Atwoodsche Fallmaschine (Übungsvideo)

Hallo und herzlich willkommen zum Video über die Anwendung des 2. Newtonschen Gesetzes in einem typischen Beispiel. Ich werde kurz das Gesetz wiederholen. Es lautet F=m×a, wobei F für die Kräfte steht, die einen Körper beschleunigen, m für die Masse des Körpers, welcher beschleunigt wird, wobei der letzte Satz sehr, sehr wichtig ist. Mit anderen Worten, das m im 2. Newtonschen Gesetz steht für die träge Masse. Also die Masse, die mithilfe der Kraft F, wie immer die auch lauten mag, beschleunigt wird. Das wird von Schülern oft missverstanden und wir werden gleich sehen, wie man das zu verstehen hat. a steht dann natürlich für die entsprechende Beschleunigung. Unser Beispiel lautet folgendermaßen: Die Attwood'sche Fallmaschine. Sie heißt deshalb Fallmaschine, weil man mit ihr die Befallbeschleunigung beliebig verringern kann. Sie funktioniert so: Zwei Massen m und M sind über eine Rolle mit einer Schnur verbunden. Dabei soll die Masse M größer sein, als die Masse m. Die Rolle und Schnur werden als Masse und reibungslos betrachtet. Das Ganze sieht so aus: Als Erstes werden wir alle wirkenden Kräfte in die Skizze einzeichnen. Es wirkt natürlich an jeder der Massen die Gewichtskraft Fgm=m×g, die, weil die Massen unterschiedlich sind, auch unterschiedlich stark ist. Die Rolle muss ja irgendwo befestigt sein, damit sie nicht herunterfällt aufgrund der Massen. Deshalb muss an der Rolle auch noch eine Kraft wirken, die das ganze System in Ruhe hält. Diese Kraft nennen wir F Rolle. Wir interessieren uns nun für die Beschleunigung der großen Masse. Klar ist, da die beiden Massen mit einer Schnur verbunden sind, dass die Beschleunigung der kleinen Masse genau die gleiche sein muss, wie die Beschleunigung der großen Masse, nur eben in die andere Richtung. Auch wissen wir, dass die große Masse nach unten beschleunigt wird und die kleine nach oben, weil die große Masse ja schwerer ist. Das heißt, beschleunigt werden beide Massen. Für das 2. Newtonsche Gesetz bedeutet das, dass die beschleunigte Masse, so wie vorhin angesprochen, die Summe aus m und M ist, da das m in der Formel eben für die träge, beschleunigte Masse steht und beide Massen beschleunigt werden. Also steht da F=(m+M)×a. Was ist nun die Kraft? Da wir hier eine Umlenkrolle haben, ist es für die große Masse egal, ob die Kraft an der kleinen Masse hier angreift, oder dort, weil die Kraft durch die Umlenkrolle umgelenkt wird. Wir sehen nun, dass beide Kräfte in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Nach dem Superpositionsprinzip müssen wir diese beiden Kräfte addieren, um die resultierende Kraft zu erhalten. Um die Vorzeichen richtig zu setzen, ist es wichtig, sich zunächst ein Koordinatensystem zu überlegen. Wir einigen uns jetzt einfach darauf, dass die x-Achse nach unten zeigt und dort, wo sich die Masse M befindet, x=0 ist. Dann ist aus Sicht der großen Masse die Kraft an der großen Masse positiv und die an der kleinen Masse negativ, weil sie ja auch dort angreifen könnte. Wir schreiben also: F=FgM-Fgm=g(M-m). Und nach Newton ist F=(m+M)×a, und wenn wir das gleichsetzen und nach a auflösen erhalten wir a=g(M-m)/(M+m). Das ist ein sehr einleuchtendes Ergebnis. Denn wenn die große Masse und die kleine Masse gleich groß wären, würde keine Beschleunigung stattfinden, weil sich das System im Gleichgewicht befindet. Das sagt uns unsere Intuition und genau das sagt uns auch die Formel. Wenn m=M ist, dann ist der Zähler 0 und die Beschleunigung somit auch 0. Auch ist die Beschleunigung der kleinen Masse genau das Negative von der großen Masse. Genau, wie wir es erwartet haben denn wenn wir alle kleinen m's mit den großen M's vertauschen, kommt genau das Negative von dem raus, was wir haben. Im Nenner ändert sich nämlich gar nichts, wegen dem + und im Zähler ändert sich einfach nur das Vorzeichen wegen dem -. Mit der Beschleunigung wissen wir auch sofort die Geschwindigkeit und den Ort der großen Masse zu jedem Zeitpunkt. Im Video Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Newton 2, zeig ich dir, wie man aus der Beschleunigung durch Integration die Geschwindigkeit beziehungsweise den Ort zu jedem Zeitpunkt bekommt. Falls du noch keine Differenzialrechnung kannst, kannst du auch einfach diese beiden Formeln benutzen und für a dein Ergebnis einsetzen. Da die Geschwindigkeit und der Ort zum Zeitpunkt t=0 0 sein sollen, reduziert sich die Formel für den Ort auf x=½g(M-m)/(M+m)×t². Jetzt haben wir das Problem der Attwood'schen Fallmaschine komplett gelöst. Damit bedanke ich mich und wir sehen uns beim nächsten Mal. Ciao.