Pendel Aufgaben

Hallo, ich bin euer Physik-Siggi und ich werde heute mit euch die mechanische Schwingung einüben. Ich werde euch dazu zwei Aufgaben zum Fadenpendel und zwei Aufgaben zum Federpendel erklären. Es wäre gut, wenn ihr dafür schon meinen Film über die mechanische Schwingung, Federpendel gesehen habt. Außerdem wäre es hilfreich, etwas über den Energieerhaltungssatz zu wissen. Dazu gibt es von mir den Film Arbeit und Energie. Als Pendel bezeichnet man Systeme, die hin und her schwingen, wie z. B. die Seite einer Gitarre, oder dieses Kind auf der Schaukel. Das Mädchen ändert ihren Aufenthaltsort periodisch mit der Zeit, wiederholt ihre Bewegung also nach einer Periode. Der Papa lenkt das Mädchen aus. Es befindet sich nun 2m links vom Balken entfernt. Hier starten wir die Messungen. Nach rechts tragen wir die Zeit auf und nach oben den Aufenthaltsort des Kindes. Es geht los. Nach 1s ist es direkt unter dem Balken, nach 2s ist es 2m rechts vom Balken, nach 3s ist es wieder unter dem Balken und nach 4s ist es wieder am Startpunkt. Eine Periode hat nun 4s gedauert. Die Schwingungsdauer T beträgt 4s. Die Amplitude beträgt 2m. Die Frequenz ist 1/T und somit 1/4 Herz. Die Schwingungsdauer kann man auch berechnen. Sie hängt lediglich von der Länge des Pendels ab und nicht von der Masse des Kindes. Je länger das Pendel, desto länger dauert die Schwingung, also desto größer T. Genau genommen ist sie direkt proportional zu \sqrt(l). Die Physiker haben folgenden Zusammenhang ermittelt: T=2π×\sqrt(l/g). g ist dabei die Fallbeschleunigung. Wir können nun z. B. berechnen, wie lange die Schaukel ist, wenn das Kind 4s gebraucht hat, um hin und her zu schwingen, dazu müssen wir die Formel so umstellen, dass auf einer Seite l und auf der anderen Seite der Rest steht. Also: Als erstes alles durch 2π teilen, dann bleibt links T/2π übrig und rechts kürzt sich das 2π heraus. Es steht also nur noch \sqrt(l/g) da. Das nehmen wir ins Quadrat. Dann löst sich rechts die Wurzel auf und links muss alles quadriert sein. Danach mit g malnehmen und wir haben l=g×(T²/4π²). Setzen wir die 4s für die Schwingungsdauer und die 10m/s² für die Fallbeschleunigung g ein, so erhalten wir, dass die Länge der Schaukel l etwa 4m beträgt. Ein zweites Beispiel: Das Pendel einer alten Uhr schwingt genau in 1s von einer Seite zur anderen. Die Umkehrpunkte sind 20cm voneinander entfernt. Wie lang ist das Pendel? Wir kennen die Zeit einer halben Schwingung. Sie beträgt eine Sekunde. Bis das Pendel wieder am Anfangspunkt angelangt ist, benötigt es noch eine weitere Sekunde. Also ist die Schwingungsdauer T=2s. Setzen wir nun diese 2s in die oben nach l umgestellte Formel, so erhalten wir eine Pendellänge von l=1m. Zweite Frage dazu: Welche maximale Geschwindigkeit hat das Pendel? Wir wissen aus der Energieerhaltung, dass die Geschwindigkeit dann maximal ist, wenn das Pendel seine gesamte Energie in kinetische Energie umgewandelt hat. Die gesamte Energie kennen wir am Startpunkt. Dort steht das Pendel und hat demnach nur potenzielle Energie. Sie beträgt Masse×Fallbeschleunigung×Höhe. Demnach ist am tiefsten Punkt, wo das Pendel nicht weiter fallen kann, die Geschwindigkeit maximal. Steigt es wieder hoch, so wird es wieder langsamer. Am tiefsten Punkt hat sich die gesamte Energie in kinetische Energie umgewandelt. Man kann die gesamten Energien also gleichsetzen. Wir sehen: die Masse m fällt heraus. Umstellen nach V ergibt: V=\sqrt(2gh). Die maximale Höhe h des Pendels können wir mit dem Satz von Pythagoras berechnen. Wir kennen die halbe Distanz zwischen den Umkehrpunkten. Sie beträgt 10cm, also 0,1m. Die Länge l des Pendels sind 1m. Und wenn wir zunächst x bestimmen, können wir danach h ausrechnen. Nach Pythagoras ist l²=x²+(d/2)². Umgestellt nach x erhalten wir: x=\sqrt(l²-(d/2)²). Dies sind 0,995m. Die Höhe h ist 1-x, also 0,005m. Die Höhe h können wir nun in unserer Formel für die Geschwindigkeit einsetzen. Und wir erhalten: Vmax= 0,32m/s. Das Pendel schwingt am tiefsten Punkt also mit seiner Maximalgeschwindigkeit von 0,32m/s. Die nächste Aufgabe beschäftigt sich mit dem Federpendel. Ihr kennt die Formel für die Schwingungsdauer T. Sie ist abhängig von der Masse, die an der Feder hängt und von der Härte der Feder. Die Rückstellkraft der Feder, sie beschreibt, wie stark die Feder dagegenhält, wenn sie auseinandergezogen wird, ist gleich der Auslenkung x × der Härte der Feder, D. Je härter die Feder, desto mehr Kraft braucht man, um sie auseinanderzuziehen. Und je weiter man zieht, desto mehr Kraft braucht man. An eine Feder mit dem Gewicht von 10kg werden zusätzlich 1kg gehängt. Sie zieht sich dabei um 1cm auseinander. Wie hart ist die Feder? Gesucht ist D. Was kennen wir? Die zusätzliche Masse, welche das Ziehen verursacht, m, ist 1kg. Und nach F=m×g kennen wir dann auch die Kraft, mit der diese Masse zieht, nämlich mit 10N. Außerdem kennen wir die Länge x, die die Feder auseinandergezogen wurde.  x=1cm, also 0,01m. Stellen wir nun F=x×D um, wir teilen auf beiden Seiten durch x und setzen die Werte ein. So erhalten wir: D=1000N/m. Mit welcher Schwingungsdauer T schwingt nun die Feder, wenn wir die zusätzliche Masse wieder abhängen? Die Masse der Feder ist 10kg. Ihre Härte beträgt 1000N/m. Also können wir beides in die Formel für die Schwingungsdauer einsetzen und wir erhalten: T=0,63s. Mit welcher Frequenz schwingt die Feder? f=1/T, also 1,6 Schwingungen/s, also sind das 1,6 Herz. Die letzte Aufgabe. Wir haben eine Feder mit der Federkonstante D=500N/m. Sie schwingt mit 3,2 Herz. Welche Masse hängt an der Feder? Gesucht ist m. Wir haben gegeben: D und f. Mit T=1/f können wir T berechnen. T kennen wir aber auch in dieser Formel. Diese beiden können wir gleichsetzen und nach der gesuchten Masse auflösen. Durch 2π teilen, quadrieren und mal D nehmen. Danach einsetzen und wir erhalten für die Masse m 1,24kg. Ein wichtiger Tipp: Ihr könnt jedes Ergebnis einer Aufgabe überprüfen, indem ihr guckt, ob die Einheiten stimmen. 1/(1/s²)×N/m soll kg sein. Wir wissen: N=kg×m/s². Und so erhalten wir tatsächlich im Endeffekt kg. Ich hoffe, ihr seid nun sicher, im Umgang mit Pendelaufgaben und ich hoffe ihr denkt immer daran, die Einheiten zu kontrollieren. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit.