Energieerhaltungssatz (Übungsvideo)

Energieerhaltungssatz (Übungsvideo) Übung

• Nenne eine Formel, die den Energieerhaltungssatz darstellt.

  Tipps

  Es spielen zwei Energien eine Rolle. Die Spannenergie der Feder und die potentielle Energie. Damit lässt sich die Bewegung zwischen dem Abschießen und dem Erreichen der Maximalhöhe beschreiben.

  Die Spannenergie der Feder kann mithilfe der Federkonstante und der Auslenkung der Feder berechnet werden.

  Die potentielle Energie kann mit der Masse, der Erdbeschleunigung und der Höhe berechnet werden.

  Lösung

  Es gilt Energieerhaltung. Hierbei ist der Zusammenspiel zwischen Spannenergie $E_{sp}$ und potentieller Energie $E_{pot}$ wichtig.

  Am Anfang der Bewegung steckt die gesamte Energie in der Spannenergie.
  Diese kann mit der Formel
  $E_{sp}=\frac{1}{2}\cdot D \cdot s^2 $
  beschrieben werden.

  Je höher der Ball fliegt, desto mehr Spannenergie wird in potentielle Energie umgewandelt.

  Für die potentielle Energie gilt:
  $E_{pot}=m\cdot g \cdot h $.

  Wenn die Kugel bei der Maximalhöhe ankommt, dann entspricht die Gesamtenergie nur noch potentieller Energie.
  Die Summe aus Spannenergie und potentieller Energie ist damit immer konstant.

  Es gilt also:
  $E_{sp}+E_{pot}=konst.$
  und damit
  $\frac{1}{2}\cdot D \cdot s^2 + m\cdot g \cdot h = konst.$

• Beschreibe, wie die erreichte Höhe berechnet werden kann.

  Tipps

  Bei der Energieerhaltung ist die Gesamtenergie immer konstant. Wie könnte man die Gesamtenergie berechnen?

  Gehört vor dem Abschuss auch potentielle Energie zur Gesamtenergie? Welche Flughöhe hat das Geschoss zu diesem Zeitpunkt?

  Wenn das Geschoss seine Maximalhöhe erreicht hat, bewegt es sich nicht weiter nach oben. Danach fällt es wieder runter. Was heißt dies für die Spannenergie bzw. kinetische Energie an diesem Punkt?

  Lösung

  Es gilt Energieerhaltung. Dabei ist die Gesamtenergie immer konstant.

  Besonders zu betrachten ist der Anfangspunkt und der Endpunkt der betrachteten Bewegung.

  Der Anfangspunkt ist beim Abschuss. Dort ist die Spannenergie der Feder maximal.
  Die potentielle Energie ist dagegen minimal. Sie ist Null, da $h=0$ gilt und damit auch $E_{pot}=m \cdot g \cdot h=0$.
  Die Gesamtenergie entspricht hier der Spannenergie und kann so berechnet werden:
  $E_{Ges}=E_{sp}(h=0)=\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2$.

  Der Endpunkt ist bei der Maximalhöhe. Die Flugrichtung des Körpers dreht sich hier um, danach würde er wieder runterfallen. Die Bewegungsenergie und damit auch die Spannenergie ist hier Null.
  Die potentielle Energie ist dagegen maximal. Sie entspricht damit der Gesamtenergie:
  $E_{Ges}=E_{pot}(h=h_{max})=m \cdot g \cdot h_{max}$.

  Mit der Überlegung von vorher können die beiden Gleichungen also gleichgesetzt werden:
  $\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2=m \cdot g \cdot h_{max}$.

  Diese Gleichung muss dann nur noch nach $h$ umgestellt werden.

  $\begin{align} && \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2&=m \cdot g \cdot h_{max} &|& \div (m \cdot g) \\ &\Leftrightarrow& \frac{D \cdot s^2}{2 \cdot m \cdot g } &= h_{max} \end{align} $

• Berechne die Geschwindigkeit beim Aufprall der Kugel.

  Tipps

  Es gilt Energieerhaltung. Welche Aussagen kannst du über den Start und den Endpunkt treffen?

  Beim Startpunkt der Bewegung hat der Körper keine Geschwindigkeit. Die potentielle Energie entspricht der Gesamtenergie.

  Beim Endpunkt der Bewegung, also dem Auftreffen auf den Boden, ist die Höhe null. Somit entspricht die kinetische Energie hier der Gesamtenergie.

  Werden diese Formeln gleichgesetzt und nach $v$ umgestellt, dann ergibt sich die Formel zur Berechnung der Aufprallgeschwindigkeit.

  Lösung

  Es gilt hier Energieerhaltung. Dabei wird im Laufe des Fallens die potentielle Energie in die kinetische Energie umgewandelt.

  Es gilt: $E_{pot}+E_{kin}=konst.$

  Beim Startpunkt der Fallbewegung hat der Körper keine Geschwindigkeit. Somit entspricht die Gesamtenergie der potentiellen Energie. Es folgt:
  $E_{pot}=m \cdot g \cdot h = E_{ges}$.

  Wenn der Körper dann auf den Boden auftrifft, dann gilt $h=0$. Somit gilt auch $E_{pot}=0$ und die Gesamtenergie entspricht der kinetischen Energie.
  Die Geschwindigkeit ist an diesem Punkt maximal und es gilt:
  $E_{kin}=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = E_{ges}$.

  Die beiden genannten Gleichungen können gleichgesetzt und nach der Geschwindigkeit umgestellt werden: $\begin{align} && m \cdot g \cdot h&=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 && \\ &\Leftrightarrow& g \cdot h &= \frac{1}{2} \cdot v^2 &|&\cdot 2 \\ &\Leftrightarrow& 2 \cdot g \cdot h &= v^2 &|& \sqrt{~~} \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{2\cdot g \cdot h } &=v \end{align}$

  Dort müssen nur noch die gegebenen Werte eingesetzt werden:
  $v=\sqrt{2\cdot g \cdot h }=\sqrt{2\cdot 9,81~ \frac{m}{s^2} \cdot 6 ~m } \approx 10,85 ~\frac{m}{s}$ .

• Berechne die maximale Geschwindigkeit der Kugel.

  Tipps

  Berechne erst die Höhe, die der Körper erreicht, und damit die Geschwindigkeit beim Auftreffen auf den Boden. Nutze den Energieerhaltungssatz. Wie kann man die Spannenergie einer Feder berechnen?

  Wegen dem Energieerhaltungssatz entspricht die Spannenergie der potentiellen Energie, die der Körper bei seiner Maximalhöhe hat.

  Wegen dem Energieerhaltungssatz entspricht die kinetische Energie, wenn der Ball auf den Boden trifft, der potentiellen Energie bei der Maximalhöhe.

  Setzt man die Gleichungen für die potentielle Energie gleich, ergibt sich eine Formel mit der die Maximalgeschwindigkeit direkt berechnet werden kann.

  Bedenke auch die Größen vor der Rechnung in die richtige Einheit umzuformen. Mache zur Überprüfung eine Einheitenrechnung.

  Lösung

  Es gilt der Energieerhaltungssatz.

  Bei Abschuss des Körpers entspricht die Gesamtenergie der Spannenergie der Feder.
  Wenn der Körper seine Maximalhöhe erreicht, dann wurde die Spannenergie komplett in potentielle Energie umgewandelt.

  Es gilt also:
  $E_{sp}(h=0)=\frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 = m \cdot g \cdot h_{max}=E_{pot}(h=h_{max})$.

  Wenn der Körper dann wieder nach unten fällt, wird die potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Bei Auftreffen auf den Boden gilt $h=0$. Die Geschwindigkeit ist hier maximal und die potentielle Energie wurde komplett umgewandelt.
  Es gilt:
  $E_{kin}(h=0)=\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{h=0}^2 = m \cdot g \cdot h_{max}=E_{pot}(h=h_{max}) $.

  Die beiden Formeln drücken also die potentielle Energie aus und können gleichgesetzt werden. Anschließend wird nach $v$ umgestellt:

  $\begin{align} && \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2 &= \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{h=0}^2 &|& \cdot 2 \div m \\ &\Leftrightarrow& \frac{D \cdot s^2}{m}&=v_{h=0}^2 &|& \sqrt{~~} \\ &\Leftrightarrow& v&=\sqrt{ \frac{D \cdot s^2}{m}} \end{align} $

  Mit eingesetzten Werten folgt: $v=\sqrt{ \frac{D \cdot s^2}{m}}=\sqrt{ \frac{0,3 ~\frac{N}{m} \cdot {(0,06 ~m)}^2}{0,045 ~ kg}}=\sqrt{0,24 ~ \frac{kg \cdot m^3 }{s^2 \cdot m \cdot kg}} \approx 0,15 \frac{m}{s}$.

• Nenne die Aussage des Energieerhaltungssatzes.

  Tipps

  Eine Erhaltungsgröße ist eine Größe, die konstant ist, also erhalten wird.

  Es gibt offene und abgeschlossene physikalische Systeme. In einem offenen System können Energien von außen hinzu kommen. Können dann auch welche entweichen?

  Für einen Ball, der nach oben geworfen wird, ist die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie immer konstant.

  Lösung

  Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die Energie in einem abgeschlossenem System eine Erhaltungsgröße ist.

  Eine Erhaltungsgröße ist hierbei eine physikalische Größe, die sich nicht verändert. Sie ist also konstant.

  Es gibt neben den abgeschlossenen Systemen auch offene Systeme. Bei diesen können Energien von außen hinzukommen oder entfernt werden. Der Energieerhaltungssatz gilt deswegen nicht für alle physikalischen Systeme.

  Im Prinzip besagt der Energieerhaltungssatz auch, dass die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen physikalischen System immer eine Konstante ergibt.

  Hierbei können Spannenergie, kinetische Energie, potentielle Energie oder auch Drehenergie eine Rolle spielen. Kennst du weitere Energiearten?

• Berechne die Spannenergie der Feder.

  Tipps

  Bedenke die richtige Einheit. Energien werden in Joule oder in Newtonmeter angegeben.

  Nutze den Energieerhaltungssatz. Beim Abschuss ist die Spannenergie maximal und die potentielle Energie Null. Welche ähnlichen Aussagen kannst du über den Höhepunkt und das Auftreffen auf dem Boden treffen und wie kannst du daraus eine Gleichung formen?

  Wegen der Energieerhaltung gilt diese Gleichung. Kannst du die potentielle Energie auch über die kinetische Energie ausdrücken?

  Lösung

  Es gilt der Energieerhaltungssatz.

  Bei Abschuss des Körpers entspricht die Gesamtenergie der Spannenergie der Feder.
  Wenn der Körper seine Maximalhöhe erreicht, dann wurde die Spannenergie komplett in potentielle Energie umgewandelt.

  Es gilt also:
  $E_{sp}(h=0)=E_{pot}(h=h_{max})$.

  Bis zum Auftreffen auf dem Boden wird die potentielle Energie komplett in kinetische Energie umgewandelt. Es gilt:
  $E_{kin}(h=0)=\frac{1}{2}\cdot m \cdot v^2=E_{pot}(h=h_{max})$.

  Die beiden Formeln drücken also die potentielle Energie aus und können gleichgesetzt werden. Es folgt direkt die gesuchte Größe:

  $E_{sp}(h=0)=E_{kin}(h=0)=\frac{1}{2}\cdot m \cdot v_{h=0}^2$.

  Dort werden die gegebenen Werte eingesetzt:
  $E_{sp}(h=0)=\frac{1}{2}\cdot m \cdot v_{h=0}^2=\frac{1}{2} \cdot 80 ~ g \cdot 9^2 ~ \frac{m^2}{s^2} = 3240 ~\frac{g \cdot m^2}{s^2}=3,24 ~\frac{kg \cdot m^2}{s^2}=3,24 ~Nm=3,24~J$.