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Zeit-Bahngrößen-Gesetze der Rotation

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Die Autor*innen
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Jochen Kalt
Zeit-Bahngrößen-Gesetze der Rotation
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Zeit-Bahngrößen-Gesetze der Rotation Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zeit-Bahngrößen-Gesetze der Rotation kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, was Rotation oder Drehbewegung ist.

    Tipps

    Bewegung auf einer Kreisbahn

    Eine Kreisbahn hat einen konstanten Abstand von einem Mittelpunkt.

    Lösung

    Eine Rotation oder Drehbewegung ist eine Bewegung auf einer Kreisbahn. Eine Kreisbahn hat überall den gleichen Abstand zu einem Mittelpunkt und eine Bewegung auf der Kreisbahn ist eine Bewegung in der Ebene, die den Kreis enthält. Eine Rotationsachse stünde daher senkrecht auf dieser Ebene.

    Stelle dir eine kreisrunde Papierscheibe vor, auf der sich ein Punkt befindet. Wenn du die Scheibe in der Mitte mit einem Stift durchbohrst, stellt der senkrecht zur Scheibe stehende Stift die Drehachse dar. Unser aufgemalter Punkt bewegt sich nun auf einer Kreisbahn, wenn ich die Scheibe mit dem Stift um die Drehachse drehe. Dabei ist es egal, wo ich den Punkt auf der Scheibe aufbringe. Beim schnellen Drehen wird sich immer ein Kreis zeigen.

  • Nenne die Formeln zur Beschreibung der gleichförmigen Rotation mit Winkelgrößen.

    Tipps

    gleichförmige Rotation = Rotation mit gleichbleibender Geschwindigkeit

    Lösung

    Eine gleichförmige Rotation ist eine Rotation ohne Beschleunigung. So gilt für die Winkelbeschleunigung: $\alpha=0$. Deshalb bleibt die Winkelgeschwindigkeit unverändert: $\omega=const.$. Der Winkel (die Winkelveränderung) ist dann einfach zu berechnen mit: $\varphi=\omega\cdot t+\varphi_0$.

  • Nenne die Formeln zur Beschreibung der gleichmäßig beschleunigten Rotation mit Winkelgrößen.

    Tipps

    Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Beschleunigung verschieden von $Null$, aber konstant.

    Analogie zur Beschreibung der Translation, z. B: $s=at^2+v_ot+s_0$.

    Lösung

    Gleichmäßig beschleunigte Rotation heißt, dass die Beschleunigung gleich bleibt oder konstant ist: Winkelbeschleunigung $\alpha = const.$. Die Winkelgeschwindigkeit ändert sich dann also linear: $\omega = \alpha t + \omega_0$, und der Winkel (die Winkeländerung) hängt von der Anfangsgeschwindigkeit und der Geschwindigkeitsänderung oder Beschleunigung ab: $\varphi = \frac{1}{2} \alpha t^2 + \omega_0 t + \varphi_0$.

    Die Analogie zur geradlinigen gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist deutlich an der Form der Gleichungen erkennbar.

    $\varphi = \frac{1}{2} \alpha t^2 + \omega_0 t + \varphi_0~$ vgl mit: $~s = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0$

    $\omega = \alpha t + \omega_0~$ vgl. mit: $~v = a \cdot t + v_0$

    $\alpha = const.~$ vgl mit: $~a=const.$

  • Rechne Winkel- in Bahngrößen um.

    Tipps

    Gegeben ist eine Frequenz. Die Winkelgeschwindigkeit ist aus ihr erst zu berechnen.

    U/min umrechnen in U/sec

    Beachte: Radius vs. Durchmesser.

    Lösung

    Die in Umdrehungen pro Minute gegebene Frequenz ist in eine Winkelgeschwindigkeit umzurechnen (und sinnvollerweise in rad pro Sekunde):

    $\omega=2\pi\cdot 120\frac{1}{min}=2\pi\cdot\frac{120}{60}\frac{1}{s}=4\pi\cdot s^{-1}$.

    Die beiden Radien sind leicht zu ermitteln durch:

    $r_1=\frac{1}{2}d=2m$ und $r_2=\frac{1}{2}r_1=1m$.

    Damit ergibt sich aus $v_B=\omega\cdot r$:

    $v_{B1}\approx 25.1 m/s$ und $v_{B2}\approx 12.6 m/s$.

  • Ordne die analogen Größen der Beschreibung von Rotation und Translation einander zu.

    Tipps

    Translation ist nicht die Bewegung auf einer Kreisbahn.

    Lösung

    Der Beschleunigung $a$ bei der Translation entspricht die Winkelbeschleunigung $\alpha$ oder die Tangentialbeschleunigung $a_B$ der Rotation. Der Geschwindigkeit $v$ der Translation entspricht die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ oder die Bahngeschwindigkeit $v_B$ der Rotation, und dem Weg $s$ der Translation entsprechen der Winkel $\varphi$ oder die Bahnlänge $s_B$ bei der Rotation.

    Dies zeigt dir auch ein sehr einfaches Beispiel: Ein Fahrradreifen bewegt sich auf der Straße.

    • Der Mantel des Reifens (Umfang des Kreises) wird nun dieselbe Strecke $s$ zurücklegen, die sich das Fahrrad auf der Straße zurücklegt.
    • Trete ich schneller in die Pedale, beschleunige ich das Fahrrad und auch die Rotation wird in beiden Fällen schneller.
    • Die Geschwindigkeit der Mantelfläche entspricht der Geschwindigkeit des Fahrrads.
  • Leite die Bahngrößen aus den Winkelgrößen ab.

    Tipps

    Du musst den Anteil des Kreisbogens am Gesamtumfang mit dem Anteil des Kreiswinkels am Vollwinkel vergleichen.

    Lösung

    Der Umfang eines Kreises mit Radius $r$ beträgt $2\pi r$. Das Verhältnis eines Kreisbogens $s_B$ zum Umfang ist $\frac{s_B}{2\pi r}$. Der Winkel des Vollkreises beträgt $2\pi$ rad. Das Verhältnis eines Winkels $\varphi$ am Kreis zum Vollwinkel ist $\frac{\varphi}{2\pi}$. Das Verhältnis eines vom Winkel $\varphi$ eingeschlossenen Kreisbogens $s_B$ zum Gesamtumfang des Kreises ist gleich dem Verhältnis des Winkels $\varphi$ zum Vollwinkel: $\frac{s_B}{2\pi r}=\frac{\varphi}{2\pi}$. Durch Kürzen folgt: $\frac{s_B}{r}=\varphi$ und es ergibt sich: $s_B=\varphi\cdot r$.

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