Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen

Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen Übung

• Bestimme die richtigen Aussagen zu $s$-$t$- und $v$-$t$-Diagrammen.

  Tipps

  Zwei Aussagen sind korrekt.

  Wenn eine Kurve im $s$-$t$-Diagramm zweimal den gleichen $t$-Wert hätte, dann müsste der Körper zum gleichen Zeitpunkt an unterschiedlichen Orten sein.

  Lösung

  $(1)$ Die Aussage „In einem $s$-$t$-Diagramm kann man nicht erkennen, welche Geschwindigkeit ein Körper hat.“ ist falsch.

  $\Rightarrow$ Die Steigung der Kurve im $s$-$t$-Diagramm beschreibt, welche Strecke in welcher Zeit zurückgelegt wurde. Dies ist die Definition der Geschwindigkeit.

  $(2)$ Die Aussage „Der zurückgelegte Weg ergibt sich in einem $v$-$t$-Diagramm aus der Fläche unter der Kurve.“ ist richtig.

  $\Rightarrow$ Wenn wir die Fläche unter der Kurve im $v$-$t$-Diagramm berechnen, dann bestimmen wir, wie lange ein Körper sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegt hat. Da die Geschwindigkeit beschreibt, welche Strecke pro Zeit zurückgelegt wurde, gilt umgekehrt auch, dass sich die Strecke aus der Geschwindigkeit multipliziert mit der Zeit ergibt.

  $(3)$ Die Aussage „In einem $s$-$t$-Diagramm kann jeder $s$-Wert nur einmal angenommen werden.“ ist falsch.

  $\Rightarrow$ Wir können im Raum beliebig hin und her wandern, und das können wir in einem $s$-$t$-Diagramm darstellen. Wenn ein Körper zu verschiedenen Zeitpunkten $t$ den gleichen $s$-Wert aufweist, heißt das einfach nur, dass der Körper mehrmals an den gleichen Ort gekommen ist.

  $(4)$ Die Aussage „Man kann aus einem $s$-$t$-Diagramm ein $v$-$t$-Diagramm ableiten.“ ist richtig.

  $\Rightarrow$ Man muss dafür nur die Steigung zu jedem Zeitpunkt $t$ bestimmen und den ermittelten Wert zum gleichen Zeitpunkt $t$ in das $v$-$t$-Diagramm eintragen. Zu jedem $s$-$t$-Diagramm können wir so ein eindeutiges $v$-$t$-Diagramm erstellen. Umgekehrt geht das nicht. Zwar können wir aus einem $v$-$t$-Diagramm ableiten, welche Strecke ein Körper zu jedem Zeitpunkt zurückgelegt hat, aber es ist unmöglich, herauszufinden, wo der Körper gestartet ist. Meistens wird diese Unbestimmtheit dadurch gelöst, dass man den Startort als $0$ definiert.

  $(5)$ Die Aussage „Wenn sich der Wert im $v$-$t$-Diagramm nicht verändert, dann bedeutet das, dass sich der Körper nicht bewegt.“ ist falsch.

  $\Rightarrow$ Ein konstanter Wert (waagerechte Linie) im $v$-$t$-Diagramm zeigt an, dass die Geschwindigkeit des Körpers konstant ist. Ein Flugzeug kann zum Beispiel viele Stunden lang eine konstante Geschwindigkeit von $800~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ haben. Im $v$-$t$-Diagramm entspricht das einer langen waagerechten Linie. Trotzdem wird niemand bezweifeln, dass sich das Flugzeug fortbewegt.

  $(6)$ Die Aussage „In beiden Diagrammen ist es möglich, dass eine Kurve mehrfach den gleichen $t$-Wert aufweist.“ ist falsch.

  $\Rightarrow$ Nach unserem jetzigen Wissensstand können wir nicht in der Zeit reisen – oder jedenfalls nur in dem Sinne, dass wir pro Sekunde eine Sekunde in der Zeit nach vorn reisen. Die Kurve kann also in beiden Diagrammen nur in die positive $x$-Richtung verlaufen und nicht etwa irgendwann umdrehen und zurück zum Ursprung verlaufen. Das heißt, jeder $t$-Wert in einem $s$-$t$- und in einem $v$-$t$-Diagramm kann nur einmal angenommen werden.

• Beschreibe die Bewegungen, die durch das $s$-$t$-Diagramm dargestellt werden.

  Tipps

  Die beschriebenen Abschnitte gehen von:

  • $0~\text{s}$ bis $2~\text{s}$
  • $2~\text{s}$ bis $3~\text{s}$
  • $3~\text{s}$ bis $4~\text{s}$
  • $4~\text{s}$ bis $4{,}5~\text{s}$
  • $4{,}5~\text{s}$ bis $5~\text{s}$
  • $5~\text{s}$ bis $8~\text{s}$

  Die Steigung der Kurve entspricht der Geschwindigkeit: je steiler, desto schneller.

  Die Adjektive „abrupt“ und „schlagartig“ meinen, dass sich die Steigung der Kurve von einem Wert zu einem anderen ändert, ohne dass es einen kontinuierlichen Übergang zwischen beiden gibt.

  Lösung

  Abschnitt $\mathbf{1}$: ($0~\text{s}$ bis $2~\text{s}$)

  In diesem Abschnitt sehen wir eine Gerade mit einer konstanten Steigung von $0{,}5~\frac{\text{m}}{\text{s}}$, die am Ursprung startet. Dazu passt die Beschreibung:

  $\quad \Rightarrow$ „Der Körper entfernt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit langsam von seinem Startort.“

  Abschnitt $\mathbf{2}$: ($2~\text{s}$ bis $3~\text{s}$)

  Hier sehen wir eine nach links gekrümmte Kurve. Das bedeutet, die Steigung der Kurve – und damit die Geschwindigkeit des Körpers – nimmt mit der Zeit kontinuierlich zu. Dazu passt die Beschreibung:

  $\quad \Rightarrow$ „Der Körper beschleunigt seine Bewegung.“

  Abschnitt $\mathbf{3}$: ($3~\text{s}$ bis $4~\text{s}$)

  Bei $t=3~\text{s}$ hat die Kurve einen Knick. Die Steigung ändert sich schlagartig von $4{,}5~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ zu $0~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Danach ändert sich der $s$-Wert für eine Sekunde nicht. Dazu passt die Beschreibung:

  $\quad \Rightarrow$ „Der Körper bleibt abrupt stehen und verharrt an seinem Ort.“

  Abschnitt $\mathbf{4}$: ($4~\text{s}$ bis $4{,}5~\text{s}$)

  In diesem Abschnitt sehen wir wieder eine Gerade mit konstanter Steigung. Dieses Mal ist sie allerdings negativ und betragsmäßig größer als in Abschnitt $1$. Dazu passt die Beschreibung:

  $\quad \Rightarrow$ „Der Körper bewegt sich zurück zu seinem Startort.“

  Abschnitt $\mathbf{5}$: ($4{,}5~\text{s}$ bis $5~\text{s}$)

  Bei $t=4{,}5~\text{s}$ hat die Kurve einen scharfen Knick. Die Steigung wechselt plötzlich von $-7~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ zu $+12~\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Diese Geschwindigkeit bleibt konstant bis $t=5~\text{s}$. In dieser halben Sekunde hat der Körper ganze sechs Meter zurückgelegt. Dazu passt die Beschreibung:

  $\quad \Rightarrow$ „Der Körper ändert schlagartig seine Bewegungsrichtung und legt schnell eine große Strecke zurück.“

  Abschnitt $\mathbf{6}$: ($5~\text{s}$ bis $8~\text{s}$)

  Im letzten Abschnitt ist die Kurve leicht rechtsgekrümmt. Das bedeutet, die Steigung wird kontinuierlich geringer. Der Körper wird entsprechend immer langsamer. Bei $t=6~\text{s}$ erreicht die Steigung den Wert $0~\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und bleibt bis zum Ende des Diagramms so. Dazu passt die Beschreibung:

  $\quad \Rightarrow$ „Der Körper wird immer langsamer, bis er zum Stehen kommt.“

• Bestimme die Geschwindigkeit an den beiden Punkten aus dem $s$-$t$-Diagramm.

  Tipps

  Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung der Geraden im $s$-$t$-Diagramm.

  Es gilt:

  $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

  Punkt $A$ liegt in einem Abschnitt, in dem der Körper eine konstante Geschwindigkeit hat. Er legt hier insgesamt $8~\text{m}$ in $2~\text{s}$ zurück.

  Punkt $B$ liegt in einem Abschnitt, in dem sich die zurückgelegte Strecke nicht verändert.

  Lösung

  Gesucht sind zwei momentane Geschwindigkeiten, die aus dem $s$-$t$-Diagramm herzuleiten sind. Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, müssen wir herausfinden, welche Steigung die Kurve an dem gesuchten Punkt hat.

  Geschwindigkeit an Punkt $A$

  Punkt $A$ liegt in einem Abschnitt der Kurve, in dem sie eine konstante Steigung hat. Die Steigung können wir berechnen, indem wir die Veränderung des $y$-Wertes durch die dazugehörige Veränderung des $x$-Wertes teilen. Physikalisch entspricht das der Überlegung, welche Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wurde. Wenn wir den ganzen ersten Abschnitt der Kurve betrachten, können wir ablesen, dass der Körper sich vom Startort ${(s=0~\text{m})}$ zu $s=8~\text{m}$ bewegt hat. Dafür hat er vom Zeitpunkt $t= 0~\text{s}$ bis zum Zeitpunkt $t= 2~\text{s}$ gebraucht.

  Es gilt also:

  $\Delta s = 8~\text{m} - 0~\text{m} = 8~\text{m}$

  $\Delta t = 2~\text{s} - 0~\text{s} = 2~\text{s}$

  Und somit finden wir die Geschwindigkeit am Punkt $A$:

  $\color{#99CC00}{v_A = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{8~\text{m}}{2~\text{s}} = 4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}$

  Geschwindigkeit an Punkt ${B}$

  Für die Geschwindigkeit an Punkt $B$ müssen wir gar nicht rechnen. Wir sehen, dass sich in diesem Abschnitt der Ort des Körpers nicht mit der Zeit ändert. Das geht nur, wenn er sich nicht fortbewegt, also wenn seine Geschwindigkeit $0$ ist.

  Das ist schon das Ergebnis:

  $\color{#99CC00}{v_B = 0~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}$

• Ordne die zusammengehörigen $s$-$t$- und $v$-$t$-Diagramme zu.

  Tipps

  Die Steigung zu jedem Zeitpunkt $t$ im $s$-$t$-Diagramm entspricht der momentanen Geschwindigkeit $v$ des Körpers.

  Eine Gerade in einem $s$-$t$-Diagramm entspricht einer Konstanten (waagerechte Gerade) im $v$-$t$-Diagramm.

  Ist die Steigung negativ, so verläuft die Kurve von oben links nach unten rechts. Dann ist auch die Geschwindigkeit negativ.

  Lösung

  Bild 1

  Das erste $s$-$t$-Diagramm zeigt eine einfache Gerade. Die Steigung der Kurve ist demnach zu jedem Zeitpunkt $t$ gleich.

  Zu diesem Diagramm gehört das $v$-$t$-Diagramm mit der einfachen Konstanten, also der einfachen waagerechten Linie.

  Bild 2

  Das zweite $s$-$t$-Diagramm beschreibt eine Bewegung in zwei Phasen: Die erste Phase ist wieder eine Bewegung, bei der die Kurve eine gleichbleibende Steigung hat. Hier ist die Geschwindigkeit konstant. In der zweiten Phase ändert sich der zurückgelegte Weg nicht mehr mit der Zeit. Der Körper ruht also. Das entspricht der Geschwindigkeit ${v=0~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}}$.

  Das zugehörige $v$-$t$-Diagramm ist daher das, welches in der ersten Hälfte der Zeit einen konstanten positiven Wert zeigt und in der zweiten Hälfte der Zeit konstant $0$ ist.

  Bild 3

  Das dritte $s$-$t$-Diagramm zeigt eine Kurve mit vier Teilstücken, die jeweils eine andere Steigung haben. Um es etwas genauer zu sagen: Die Steigung wird in jedem Abschnitt etwas größer. Beschrieben wird eine Bewegung, die immer schneller wird.

  Hierzu gehört das $v$-$t$-Diagramm, das aussieht wie eine Treppe, deren Stufen immer höher werden.

  Bild 4

  Im letzten $s$-$t$-Diagramm hat die Kurve zunächst eine positive Steigung, dann einen kurzen Abschnitt mit der Steigung $0$ und abschließend einen Abschnitt mit einer negativen Steigung. Beschrieben wird hier eine schnelle Bewegung (große Steigung) bis zu einem bestimmten Punkt. An diesem Punkt verharrt der Körper einen Augenblick. Danach bewegt er sich etwas langsamer (betragsmäßig geringere Steigung) zurück an den Startpunkt.

  In dem Fall passt das $v$-$t$-Diagramm, welches zunächst einen konstanten positiven Wert zeigt, anschließend kurz auf der Nulllinie verharrt und abschließend einen konstanten negativen Wert hat.

• Vervollständige die Zusammenfassung der wichtigsten Aussagen.

  Tipps

  Wenn du dir unsicher bist, welche Information an welche Achse kommt, dann kannst du dich an der Reihenfolge der Größen orientieren: Die erste Größe kommt auf die $y$-Achse und die zweite auf die $x$-Achse.

  In der Alltagssprache heißt „Beschleunigung“, dass man immer schneller und schneller wird. Die Geschwindigkeit wird also immer größer.

  Lösung

  Das $s$-$t$-Diagramm

  $s$-$t$-Diagramme werden in der Physik immer genutzt, wenn der Ort eines Körpers abhängig von der Zeit untersucht wird. Was genau mit diesem „Ort“ gemeint ist, ergibt sich üblicherweise aus dem Kontext. Also mache dir keine Gedanken, wenn du manchmal von einem „Ort-Zeit-Diagramm“ liest und manchmal von einem „Weg-Zeit-Diagramm“.

  Entscheidend ist, dass auf der $x$-Achse der Zeitverlauf erkennbar ist: Je weiter man sich in positiver $x$-Richtung bewegt, desto mehr Zeit vergeht. Auf der $y$-Achse wird eine Länge abgetragen. Was genau diese Länge meint, kann man dann aus dem Kontext schließen. Die meisten Informationen über die Bewegung bekommt man allerdings, wenn $s$ die Position des Körpers in einer Raumrichtung beschreibt. In diesem Fall kann man an einem Diagramm die zurückgelegte Gesamtstrecke, die Geschwindigkeit und die Bewegungsrichtung ablesen!

  Eine Geschwindigkeit ist darüber definiert, wie viel Strecke ein Körper in einer bestimmten Zeit zurückgelegt hat. Wenn man „Strecke pro Zeit“ in eine Formel übersetzt, meint das, dass man die Differenz zwischen dem Zielort und dem Startort durch die Differenz zwischen der Zielzeit und der Startzeit teilt:

  $v = \dfrac{s_{\text{Ziel}} - s_{\text{Start}}}{t_{\text{Ziel}} - t_{\text{Start}}}$

  Für diese Differenz, also die zurückgelegte Strecke bzw. die verstrichene Zeit, verwendet man den griechischen Buchstaben $\Delta$ („Delta“):

  $v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$

  Mit dieser Gleichung kannst du auch die Steigung einer Geraden im $s$-$t$-Diagramm bestimmen.

  
  

  Das $v$-$t$-Diagramm

  Das $v$-$t$-Diagramm gibt Auskunft darüber, welche Geschwindigkeit ein Körper zu einer bestimmten Zeit hatte.

  Hier erfordert die Interpretation gleichfalls ein bisschen Kontext: Wenn sich die Geschwindigkeit auf ein reines Weg-Zeit-Diagramm bezieht, dann kann sie nur positive Werte annehmen. Die Aussage ist folglich nur: „Der Körper war so und so schnell.“ Über die Bewegungsrichtung wird nichts gesagt.

  Bezieht sich die Geschwindigheit hingegen auf ein Ort-Zeit-Diagramm, sind auch negative Werte möglich. Daraus können wir dann zusätzlich schließen, in welche Richtung der Körper sich mit dieser Geschwindigkeit bewegt hat.

  Aus dem $v$-$t$-Diagramm können wir ableiten, welche Strecke der Körper nach einer bestimmten Zeit zurückgelegt hat. Dafür müssen wir die Fläche zwischen der $v$-$t$-Kurve und der $x$-Achse bis zu dem Zeitpunkt $t$ bestimmen, an dem wir die zurückgelegte Strecke wissen möchten.

  Untersuchen wir die Steigung der Kurve im $v$-$t$-Diagramm, können wir bestimmen, wie sich die Geschwindigkeit mit der Zeit verändert. Diese Veränderung nennt man Beschleunigung. Sie besitzt das Formelzeichen $a$. Anders als in der Alltagssprache sagt man in der Physik auch „Beschleunigung“, wenn der Körper langsamer wird.

  
  

  Weitergedacht

  In dieser Aufgabe hast du einen absolut fundamentalen Zusammenhang der Mechanik kennengelernt!

  Dafür müssen wir aber andersherum anfangen:

  $\rightarrow$ Bewegungen sind in der Mechanik die Auswirkung von Kräften.

  $\rightarrow$ Kräfte führen zu einer Beschleunigung des Körpers.

  $\rightarrow$ Die Beschleunigung über eine bestimmte Zeit gibt dem Körper eine bestimmte Geschwindigkeit.

  $\rightarrow$ Abhängig von der Geschwindigkeit des Körpers über eine gewisse Zeit legt der Körper eine bestimmte Strecke zurück.

  So, geschafft!

• Ermittle, welche Strecke der Körper insgesamt zurückgelegt hat.

  Tipps

  Achtung: Einheit nicht vergessen.

  Die Gesamtstrecke entspricht der Fläche zwischen der Kurve und der $x$-Achse.

  Teile die Fläche unter der Kurve in drei einfache geometrische Formen.

  Lösung

  Vorüberlegung

  Um die zurückgelegte Gesamtstrecke aus einem $v$-$t$-Diagramm herzuleiten, müssen wir die Fläche zwischen der Kurve und der $t$-Achse bestimmen.

  Wie in dem Diagramm gezeigt, können wir bei dieser Kurve die Fläche gut in drei einfache geometrische Figuren aufteilen, von denen wir leicht den Flächeninhalt berechnen können:

  • ein Rechteck $R_1$ mit den Eckpunkten ($0~\text{s}\vert0~\frac{\text{m}}{\text{s}}$), ($8~\text{s}\vert0~\frac{\text{m}}{\text{s}}$), ($8~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$) und ($8~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$)

  • ein Dreieck $D$ mit den Eckpunkten ($2~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$), ($6~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$) und ($6~\text{s}\vert6~\frac{\text{m}}{\text{s}}$)

  • ein Rechteck $R_2$ mit den Eckpunkten ($6~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$), ($8~\text{s}\vert2~\frac{\text{m}}{\text{s}}$), ($8~\text{s}\vert6~\frac{\text{m}}{\text{s}}$) und ($6~\text{s}\vert6~\frac{\text{m}}{\text{s}}$)

  
  

  Rechnung

  Rechtecke haben die Flächenformel $A_R = a \cdot b$, wobei $A$ die Fläche ist und $a$ und $b$ die Seiten des Rechtecks sind.

  Für das erste Rechteck lesen wir ab:

  $a=8~\text{s}$ und $b=2~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Damit ist sein Flächeninhalt:

  $A_{R_1} = 8~\text{s} \cdot 2~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 16~\text{m}$

  Für das zweite Rechteck lesen wir ab:

  $a=2~\text{s}$ und $b=4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Damit ist sein Flächeninhalt:

  $A_{R_2} = 2~\text{s} \cdot 4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 8~\text{m}$

  Dreiecke haben die Flächenformel $A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h$, wobei $g$ die Grundseite des Dreiecks ist und $h$ seine Höhe.

  Für unser Dreieck lesen wir folgende Werte ab:

  $g= 4~\text{s}$ und $h=4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

  Wir berechnen seine Fläche als:

  $A_D = \dfrac{1}{2} \cdot 4~\text{s} \cdot 4~\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 8~\text{m}$

  
  

  Das Ergebnis

  Zum Schluss müssen wir die drei Teilflächen nur noch addieren und erhalten die zurückgelegte Gesamtstrecke:

  $\color{#99CC00}{s = A_{R_1} + A_{R_2} + A_{D} = 16~\text{m} + 8~\text{m} + 8~\text{m} = 32~\text{m}}$

  
  

  Weiterführender Hinweis

  Nicht immer kann man so einfache geometrische Formen unter eine Kurve basteln. Wenn man die Funktionsgleichung der Kurve kennt, dann kann man die Fläche unter ihr mithilfe der sogenannten Integralrechnung bestimmen. Diese nützliche mathematische Methode wird in der Oberstufe gelehrt.