Kräfteparallelogramm – zeichnerische Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften
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Grundlagen zum Thema Kräfteparallelogramm – zeichnerische Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften
Ein Kräfteparallelogramm zeichnen
Jakob hat sich eine Hängematte gekauft und möchte sie zwischen zwei Bäumen aufhängen. Bevor er sich die Arbeit macht, sie zwischen die Bäume zu hängen, überprüft er, ob die Seile sein Gewicht auch halten können. Dazu hängt er die Hängematte einfach gerade an einen Ast – die Seile halten sicher. Als er die Hängematte jedoch anschließend zwischen zwei Bäume hängt und sich freudig in die Hängematte legt, reißt ein Seil.
Hat er einen Fehler gemacht? Die Seile hatten ihn doch vorher gehalten? Um herauszufinden, weshalb die Hängematte dieses Mal nicht gehalten hat, beschäftigen wir uns im Folgenden mit Kräfteparallelogrammen.
Was ist ein Kräfteparallelogramm?
Bevor wir ein Kräfteparallelogramm zeichnen können, müssen wir verstehen, was dieser Begriff überhaupt bedeutet. Was eine Kraft in der Physik ist, weißt du schon. Außerdem weißt du auch, dass man Kräfte mithilfe von Vektorpfeilen darstellen kann. Denn sie haben eine Richtung und eine Stärke, die der Länge des Pfeils entspricht.
Wir stellen uns nun folgende Situation vor: Ein großes Frachtschiff soll in einen Hafen gezogen werden. Dazu ziehen zwei kleinere Schiffe mit den Kräften $\vec{F}_{1}$ und $\vec{F}_{2}$ am Bug des Frachtschiffs. Da es gefährlich ist, wenn sich die Schlepper zu nahe kommen, ziehen sie jeweils schräg nach vorne. Die Kräfte zeichnen wir mithilfe von Vektorpfeilen ein.
In der Abbildung sehen wir, dass die zwei Schlepper in unterschiedliche Richtungen an dem Frachtschiff ziehen. Allerdings gibt es eine resultierende Kraft, manchmal auch nur als Resultierende bezeichnet, die sich aus den einzelnen Kräften der Schlepperboote ergibt. Das liegt daran, dass die Kraft eine gerichtete Größe ist. Immer, wenn zwei Kräfte an demselben Punkt angreifen, kann man sie durch eine resultierende Gesamtkraft ersetzen.
Uns interessiert nun, welche Stärke und Richtung diese Resultierende hat. Und um das herauszufinden, nutzen wir das Kräfteparallelogramm. Um es zu zeichnen, wenden wir die Parallelverschiebung an. Wir zeichnen zu jedem der beiden Kraftpfeile eine parallel verschobene Linie von der Spitze des jeweils anderen Kraftpfeils aus. Auf diese Weise entsteht ein Parallelogramm. Die resultierende Kraft $\vec{F}_R$ können wir einzeichnen, indem wir einen Pfeil vom Angriffspunkt der beiden Einzelkräfte zum Schnittpunkt der parallel verschobenen Linien zeichnen.
Das Schiff wird also nach vorne gezogen. Der Kraftpfeil der Resultierenden ist außerdem länger als die einzelnen Pfeile, aber kleiner als deren Summe. Wir können auch erkennen, dass die Länge der Resultierenden von dem eingeschlossenen Winkel abhängt. Je spitzer der Winkel ist, desto länger wird der resultierende Kraftpfeil. Beträgt der Winkel $0^{\circ}$, ist die Resultierende genauso lang wie die Summe der einzelnen Pfeile. Allerdings wäre das – wie wir schon festgestellt haben – zu gefährlich für die Schlepper.
Kräfteparallelogramm – Beispiele
Wir können mithilfe des Kräfteparallelogramms grundsätzlich jede beliebige Kombination von Kräften berechnen. Wir betrachten im Folgenden aber zwei spezielle Beispiele.
Beispiel 1: Gestreckter Winkel
Wir stellen uns vor, die beiden Schlepper aus der Erklärung würden nicht an einem Frachtschiff, sondern aneinander in unterschiedliche Richtungen ziehen. Dann beträgt der Winkel zwischen den Kräften $180^{\circ}$ und wir können kein Parallelogramm durch Parallelverschiebung zeichnen. Die resultierende Kraft können wir trotzdem ermitteln. Dazu müssen wir die beiden einzelnen Kraftpfeile einfach direkt übereinanderschieben. Steht ein Pfeil über, gibt das überstehende Ende Länge und Richtung der resultierenden Kraft vor.
Sind beide Pfeile gleich lang, steht keiner der beiden Pfeile über und die resultierende Kraft ist gleich null. Das ist genau wie beim Tauziehen: Wenn beide Teams gleich stark sind, bewegt sich das Seil nicht.
Beispiel 2: Die Hängematte
Kommen wir auf die Hängematte aus der Einleitung zurück. Wir wissen immer noch nicht, wieso die Seile gerissen sind. Jetzt haben wir allerdings das Werkzeug, um dieses Rätsel zu lösen! Wir können das Kräfteparallelogramm benutzen.
Zu Beginn hing die Hängematte an einem Ast. In vertikale Richtung, also nach unten, zeigt die Gewichtskraft $\vec{F}_G$ von Jakob. Weil in diesem Fall die Seile beide (näherungsweise) gerade nach oben zeigen, verteilt sich die Gewichtskraft gleichmäßig auf beide Seilstücke – für jedes Seilstück kann ein Kraftpfeil gezeichnet werden, der halb so lang ist wie der Kraftpfeil von Jakob.
Jetzt betrachten wir die Situation in der Hängematte. Auch für dieses Beispiel können wir ein Kräfteparallelogramm zeichnen. Allerdings ist hier die Vorgehensweise etwas anders, denn wir kennen die resultierende Kraft, die Gewichtskraft $\vec{F}_G$, und müssen die an den Seilen wirkenden Kräfte bestimmen. Wir zeichnen zunächst einen Kraftpfeil für Jakobs Gewichtskraft nach unten. Das ist die Resultierende. Dann verlängern wir in gerader Linie die beiden Seilenden und verschieben sie dann jeweils parallel, sodass sie an der Pfeilspitze der Gewichtskraft vorbeilaufen. So entsteht ein Parallelogramm aus den parallel verschobenen Linien. Die Kräfte $\vec{F}_1$ und $\vec{F}_2$, die auf die Seile wirken, erhalten wir, indem wir je einen Pfeil vom Angriffspunkt zu den Ecken des Parallelogramms zeichnen.
Die Kräfte $\vec{F}_1$ und $\vec{F}_2$ sind jeweils größer als die Gewichtskraft von Jakob. Das Seil ist also gerissen, weil die Kraft zu groß wurde. Die Seile einer Hängematte müssen also mehr Kraft aushalten, als die Gewichtskraft der Person, die auf ihr sitzt. Je größer der Winkel zwischen den Seilen ist, desto größer wird die benötigte Kraft. Das liegt daran, dass die Seile immer mehr in die falsche Richtung ziehen. Weil die Kraftpfeile der beiden Seile immer den Kraftpfeil der Gewichtskraft ergeben müssen, werden sie länger, je größer der Winkel wird. Du kannst das selbst aufzeichnen. Dann siehst du, dass die Pfeile schnell nicht mehr auf dein Blatt passen.
Kurze Zusammenfassung zum Video Kräfteparallelogramm – zeichnerische Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften
In diesem Video lernst du, was ein Kräfteparallelogramm ist und wie man es zeichnet. Außerdem lernst du, Kräfte mithilfe der Parallelverschiebung zu zerlegen. Neben Text und Video findest du zum Thema Kräfteparallelogramm auch Aufgaben, mit denen du gleich üben kannst.
Transkript Kräfteparallelogramm – zeichnerische Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften
Kräfteparallelogramm: Zeichnerische Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften
Hallo. Hast du schonmal in einer Hängematte die Seele baumeln lassen? Ein tolles Gefühl, oder? Jacob hat sich auch endlich eine Hängematte gekauft und will sie gleich ausprobieren. Vorher testet er aber, ob ihn die Seile auch wirklich tragen. Dafür befestigt er beide Enden an einem starken Ast und setzt sich in die Mitte. Scheint alles sicher zu sein.
Jetzt spannt er die Matte zwischen zwei Bäumen auf. Er will es sich gerade gemütlich machen, da reißt eines der Seile und Jacob plumst auf den Boden. Wie kann das sein? Ist Jacob plötzlich schwerer geworden? Nein, sicherlich nicht. Es hat etwas mit der Kraftaufteilung zu tun.
Um dieses Problem zu lösen, schauen wir uns in diesem Video die zeichnerische Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften an. Dazu wiederholen wir kurz die physikalische Größe Kraft und den Kraftpfeil. Anschließend lernst du, wie sich zwei Kräfte zusammensetzen lassen und wie man eine einzelne Kraft in zwei Komponenten zerlegen kann. Das alles wollen wir rein zeichnerisch lösen, wofür wir das Kräfteparallelogramm verwenden.
Beginnen wir also mit der Kraft. Eine Kraft gibt an, wie stark Körper aufeinander wirken. Sie ist ein Maß dafür, welche Bewegungs- oder Formänderung durch ihr Wirken auf einen Körper hervorgerufen wird.
Zeichnerisch werden Kräfte mit dem Modell des Kraftpfeiles dargestellt. Dieser Pfeil macht zum einen eine Aussage über den Betrag der Kraft. Ein längerer Pfeil bedeutet auch eine größere Kraft.
Zum anderen gibt der Pfeil die Wirkrichtung der Kraft an. Die Kraft ist nämlich eine gerichtete Größe. Das bedeutet, dass ihre Wirkung nur in der Pfeilrichtung entlang der Wirkunglinie auftritt. Deswegen bekommt das Formelzeichen groß F auch einen kleinen Pfeil über den Kopf. Der Betrag der Kraft wird ohne Pfeil angegeben. Die Einheit der Kraft ist Newton. OK. Wie kann man nun Kräfte zusammensetzen?
Wenn zwei Kräfte an einem Punkt wirken, dann kann man ihre gemeinsame Wirkung durch eine resultierende Kraft F_R darstellen. Diese resultierende Kraft, oder auch nur Resultierende genannt, könnte die beiden Einzelkräfte vollständig ersetzen. Für die Konstruktion der Resultierenden nutzen wir die Parallelverschiebung. Mit einem Lineal und einem Geometriedreieck können wir jeweils zur Kraft F_1 und zur Kraft F_2 eine parallele gestrichelte Linie zeichnen. So ergibt sich ein Parallelogramm. In den Schnittpunkt dieser Linien können wir die Resultierende F_R zeichnen.
Ein Beispiel für diese Situation wäre das Schleppen eines großen Frachtschiffes. Ein einzelnes Schlepperboot könnte dieses schwere Schiff kaum bewegen. Deswegen greifen zwei Schlepper hier unter einem rechten Winkel am Frachter an und können es gemeinsam sicher in den nächsten Hafen bringen.
Der Betrag und die Richtung der Resultierenden sind dabei stark vom eingeschlossenen Winkel und dem Betrag der Einzelkräfte abhängig. Für die zwei Schlepper ist es vielleicht besser, mit der gleichen Kraft aber in einem spitzen Winkel zu ziehen. Dann ist die resultierende Kraft nämlich größer als vorher. Ist der eingeschlossene Winkel null Grad, dann ist die resultierende Kraft am größten, weil sich beide Kräfte direkt addieren. Das wäre wohl aber für die Schlepperboote zu gefährlich.
Und wenn sie in genau entgegengesetzte Richtungen ziehen? Tja, dann gewinnt die Seite mit der größeren Kraft. Das kennst du vielleicht schon vom Tauziehen. Sind beide Teams gleich stark, bewegt sich das Tau gar nicht. Die Resultierende ist null. Ist ein Team stärker, dann ergibt sich eine resultierende Kraft in diese Richtung.
Okay. So weit so gut. Wir haben aber unser Problem mit der Hängematte noch nicht gelöst. Schauen wir uns die Situation noch einmal an. Jacob hat zum Testen die Seilenden dicht beieinander am Baum festgemacht. Der eingeschlossene Winkel ist gerundet also null. Setzt er sich jetzt in die Matte, verteilt sich seine Gewichtskraft auf die zwei Seile und somit in zwei so genannte Komponenten. Wir sind also jetzt beim umgekehrten Fall: Dem Zerlegen von Kräften.
Bei einem Winkel von null Grad verteilt sich Jacobs Gewichtskraft gleichmäßíg zur Hälfte auf jedes Seil. Spannt er nun die Matte zwischen zwei Bäumen, haben wir zwischen den Seilen einen stumpfen Winkel. Für die Komponenten führen wir wieder eine Parallelverschiebung durch.
Da die Kräfte durch die Seile wirken, legen wir das Geodreieck an einem Seil an und verlängern die Wirkungslinie. Dann verschieben wir diese Linie parallel, bis sie durch die Pfeilspitze der Gewichtskraft verläuft. Und das gleiche auch noch auf der anderen Seite.
Siehst du schon das Parallelogramm? Jetzt können wir die Kraftkomponenten nachzeichnen. Dabei fällt auf, dass die Komponenten viel länger sind, als die ursprüngliche Gewichtskraft. Daher wirkt auch viel mehr Kraft in den Seilen, als bei einem Winkel von null Grad. Bei einem stumpfen Winkel sind die Kraftkomponenten also viel größer als die ursprüngliche Kraft. Und deshalb sind auch die Seile gerissen, als sich Jacob in die aufgespannte Hängematte setzen wollte.
Fassen wir also zusammen. Zeichnerisch können wir eine Kraft in zwei Komponenten zerlegen. Umgekehrt können wir aus zwei Kraftkomponenten eine resultierende Kraft konstruieren. Das eine Vorgehen ist der Umkehrprozess des anderen. Für jede Konstruktion nutzen wir die Parallelverschiebung und es entsteht ein Kräfteparallelogramm. Dabei können die einzelnen Kraftkomponenten kleiner aber auch sehr viel größer sein, als die resultierende Kraft. Das hängt vom eingeschlossenen Winkel zwischen den Wirkungslinien ab.
Und, kennst du noch mehr Beispiele für diese paradoxe Kräfteaufteilung? Wie ist das zum Beispiel, wenn du zusammen mit einem Freund eine schwere Kiste Wasser tragen willst?
Probier es gleich mal aus! Viel Spaß!
Kräfteparallelogramm – zeichnerische Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften Übung
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Beschreibe die physikalische Größe Kraft.
TippsBeim Tauziehen ziehen zwei Personen mit aller Kraft in unterschiedliche Richtungen. Meist gewinnt das kräftigere Team das Tauziehen.
LösungDie physikalische Größe Kraft beschreibt die Wechselwirkung zwischen Körpern.
Beispielsweise beim Tauziehen übst du mit deinem Arm eine Kraft auf das Seil aus und versuchst dein Gegenüber zu dir heran zu ziehen. Derjenige, der die größere Kraft auf den anderen ausübt, kann den Gegner zu sich herüberziehen und damit das Spiel gewinnen.
Wir sehen daran also, dass Kräfte Bewegungsänderungen hervorrufen können. Den Druck, den du auf deine Hand spürst, der lässt auf eine leichte Formänderung deiner Hand schließen.
Auch lässt sich Am Tauziehen zeigen, das Kräfte gerichtete Größen sind. Jede Kraft ist eine Vektorgröße, das heißt es reicht nicht zu wissen, wie groß eine Kraft ist, man muss immer auch dazu sagen, in welche Richtung und an welchem Punkt eine Kraft wirkt, um sie exakt zu beschreiben.
Bei einer skalaren Größe hingegen, wie der Temperatur, wissen wir alle, was gemeint ist, wenn jemand sagt, dass es heute 20°C in Berlin geben wird.
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Nenne Regeln für die Kräftezerlegung.
TippsMache dir eine Skizze von der Zerlegung einer Kraft. Suche dir dabei beliebige Wirkungslinien aus.
Der Angriffspunkt einer Kraft ist die Stelle, an der sie auf einen Körper einwirkt. Hier befindet sich der Anfang des Kraftpfeils.
Bei dem Bild, ist die resultierende Kraft, die Gewichtskraft des Bildes, die am Nagel senkrecht nach unten zeigt. Die Teilkräfte zeigen in die Seilrichtungen vom Nagel weg.
LösungEine Kraft kann man eindeutig in zwei Komponenten zerlegen, wenn man weiß, in welche Richtung ihre Komponenten zeigen.
Die Richtungen erhält man aus den Wirkungslinien, die man zusätzlich parallel an die Pfeilspitze verschieben muss, um die Beträge der Kraftkomponenten zu erhalten.
Eine Wirkungslinie kann zum Beispiel ein Seil sein, an dem man zieht. Zugstangen, Brückenpfeiler oder unsere Arme sind weitere Beispiele für mögliche Kraftlinien.
Oft interessiert man sich auch für die Komponenten in Richtung Erdmittelpunkt, entlang einer Bewegungsrichtung oder senkrecht zu einer Oberfläche.
Ein Problem hat man allerdings dann, wenn beide Komponenten in einer Linie liegen, die einen rechten Winkel mit der resultierenden Kraft bildet. Kannst du dir vorstellen, warum?
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Bestimme zeichnerisch die resultierende Kraft.
TippsÜbertrage die Kraftpfeile maßstabsgetreu auf ein Blatt Papier, wähle dabei einen möglichst großen Maßstab. Umso länger die Pfeile auf dem Papier sind, umso exakter kannst du das richtige Ergebnis ermitteln.
Beachte den rechten Winkel zwischen den Kraftpfeilen.
Du kannst die resultierende Kraft auch mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. Hast du eine Idee, wie?
LösungAm einfachsten ist es, die Zeichnung möglichst groß auf ein Blatt Papier zu übertagen. Beachte dabei den rechten Winkel zwischen den Kraftkomponenten.
Rechnerisch ist es möglich, die Aufgabe mit Hilfe des Satzes des Pythagoras lösen. Er wird in der 8. bzw. 9. Klasse behandelt.
$F_R^2=3^2+4^2\\ F_R=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
Zu jeder Kraft gehört auch eine Einheit. Das N steht für Newton.
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Bestimme zeichnerisch die Kräfte, die Felix und sein Vater beim Tragen einer 10 kg schweren Wasserkiste aufwenden müssen.
TippsDu kannst die Wasserkiste als Punktmasse annehmen, das heißt, du vernachlässigst einfach ihre Größe und zeichnest stattdessen einen Punkt.
Beachte, dass Masse und Kraft unterschiedliche physikalische Größen sind und auch verschiedene Einheiten besitzen. Die Fallbeschleunigung g beträgt etwa 10 m/s². Wir suchen hier die Gewichtskraft.
Überlege dir, wer mehr Kraft aufwenden muss.
LösungZuerst bestimmen wir die Gewichtskraft der Wasserkiste. Dafür wenden wir das zweite Newtonsche Axiom an.
$F= m \cdot g = 10 kg \cdot 10 \frac{m}{s^2} = 100 N$.
Diese Kraft wird jetzt auf die beiden Komponenten aufgeteilt. Dafür macht man sich am besten eine Skizze, in die man die Winkel richtig einzeichnet und die Gewichtskraft der Wasserkiste maßstabsgerecht einträgt. Dafür kann 1 cm auf dem Papier beispielsweise 10 N entsprechen.
Die Arme von Felix und seinem Vater verlängert man mit einer gestrichelten Linie, die der Wirkungslinie der Kraft entspricht. Nach der Parallelverschiebung dieser beiden Linien an das Ende des Kraftpfeils müssen nur noch die Seitenlängen des Parallelogramms abgelesen werden.
In der 8. bzw. 9. Klasse lernst du auch eine Möglichkeit kennen, diese Aufgabe rechnerisch zu lösen.
Es gibt in einem Kräfteparallelogramm zwei rechtwinklige Dreiecke. Nehmen wir uns eines der beiden, zum Beispiel das auf der Seite des Vaters, können wir die gesuchte Seite mit der Kosinusformel bestimmen.
$\begin{array}{llll} \cos 60° &=& \frac{F_F}{F_R} & | \cdot F_R\\ F_R\cdot \cos 60° &=& {F_F} & \\ \\ F_F &=& 100 N \cdot \cos 60° & \\ &=& 50 N & \end{array}$
Genauso kannst du das auch mit dem anderen Dreieck machen:
$\begin{array}{llll} \cos 30° &=& \frac{F_V}{F_R} & | \cdot F_R\\ F_R\cdot \cos 30° &=& {F_V} & \\ \\ F_V &=& 100 N \cdot \cos 30° & \\ &=& 87 N & \end{array}$
Da es immer zu kleinen zeichnerischen Ungenauigkeiten kommen kann. Ist es möglich das deine Ergebnisse von den genaueren rechnerischen Ergebnissen leicht abweichen.
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Nenne Regeln für die Kräfteaddition.
TippsZeichne zu den gegebenen Situationen die Kräfteparallelogramme.
LösungWenn zwei Kräfte gegeben sind, kann man sie immer zeichnerisch addieren. Solange die Kräfte nicht in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zeigen oder einen rechten Winkel einschließen, entsteht bei der Konstruktion ein echtes Parallelogramm.
Bei einem rechten Winkel entsteht ein Rechteck und in dem anderen Fall eine gerade Linie. Beides sind Spezialfälle eines Parallelogramms.
Die resultierende Kraft ist am größten, wenn beide Kräfte in dieselbe Richtung zeigen und am kleinsten, wenn sie in die entgegengesetzte Richtung zeigen und sich somit teilweise aufheben. Nur wenn beide Kräfte den gleichen Betrag haben und in entgegengesetzte Richtungen zeigen, heben sie sich vollständig auf.
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Finde heraus, ob Felix und sein Freund es schaffen, das Seil, an dem eine Wasserkiste hängt, so zu spannen, dass es eine gerade Linie ergibt.
TippsVersuche, das Kräfteparallelogramm zu zeichnen.
Wie sieht das Kräfteparallelogramm aus, wenn das Seil fast straff ist?
LösungUm diese Aufgabe zu lösen, ist es wieder hilfreich, das Kräfteparallelogramm einzuzeichnen.
Falls das in diesem Fall nicht klappt, kann es sein, dass du einen Fehler gemacht hast, oder, dass dieser Fall gar nicht möglich ist.
Woran es tatsächlich liegt, findest du am besten heraus, indem du einen Fall betrachtest, der kurz vor dem Extremfall des geraden Seils liegt. Das heißt, den Fall, bei dem das Seil kurz davor ist, komplett gespannt zu sein und noch ein wenig durchhängt.
Hier ist es wieder möglich, das Kräfteparallelogramm zu zeichnen. Du siehst aber hier schon, dass die Kraftkomponenten extrem lang sind, falls sie überhaupt noch auf dein Blatt Papier passen.
Umso weniger das Seil durchhängt, umso länger müssen die Kraftkomponenten sein, um die resultierende Kraft auszugleichen.
Praktisch gesehen, gibt es also irgendeinen Punkt, an dem das Seil einfach reißt, weil die Kraft entlang des Seils zu groß wird - vorausgesetzt, Felix und sein Freund sind stark genug.
Ein Blick in die Ferne: Bei einem nicht durchhängenden Seil müssten die Komponenten unendlich groß sein, also größer als jede Zahl, die du dir vorstellen kannst. Man spricht hier von einem Grenzfall, weil dieser Fall in Wirklichkeit nie erreicht werden kann. An dem Bild siehst du, dass es hier nicht möglich ist, ein Kräfteparallelogramm einzuzeichnen.
Kraft und ihre Wirkung
Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften
Kräfteparallelogramm – zeichnerische Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften
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Warum rechnet man bei Aufgabe 3 mit F3?
Hallo Simba,
du hast natürlich recht, 9,81 m/s² wäre genauer. Aber mit 10 m/s² lässt sich die Aufgabe leichter im Kopf rechnen.
Liebe Grüße aus der Redaktion.
Hallo! :)
Ich habe eine Frage zur Aufgabe 4. Warum wird da bei der Lösung zum Errechnen der Gewichtskraft
10kg•10 m/s^2 gerechnet?
(Echt sonst ein mega tolles Video
mit viel Arbeit) :)
Schonmal vielen Dank! :)
Liebe Grüße :)
warum kein ton
Hallo Hangu,
damit die Kiste auf der gleichen Höhe gehalten wird, müssen die Beiden, die Gewichtskraft genau aufheben. Daher können wir das Beispiel mit den Gewichtskräften berechnen.
Liebe Grüße aus der Redaktion