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Interpretieren von Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen

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Philip Rupp
Interpretieren von Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse

Interpretieren von Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Interpretieren von Bewegungen in s-t-Diagrammen und v-t-Diagrammen kannst du es wiederholen und üben.
  • Zeige die Formel zur Berechnung der Strecke bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

    Tipps

    Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist $a = const $.

    Die Formel zur Berechnung der Strecke infolge einer gleichförmigen Bewegung lautet $s(t) = v \cdot t + s_0$.

    Lösung

    Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung handelt es sich um eine Bewegung, bei der die Beschleunigung $a$ konstant ist. Ist diese Beschleunigung positiv, so wird die Geschwindigkeit mit der Zeit immer größer. Ist diese negativ, wird die Bewegung gebremst und gegen den Wert $v = 0$ streben.

    Neben dem Teil der Strecke, der aus der beschleunigten Bewegung resultiert, müssen zwei weitere Anteile berücksichtigt werden.

    Zunächst muss berücksichtigt werden, dass die Bewegung mit einer anfänglichen Geschwindigkeit $v_0$ gestartet sein kann. Zudem muss auch eine Abweichung des Startpunktes um $s_0$ angenommen werden.

    So ergibt sich also $s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0$ zur Berechnung der Strecke $s$ in Abhängigkeit von $t$ für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

  • Bestimme den Verlauf der Wegstrecke $s(t)$ für die gezeigte Murmelbahn.

    Tipps

    Bei einer gleichförmigen Bewegung ist der Graph $s(t)$ eine Gerade.

    Bei einer gleichmäßig positiv beschleunigten Bewegung steigt der Graph $s(t)$ exponentiell.

    Bei einer gleichmäßig negativ beschleunigten Bewegung sinkt der Graph $s(t)$ exponentiell.

    Lösung

    Um das passende Diagramm der zurückgelegten Strecke $s(t)$ zu bestimmen, müssen wir die Bewegung der Murmel auf der Bahn zunächst in vier Bereich einteilen.

    Im Bereich 1 wird die Murmel gleichmäßig mit einer hohen Beschleunigung beschleunigt. Der Graph $s(t)$ muss in diesem Bereich also exponentiell steigen.

    Im Bereich 2 wird die Murmel nicht beschleunigt, sondern befindet sich in gleichförmiger Bewegung. Im $s(t)$-Diagramm muss hier eine Gerade vorliegen.

    In Bereich 3 liegt eine Steigung vor. Hier tritt nun eine negative Beschleunigung auf. Die Murmel wird gebremst. Für die Funktion $s(t)$ bedeutet das, dass diese hier exponentiell abflachen muss.

    Bereich 4 bildet den letzten Teil der Murmelbahn. Hier liegt wieder eine gleichförmige Bewegung vor. Im $s(t)$-Diagramm muss also eine Gerade entstehen.

    Nach Durchlaufen des letzten Bereiches trifft die Murmel auf ein Hindernis, sodass deren Weg nicht weiter fortgesetzt wird. Die Strecke verbleibt ab dieser Stelle konstant, sodass also $s(t)$ ab hier konstant verläuft.

  • Leite den Verlauf der Murmelbahn von dem $s(t)$-Diagramm ab.

    Tipps

    Von der Murmelbahn kannst du leicht auf den Verlauf der Geschwindigkeit schließen.

    Lösung

    Die gesuchte Murmelbahn muss eine stetige Steigung aufweisen, da die Bewegung immer weiter beschleunigt werden muss.

    Am Ende der Bahn muss zudem ein Hindernis angebracht sein. Nur bei der gezeigten Murmelbahn tritt eine konstante, positive Beschleunigung auf, sodass die Bewegung immer schneller wird und immer mehr Strecke in einem Zeitabschnitt zurückgelegt wird.

    Bei den anderen gezeigten Bahnen treten auch negative Beschleunigungen auf, die aus einer positiven Bahnsteigung resultieren. Die entsprechenden $s(t)$-Diagramme müssten unterschiedliche Krümmungen aufweisen.

    Wie du siehst, kannst du von der zurückgelegten Strecke bereits gute Schlüsse auf den Verlauf der Bahn zeigen. Mit den Geschwindigkeiten und Beschleunigungen lassen sich diese gut ableiten.

  • Beschreibe den Verlauf der Murmelbahn hinsichtlich der Geschwindigkeit.

    Tipps

    Die maximale Beschleunigung ist $\vec a = \vec g$.

    Ist ein Bahnabschnitt nach oben gerichtet, so tritt eine negative Beschleunigung auf, also ein Bremsvorgang.

    Die Steigung der Bahn bestimmt den Betrag der Beschleunigung.

    Lösung

    Die Veränderung der Geschwindigkeit der grünen Murmel im Verlauf der Murmelbahn lässt sich leicht anhand der Steigungen des Bahnverlaufes bestimmen.

    Je steiler der Bahnabschnitt, desto größer die Beschleunigung und desto schneller wird die Kugel

    Ist ein Bahnabschnitt nach oben gerichtet, so tritt eine negative Beschleunigung auf, also ein Bremsvorgang. Die Kugel befindet sich im Bild an dem Punkt direkt vor dem Absturz der Bahn. Hier tritt nun ein Sonderfall auf: Die Kugel fällt frei im Schwerefeld der Erde.

    Die Beschleunigung an dieser Stelle ist maximal $ \vec a = \vec g$.

    In den anderen Bereichen ist die Beschleunigung über den $\sin$ oder $\cos$ und $\vec g$ zu ermitteln.

    Die Geschwindigkeit in den einzelnen Abschnitten ergibt sich nach $\vec v = \vec a \cdot t$.

  • Berechne die Weltrekordzeit.

    Tipps

    Lösung

    Um die Weltrekordzeit zu bestimmen, müssen wir uns zunächst einmal mit dem Startpunkt $s_0$ und der Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ auseinandersetzen.

    Der Start ist logischerweise bei $s_0 = 0m$, denn alle Sprinter starten ja an der gleichen Position, sozusagen am Koordinatenursprung. Da sie vor dem Startschuss alle in Ruhe sind, ist auch die Anfangsgeschwindigkeit $v_0 = 0$.

    So ergibt sich die vereinfachte Formel zur Berechnung $s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.

    Die Strecke $s(t)$ sowie die Beschleunigung $a4 sind bekannt, sodass wir mit $t$ nur eine Unbekannte haben. Die Gleichung muss also lösbar sein.

    Da es sich um einen $100m$-Sprint handelt, muss $s(t) = 100m$ sein. Die Beschleunigung ist mit $a= 2,179 \frac{m}{s^2}$ ebenfalls bekannt.

    Nun stellen wir um: $s(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \to t = \sqrt{\frac{2 \cdot s(t)}{a}}$ und setzen ein $t = \sqrt{\frac{2 \cdot 100m}{2,179 \frac{m}{s^2}}} = 9,58 s$.

    Die Weltrekordzeit muss also $t_{WR} = 9,58s$ betragen.

  • Bestimme den Verlauf der Murmelbahn aus dem $v(t)$-Diagramm.

    Tipps

    Für den Fall$v=0$ muss die Kugel auf ein Hindernis getroffen sein.

    Ist eine konstante Geschwindigkeit vorhanden, muss auch der Verlauf der Bahn konstant (waagerecht) sein.

    Nimmt die Geschwindigkeit zu, so muss die Bahn bergab laufen, nimmt sie ab, muss es bergan gehen.

    Lösung

    Um den Verlauf der Murmelbahn aus einem gegebenen $v(t)$-Diagramm zu bestimmen, müssen wir zunächst einmal ablesen, welche Geschwindigkeit in welchen Bereich vorhanden ist.

    Dann ordnen wir zu: Ist eine konstante Geschwindigkeit vorhanden, muss auch der Verlauf der Bahn konstant (waagerecht) sein. Nimmt die Geschwindigkeit zu, so muss die Bahn bergab laufen, nimmt sie ab, muss es bergauf gehen. Für den Fall$v=0$ muss die Kugel auf ein Hindernis getroffen sein.

    Mit diesen Vorschriften ergibt sich der Verlauf der Bahn leicht aus dem angegebenen Diagramm.

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