Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen

Bewegung und Koordinatensysteme

Wir wollen uns heute mit der Kinematik beschäftigen. Das Wort Kinematik stammt aus dem Altgriechischen und bedeutet Bewegung. Es beschreibt ein Teilgebiet der Physik, das sich mit der Bewegung von Körpern beschäftigt, indem es Zeit, Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung miteinander in einen Zusammenhang bringt. Ein wichtiges Instrument, um diese Zusammenhänge zu untersuchen, sind Koordinatensysteme. Je nachdem, welche Größen man betrachtet, unterscheidet man zwischen verschiedenen Diagrammtypen.

Das Weg-Zeit-Diagramm

In der Physik beschreibt man in einem Weg-Zeit-Diagramm den Zusammenhang zwischen Zeit und zurückgelegter Strecke. Auf der x‑Achse wird die Zeit $\text{t}$ angegeben, meistens in der Einheit Sekunden, die mit $\text{s}$ abgekürzt wird. Auf der y‑Achse wird die zurückgelegte Strecke $\text{s}$, also der Weg, angegeben. Üblicherweise nutzt man hier die Einheit Meter, abgekürzt mit $\text{m}$. Es ist wichtig, dass es sich um die zurückgelegte Strecke und nicht um den Ort oder den Abstand zu einem Bezugspunkt handelt. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung um einen festen Punkt nimmt beispielsweise die zurückgelegte Strecke linear mit der Zeit zu, obwohl der Körper immer wieder an seinen Ausgangspunkt zurückkehrt. Auch ein Auto, das in einer Zeit $t_1$ erst 20 Meter vorwärts und dann 20 Meter rückwärts fährt, legt eine Strecke von 40 Metern zurück, obwohl es am Ende wieder am gleichen Ort ist. Im Weg-Zeit-Diagramm wäre also der y‑Wert zum Zeitpunkt $t_1$ die Strecke $s(t_1) = 40~\text{m}$.

Die Steigung des Weg-Zeit-Diagramms gibt an, welche Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird. Das ist genau die Definition für die Geschwindigkeit $v$. Aufgrund der Abkürzungen Strecke $s$ und Zeit $t$ nennt man das Weg-Zeit-Diagramm auch s-t-Diagramm.

Das Ort-Zeit-Diagramm

Will man nicht nur die zurückgelegte Strecke untersuchen, sondern auch den Ort, nutzt man ein Ort-Zeit-Diagramm. Auf der x-Achse wird hier auch die Zeit $\text{t}$ angegeben, aber auf der y-Achse der Ort, an dem sich das Objekt gerade befindet. Wenn wir nur eine Dimension betrachten, können wir den Ort als Abstand zu einem Referenzpunkt beschreiben. Das könnte zum Beispiel die Höhe über dem Boden sein, wenn wir etwas senkrecht nach oben werfen und es auch senkrecht wieder nach unten fällt. Oder eben ein Auto, das gerade vorwärts und rückwärts fährt. Im Ort-Zeit-Diagramm wäre also der y-Wert zum Zeitpunkt $t_1$ für das vor- und zurückfahrende Auto $s(t_1) = 0~\text{m}$. Beim Ort-Zeit-Diagramm spielt also die Richtung der Bewegung eine Rolle – in einer Dimension ändert sich zum Beispiel das Vorzeichen. Das Weg-Zeit-Diagramm ist deswegen auch ein Spezialfall des Ort-Zeit-Diagramms: Es wird nur der Betrag der Geschwindigkeit berücksichtigt. Die Steigung im Weg-Zeit-Diagramm ist also immer positiv oder null, während sie im Ort-Zeit-Diagramm auch negativ sein kann. Wenn die Bewegung nur in eine Richtung erfolgt, sich das Vorzeichen also nicht ändert, sind Weg-Zeit-Diagramm und Ort-Zeit-Diagramm daher äquivalent.

Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

Auch im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm wird auf der x-Achse die Zeit $\text{t}$ angegeben. Auf der y-Achse tragen wir die Geschwindigkeit $\text{v}$ des Objekts ein. Die Geschwindigkeit wird in der Physik meistens in Metern pro Sekunde, also $\frac{\text{m}}{\text{s}}$, angegeben. Man kann also ablesen, welche Geschwindigkeit ein Objekt zu jedem Zeitpunkt seiner Bewegung hat. Das Diagramm gibt also die Steigung des Ort-Zeit-Diagramms wieder.

Aber auch die Steigung des Geschwindigkeit-Zeit-Diagramms hat eine physikalische Bedeutung. Sie zeigt, wie stark sich die Geschwindigkeit ändert: Je größer die Steigung, desto schneller ändert sich die Geschwindigkeit. Und diese Änderung entspricht gerade der Beschleunigung. Aufgrund der Abkürzungen für Geschwindigkeit $(v)$ und Zeit $(t)$ nennt man das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm auch v-t-Diagramm.

Beispiele

Um die Diagramme der Bewegung etwas anschaulicher zu machen, wollen wir zwei Beispiele betrachten.

Gleichförmige Bewegung

Wir betrachten ein Paket, das auf einem Förderband liegt, als Beispiel für eine gleichförmige Bewegung. Gleichförmig bedeutet, dass die Geschwindigkeit konstant ist. Schauen wir uns also an, wie man in diesem Fall ein Weg-Zeit-Diagramm erstellen kann.

Das Paket liegt zum Zeitpunkt $t=0$ am Anfang des Förderbandes. Diesen Punkt wählen wir als Bezugspunkt, dort ist also $s=0$. Nach $5~\text{s}$ ist das Paket $10~\text{m}$ nach rechts gefahren. Im Koordinatensystem können wir dazu einen Punkt bei $(t = 5~\text{s}, s = 10~\text{m})$ zeichnen. Nach weiteren $5~\text{s}$ ist das Paket auch weitere $10~\text{m}$ gefahren, da die Geschwindigkeit konstant ist. Wir können also einen Punkt bei $(t = 10~\text{s}, s = 20~\text{m})$ einzeichnen. Wenn wir so weitermachen, können wir alle Punkte am Ende mit einer Geraden verbinden. Für diese Gerade gilt allgemein die Geradengleichung:

$s(t) = v_0 \cdot t + x_0$

Das $s(t)$ steht für die zurückgelegte Strecke $s$ zur Zeit $t$, $v_0$ ist die Geschwindigkeit und $s_0$ die vor $t=0~\text{s}$ zurückgelegte Strecke. In unserem Fall ist $s_0=0$. Wir erhalten dann das folgende Diagramm:

Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung dieser Geraden und beträgt $2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Das Geschwindigkeitsdiagramm entspricht wieder der Geschwindigkeit und ist eine Konstante mit der Gleichung $v(t) = 2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Du kannst aus dem v-t-Diagramm auch die Beschleunigung ablesen, denn die ist durch die Steigung gegeben. Diese ist bei einer Konstanten überall null. Das entspricht der Definition einer gleichförmigen Bewegung: Die Bewegung ist nicht beschleunigt.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Als zweites Beispiel betrachten wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Gleichmäßig beschleunigt bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit ändert, aber die Beschleunigung einen konstanten Wert hat. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn wir einen Ball aus großer Höhe, zum Beispiel aus einem Hubschrauber, fallen lassen und den Luftwiderstand vernachlässigen. Wir gehen wie im ersten Beispiel vor und betrachten die zurückgelegte Strecke zu verschiedenen Zeitpunkten. Zum Zeitpunkt $t=0$, an dem wir den Ball loslassen, befindet er sich noch am Ausgangspunkt, hat also noch keine Strecke zurückgelegt. Durch die Erdanziehung wird der Ball aber nach unten beschleunigt. Nach einer Zeit $t=1~\text{s}$ ist er um $5~\text{m}$ nach unten gefallen. Nach insgesamt $2~\text{s}$ hat er bereits $20~\text{m}$ zurückgelegt. Man sieht schon beim Einzeichnen, dass sich die Steigung zwischen den Punkten vergrößert hat – der Ball fällt immer schneller. Nach $3~\text{s}$ hat er bereits $45~\text{m}$ zurückgelegt. Die Form dieser Kurve nennt man eine Parabel und sie wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$s(t) = \frac{1}{2}a \cdot t^{2} + v_0 \cdot t + s_0$

Das $s(t)$ steht wieder für die zurückgelegte Strecke, $a$ steht für die Beschleunigung (hier die Erdbeschleunigung), $v_0$ für die Anfangsgeschwindigkeit und $s_0$ für die zum Zeitpunkt $t=0$ zurückgelegte Strecke. In unserem Beispiel sind $s_0$ und $v_0$ beide null.

Im Gegensatz zum Paket auf dem Laufband ändert sich in diesem Beispiel die Geschwindigkeit mit der Zeit. Deswegen zeigt auch das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm keine Konstante mehr, sondern eine ansteigende Gerade. Diese Gerade kann durch die folgende Geradengleichung beschrieben werden:

$v=a \cdot t + v_0$