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Reihen- und Parallelschaltungen im Wechselstromkreis

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Lerntext zum Thema Reihen- und Parallelschaltungen im Wechselstromkreis

Reihen- und Parallelschaltungen im Wechselstromkreis

In diesem Text wirst du die Reihen- und Parallelschaltung von Spule (L)(L), Kondensator (C)(C) und ohmschem Widerstand (R)(R) im Wechselstromkreis kennenlernen. Die Reihenschaltung wird auch Siebkreis und die Parallelschaltung wird auch Sperrkreis genannt. Warum das so ist, wirst du in diesem Text herausfinden!

Solche Schaltungen finden in der Tontechnik Anwendung. Ohne sie wäre die Bearbeitung von Studioaufnahmen von bekannten Künstlerinnen und Künstlern undenkbar! Bevor wir in die einzelnen Schaltungen schauen, wollen wir einige Formeln, Definitionen und Phänomene klären, die die einzelnen Bauteile bei Wechselstrom beschreiben.

Impedanz

Bei Wechselstromkreisen wird der Widerstand der Bauteile oder auch der gesamten Schaltung Impedanz ZZ genannt. Der Betrag der Impedanz berechnet sich wie folgt:

Z=R2+X2\lvert Z \rvert =\sqrt{R^2 +X^2}

Dabei ist RR der Wirkwiderstand und XX der Blindwiderstand.

Der Blindwiderstand entsteht bei Spulen und Kondensatoren in Wechselstromkreisen, weil Spulen durch Induktion dem Stromfluss entgegenwirken und Kondensatoren durch ihre Kapazität Ladungsänderungen verzögern, was zu Phasenverschiebungen zwischen Strom und Spannung führt.

Aber wie sieht die Impedanz ZZ für die einzelnen Bauteile in unseren Schaltungen aus?

Ohmscher Widerstand: ZR=R2\lvert Z_R \rvert = \sqrt{R^2}

Induktiver Widerstand der Spule: ZL=RL2+XL2\lvert Z_L \rvert = \sqrt{R_L^2 +X_L^2}

Kapazitiver Widerstand des Kondensators: ZC=XC2\lvert Z_C \rvert = \sqrt{X_C^2}

Die Spule besitzt noch einen realen Wirkwiderstand RLR_L. Der reale Widerstand einer Spule entsteht durch den ohmschen Widerstand des Drahts, aus dem die Spule gewickelt ist. Bei einer idealen Spule wird der reale Widerstand manchmal vernachlässigt. Das kommt aber immer auf die Aufgabe an. Da solltest du aufpassen!

Die Größe XLX_L ist der Blindwiderstand der Spule LL und XCX_C ist der Blindwiderstand des Kondensators CC. Sie sind wie folgt definiert:

XL=ωLX_L= \omega \cdot L

XC=1ωCX_C=\dfrac{1}{\omega \cdot C}

Phasenverschiebung der Bauteile

Im Wechselstromkreis kommt es beim Kondensator und bei der Spule zu einer Phasenverschiebung zwischen der Spannung U(t)U(t) und der Stromstärke I(t)I(t). Der ohmsche Widerstand RR erfährt keine Phasenverschiebung. Die Phasenverschiebungen sind in der Abbildung gezeigt:

Phasenverschiebung der Bauteile im RLC-Kreis

Nun wollen wir aber die Phasenverschiebung des Kondensators und der Spule herleiten. Dass der ohmsche Widerstand keine Phasenverschiebung erfährt, wollen wir natürlich auch überprüfen. Die Phasenverschiebung ist für die Bestimmung der Impedanz unserer Reihen- und Parallelschaltung wichtig. Wir müssen also mathematische Ausdrücke für U(t)U(t) und für I(t)I(t) finden. Dazu nehmen wir an, dass unsere Wechselspannung U(t)U(t) sinusförmig ist. Sie lautet somit:

U(t)=U0sin(ωt)U(t)=U_0 \cdot \sin(\omega \cdot t)

Falls du dich wunderst, weshalb die Spannung und die Stromstärke von der Zeit abhängen: Es handelt sich um Wechselspannung. Das bedeutet, dass sich die Polung der Spannungsquelle mit einer bestimmten Frequenz ändert und somit auch die Stromrichtung.

Das hätten wir bereits. Wie wir einen Ausdruck für I(t)I(t) finden, wollen wir uns im Folgenden einzeln anschauen.

Phasenbeziehung ohmscher Widerstand

Nach dem ohmschen Gesetz ergibt sich I(t)I(t) durch:

I(t)=U(t)Rsin(ωt)I(t)=\dfrac{U(t)}{R}\cdot \sin(\omega \cdot t)

Damit erhalten wir:

I(t)=I0sin(ωt)I(t)=I_0 \cdot \sin(\omega \cdot t)

Wir sehen also, dass sowohl U(t)U(t) als auch I(t)I(t) proportional zu sin(ωt)\sin(\omega \cdot t) sind. Sowohl die Spannung U(t)U(t) als auch die Stromstärke I(t)I(t) sind in Phase.

Phasenverschiebung Kondensator

Am Kondensator ergibt sich die Ladung des Kondensators mit Q=CUQ=C\cdot U. Setzen wir die Spannung U(t)U(t) in diese Gleichung ein, dann erhalten wir:

Q(t)=CU0sin(ωt)Q(t)=C\cdot U_0\cdot \sin(\omega\cdot t)

Wir wollen nun einen Ausdruck für die Stromstärke finden, damit wir uns die Phasenverschiebung angucken können. Aber die Stromstärke ist ja nichts anderes als die Änderung der Ladung nach der Zeit. Mathematisch formuliert heißt das I(t)=ddtQ(t){I(t) = \frac{\text{d}}{\text{d}t} Q(t)}.

Leiten wir also unseren Ausdruck für die Ladung Q(t)=CU0sin(ωt)Q(t)=C\cdot U_0\cdot \sin(\omega \cdot t) ab, erhalten wir:

I(t)=ωCU0cos(ωt)I(t)=\omega \cdot C \cdot U_0 \cdot \cos(\omega \cdot t)

Hier kommt uns jetzt die Definition des Blindwiderstands XC=1ωCX_C=\frac{1}{\omega \cdot C} zur Hilfe. Darin steht, dass der Term ωC\omega \cdot C der Kehrwert unseres Blindwiderstands ist. Das heißt, eigentlich steht dort U0XC\frac{U_0}{X_C} und eine Spannung geteilt durch einen Widerstand ergibt nach dem ohmschen Gesetz eine Stromstärke I0I_0. Wir erhalten somit für unsere Stromstärke I(t)I(t)

I(t)=I0cos(ωt)=I0sin(ωt+π2)I(t)=I_0\cdot \cos(\omega t)=I_0\cdot \sin\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right)

Denn es gilt der Zusammenhang cos(ωt)=sin(ωt+π2)\cos(\omega t)=\sin\left(\omega t + \dfrac{\pi}{2}\right).

Vergleichst du nun die Formeln für U(t)U(t) mit der Formel für I(t)I(t), wirst du erkennen, dass die Stromstärke um π2\dfrac{\pi}{2} vor der Spannung steigt.

Somit ist die Phasenverschiebung der Spannung: ΔφC=π2\Delta \varphi_C=\dfrac{\pi}{2}

Das bedeutet, dass die Spannung erst π2\dfrac{\pi}{2} nach dem Strom zu steigen beginnt.

Deshalb auch der Merksatz:

Am Kondensator eilt der Strom vor.

Phasenverschiebung Spule

Für die Untersuchung der Spule stellen wir uns vor, dass unsere Spule einen Wirk- und einen Blindwiderstand hat. Dann ergibt sich die Spannung U(t)U(t) im Stromkreis wie folgt:

U(t)=UR+ULU(t)=U_R+U_L

Mit dem ohmschen Gesetz ergibt sich für UR=I(t)RU_R=I(t)\cdot R und die Spannung an einer Spule ist definiert mit UL=LdIdt{U_L=- L \cdot \frac{\text{d}I}{\text{d}t}}. Mit diesen Definitionen erhalten wir:

U(t)=I(t)RLdIdtU(t)=I(t)\cdot R - L\cdot \dfrac{\text{d}I}{\text{d}t}

Hier kommt uns an dieser Stelle die Annahme zugute, dass wir eine ideale Spule betrachten. Das bedeutet, dass diese keinen Wirkwiderstand besitzt. Das bedeutet: R=0R=0. Die Gleichung vereinfacht sich damit zu:

U(t)=U0sin(ωt)=LdIdtU(t) = U_0\cdot \sin(\omega \cdot t)= - L\cdot \dfrac{\text{d}I}{\text{d}t}

Nun müssen wir die Gleichung nur noch integrieren. Die Induktivität LL der Spule ist eine Konstante und darf daher vor das Integral gezogen werden! Außerdem bringen wir sie noch auf die andere Seite der Gleichung. Wir erhalten damit für I(t)I(t):

I(t)=U01ωLcos(ωt)I(t)=-U_0\cdot \dfrac{1}{\omega \cdot L}\cdot \cos(\omega \cdot t)

Auch hier hilft uns die Definition des Blindwiderstands der Spule XL=ωLX_L=\omega \cdot L. Das heißt, auch hier teilen wir die Spannung U0U_0 wieder durch einen Widerstand und erhalten damit nach dem ohmschen Gesetz die Stromstärke I0I_0. Die Gleichung wird:

I(t)=I0cos(ωt)=I0sin(ωtπ2)I(t)=-I_0\cdot \cos(\omega \cdot t)=I_0\cdot \sin\left(\omega \cdot t - \dfrac{\pi}{2}\right)

Denn es gilt der Zusammenhang cos(ωt)=sin(ωtπ2)-\cos(\omega t)=\sin\left(\omega t - \dfrac{\pi}{2}\right).

Verglichen mit der Formel für die Spannung U(t)U(t) steigt die Stromstärke erst um π2\frac{\pi}{2} nach der Spannung.

Somit ist die Phasenverschiebung der Spannung: Δφ_L=π2\Delta \varphi\_L=-\dfrac{\pi}{2}

Das bedeutet, dass die Spannung an der Spule dem Strom vorauseilt!

Hier gibt es den Merksatz:

Bei Induktivitäten die Ströme sich verspäten.

RCL-Reihenschaltung (Siebkreis)

Bei der Reihenschaltung werden die Bauteile nacheinander in Reihe geschaltet.

Schaltplan Siebkreis

Hier ergibt sich die Spannung aus der Summe der Teilspannungen der einzelnen Bauteile, die, wie wir wissen, gegeneinander phasenverschoben sind. Berechnen kann man sie ganz einfach mit einem Zeigerdiagramm . Wir können die phasenverschobenen Spannungen wie Vektoren in das Diagramm einzeichnen. Auf welche Achse und mit welchem Vorzeichen wir dieses eintragen, ergibt sich aus den Phasenverschiebungen der Teilspannungen URU_R, UCU_C und ULU_L bezogen auf die Stromstärke I(t)I(t).

  • Bezogen auf II ist die Spannung am ohmschen Widerstand URU_R in Phase mit der Stromstärke. Deswegen liegen die beiden Zeiger für die beiden Größen aufeinander.
  • Wir wissen, dass die Stromstärke zur Spannung einen Phasenunterschied von ΔφC=π2\Delta \varphi_C = \frac{\pi}{2} hat. Drehen wir das Ganze aber um und beziehen die Spannung UCU_C auf die Stromstärke II, dann ergibt sich für das Zeigerdiagramm ein Phasenunterschied von π2-\frac{\pi}{2}, was einen vertikalen Pfeil nach unten bedeutet.
  • Ebenso haben wir vorhin ermittelt, dass die Stromstärke der Spule zur Spannung eine Phasenverschiebung von ΔφL=π2\Delta \varphi_L = -\frac{\pi}{2} hat. Beziehen wir das für unser Zeigerdiagramm auf die Stromstärke, können wir für ULU_L eine Phasenverschiebung von π2\frac{\pi}{2} zur Stromstärke II festhalten. Das wäre im Zeigerdiagramm ein vertikaler Pfeil nach oben.

Zeigerdiagramm Siebkreis

Nun können wir die Gesamtspannung mit dem Pythagoras bestimmen:

U=UR2+(ULUC)2U=\sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}

Teilen wir in dem Zeigerdiagramm die Spannungen durch die Stromstärke, erhalten wir analog ein Zeigerdiagramm für die Impedanz! Hiermit können wir ebenfalls mit dem Pythagoras die Impedanz ZZ der gesamten RCL-Reihenschaltung berechnen:

Z=R2+(XLXC)2Z=\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

Mit den Definitionen für XL X_L und XCX_C erhalten wir:

Z=R2+(ωL1ωC)2Z=\sqrt{R^2 + \left(\omega \cdot L - \dfrac{1}{\omega \cdot C}\right)^2}

Damit haben wir ein Ergebnis für die Impedanz ZZ des RCL-Reihenkreises. Um dieses zu interpretieren, betrachten wir den Ausdruck und schauen, wann denn die Impedanz ZZ minimal wird! Dies geschieht, wenn ωL1ωC=0\omega L - \frac{1}{\omega C}=0 ist! Die Kreisfrequenz ω\omega, bei der dieser Fall eintritt, wird auch Resonanzkreisfrequenz ω0\omega_0 genannt. Versuchen wir, diese Resonanzkreisfrequenz ω0\omega_0 zu bestimmen:

ω0L1ω0C=0\omega_0 \cdot L - \dfrac{1}{\omega_0 \cdot C}=0

Umstellen liefert:

ω0L=1ω0C\omega_0 \cdot L= \dfrac{1}{\omega_0\cdot C}

Beziehungsweise:

ω02=1LC\omega_0^2= \dfrac{1}{LC}

Mit Wurzelziehen und der Beziehung ω=2πf\omega=2\pi f erhalten wir schlussendlich die Resonanzfrequenz f0f_0, bei der die Impedanz, also der Gesamtwiderstand der Schaltung, minimal wird!

f0=12πLCf_0= \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}

Wenn also bei dieser Frequenz f0f_0 der Gesamtwiderstand ZZ der Schaltung minimal wird, ist die Stromstärke II wegen I=URI=\frac{U}{R} maximal! Deswegen wird diese Schaltung auch Siebkreis genannt! Sie filtert einen Wechselstrom, der genau die Frequenz f0f_0 hat, aus einem breiteren Frequenzspektrum heraus! Denn sobald sich die Frequenz ff von der Resonanzfrequenz f0f_0 entfernt, steigt der Widerstand ZZ und die Stromstärke II sinkt. Manchmal wird die Resonanzfrequenz auch als Eigenfrequenz bezeichnet.

RCL-Parallelschaltung (Sperrkreis)

Bei der Parallelschaltung werden die Bauteile nacheinander parallel geschaltet.

Schaltplan Sperrkreis

Aufgrund der Parallelschaltung liegt unsere Ausgangsspannung UU in gleicher Größe an den einzelnen Impedanzen an. Allerdings wird sich nun die Gesamtstromstärke II nach dem kirchhoffschen Gesetz aufteilen. Mit den zuvor hergeleiteten Phasenbeziehungen können wir auch hier analog zum Siebkreis ein Zeigerdiagramm erstellen. Diesmal beziehen wir uns aber auf die Ströme I(t)I(t). IRI_R ist wieder in Phase mit der Spannung und zeigt also auch in Richtung der Spannung. ICI_C und ILI_L sind damit aber genau umgekehrt zu dem vorherigen Diagramm, wo wir die Spannungen betrachtet haben! Wir erhalten damit folgendes Diagramm:

Zeigerdiagramm Sperrkreis

Auch hier erhalten wir mit dem Satz des Pythagoras:

I=IR2+(ICIL)2I=\sqrt{I_R^2 + (I_C - I_L)^2}

Teilen wir hier nun die Stromstärken durch die Spannung, erhalten wir ein Zeigerdiagramm für den Kehrwert der Impedanz!

Ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir für 1Z\dfrac{1}{Z}:

1Z=1R2+(1XC1XL)2\dfrac{1}{Z}=\sqrt{\dfrac{1}{R^2}+ \left(\dfrac{1}{X_C}- \dfrac{1}{X_L}\right)^2}

Bilden wir den Kehrwert, ergibt sich die Impedanz ZZ zu:

Z=11R2+(1XC1XL)2Z=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{R^2}+ \left(\dfrac{1}{X_C} - \dfrac{1}{X_L}\right)^2}}

Mit den Definitionen für XL X_L und XCX_C erhalten wir:

Z=1R2+(ωC1ωL)2Z=\sqrt{\dfrac{1}{R^2} + \left(\omega\cdot C - \dfrac{1}{\omega \cdot L}\right)^2}

Auch hier betrachten wir wieder den Ausdruck in der Klammer. Hier ist es nun aber wegen des Bruchs so, dass ZZ maximal wird, wenn der Ausdruck in der Klammer null wird!

ω0C1ω0L=0\omega_0 \cdot C - \dfrac{1}{\omega_0 \cdot L}=0

Umstellen liefert:

ω0C=1ω0L\omega_0 \cdot C= \dfrac{1}{\omega_0 \cdot L}

Beziehungsweise:

ω02=1LC\omega_0^2= \dfrac{1}{L \cdot C}

Mit Wurzelziehen und der Beziehung ω=2πf\omega=2\pi \cdot f erhalten wir schlussendlich die Resonanzfrequenz f0f_0, bei der die Impedanz, also der Gesamtwiderstand der Schaltung, maximal wird!

f0=12πLCf_0= \dfrac{1}{2\pi \cdot \sqrt{L\cdot C}}

Wenn also bei dieser Frequenz f0f_0 der Gesamtwiderstand ZZ der Schaltung maximal wird, ist die Stromstärke II minimal! Deswegen wird diese Schaltung auch Sperrkreis genannt. Sie sperrt einen Wechselstrom, der genau die Frequenz f0f_0 hat, aus einem breiteren Frequenzspektrum heraus! Denn sobald sich die Frequenz ff von der Resonanzfrequenz f0f_0 entfernt, sinkt der Widerstand ZZ und die Stromstärke II steigt – also genau umgekehrt zu unserem Siebkreis!


Zusammenfassung – Reihen- und Parallelschaltung im Wechselstromkreis

  • In einem Wechselstromkreis kommt es beim Kondensator und bei einer Spule zu Phasenverschiebungen zwischen Stromstärke I(t)I(t) und Spannung U(t)U(t). Beim ohmschen Widerstand kommt es zu keiner Phasenverschiebung. Die Phasenverschiebung der Spannung am Kondensator ist ΔφC=π2\Delta \varphi_C=\frac{\pi}{2} und an der Spule ΔφL=π2\Delta \varphi_L = -\frac{\pi}{2}.

  • Beim Siebkreis wird die Impedanz ZZ an der Resonanzfrequenz f0f_0 minimal und somit die Stromstärke I(t)I(t) maximal! Die Resonanzfrequenz f0f_0 ergibt sich mit:

    f0=12πLCf_0= \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L\cdot C}}

  • Beim Sperrkreis wird die Impedanz ZZ an der Resonanzfrequenz f0f_0 maximal und somit die Stromstärke I(t)I(t) minimal! Die Resonanzfrequenz f0f_0 ergibt sich mit:

    f0=12πLCf_0= \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L\cdot C}}

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Reihen- und Parallelschaltungen im Wechselstromkreis

Reihen- und Parallelschaltungen im Wechselstromkreis Übung

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