, ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit $\omega = \alpha \cdot t = 0,0635 s^{-2} \cdot 180 s = 11,428 s^{-1} $.

  Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ beträgt $11,428 s^{-1} $.

  Mit der Winkelgeschwindigkeit und dem Trägheitsmoment lässt sich nun mit $ L = \omega \cdot J$ berechnen.

  Wir setzen $ \omega = 11,428 s^{-1}$ und $ J = 13.387,5 kg \cdot m^2 $ ein.

  $ L = 11,428 s^{-1} \cdot 13.387,5 kg \cdot m^2 = 152.992,35 Nms = 152,9 kNms $

  Der Drehimpuls beträgt $152,9 kNms $.