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Atwood'sche Fallmaschine (Übungsvideo)

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Die Autor/-innen
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Lukas Neumeier
Atwood'sche Fallmaschine (Übungsvideo)
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung Atwood'sche Fallmaschine (Übungsvideo)

Die Atwoodsche Fallmaschine

Die Atwoodsche Fallmaschine ist ein Experiment, das der Mathematiker George Atwood im 18. Jahrhundert entwickelte. Er wollte mit diesem Aufbau einen experimentellen Beweis für die Newtonschen Gesetze der klassischen Mechanik erbringen.

Wir wollen uns im Folgenden auf das Aktionsprinzip im Zusammenhang mit der Fallmaschine konzentrieren und zeigen, wie man mit seiner Hilfe den Verlauf des Experiments vorhersagen kann. Wir erinnern uns: Das Aktionsprinzip stellt einen Zusammenhang zwischen der Beschleunigung $a$ eines Körpers, der Kraft $F$, die auf ihn wirkt, und seiner Masse $m$ her:

$F = m \cdot a$

Atwoodsche Fallmaschine – Aufbau

Die Atwoodsche Fallmaschine besteht aus zwei Massen $M$ und $m_1$, die über eine Schnur miteinander verbunden sind. Die Schnur hängt so an einer Umlenkrolle, dass die Massen zu beiden Seiten der Rolle hängen. Wir nehmen außerdem an, dass die Rolle reibungsfrei ist.

Atwoodsche Fallmaschine Physik, Aufbau

Wir wollen im Folgenden herausfinden, wie sich die beiden Massen bewegen. Dazu überlegen wir uns zunächst, welche Kräfte wirken. Auf jede der beiden Massen wirkt die durch die Schwerebeschleunigung $g$ hervorgerufene Gewichtskraft. Wir bezeichnen die Gewichtskraft der Masse $m_1$ mit $F_{gm_1}$ und die Gewichtskraft der Masse $M$ mit $F_{gM}$:

$F_{gm_1} = m_1 \cdot g$

$F_{gM} = M \cdot g$

Atwoodsche Fallmaschine Definition der Kräfte

Beide Kräfte wirken nach unten, also in Richtung des Erdbodens. Die Masse $M$ soll größer sein, als die Masse $m_1$, also:

$M > m_1 \Rightarrow F_{gM} > F_{gm_1}$

Deswegen können wir schon ohne Rechnung sagen, dass die Masse $M$ nach unten beschleunigen wird, während die kleinere Masse $m_1$ durch das Seil nach oben beschleunigt wird. Um die Bewegung genau bestimmen zu können, nutzen wir jetzt das Aktionsprinzip, also den Zusammenhang $F=m \cdot a$.

Atwoodsche Fallmaschine – Formel

Unabhängig davon, wie sich die Massen bewegen, werden in jedem Fall beide Massen insgesamt durch die gleiche Beschleunigung $a$ beschleunigt, weil sie über das Seil verbunden sind. Daher können wir die folgende Formel aufstellen:

$F = (M + m_1) \cdot a$

Die Kräfte können wir zu einer Gesamtkraft durch Addition zusammenfügen. Dafür müssen wir zunächst allerdings ein Koordinatensystem wählen. Dadurch, dass die Massen durch das Seil miteinander verbunden sind, können wir die Kraft $F_{gm_1}$ so verschieben, dass sie an der Masse $M$ angreift. Sie zeigt dann allerdings nicht mehr nach unten, sondern nach oben, denn sie wird durch die Umlenkrolle umgelenkt. Wenn wir nun den Nullpunkt in den Schwerpunkt der Masse legen, hat die Kraft $F_{gM}$ ein positives Vorzeichen und die Kraft $F_{gm_1}$ ein negatives.

Atwoodsche Fallmaschine, Herleitung der Formel

Damit erhalten wir die Gesamtkraft:

$F = F_{gM} - F_{gm_1} = (M-m_1) \cdot g$

Das können wir mit der ersten Formel, die wir mit Hilfe der Massen aufgestellt haben, gleichsetzen:

$F = F_{gM} - F_{gm_1} = (M-m_1) \cdot g = (M +m_1) \cdot a $

Diese Formel müssen wir jetzt nur noch nach der Beschleunigung $a$ umstellen und wir erhalten:

$a = g \frac{M-m_1}{M+m_1}$

Damit haben wir für die Atwoodsche Fallmaschine die Beschleunigung bestimmt. Wir können außerdem die Formel für den Ort $x$ einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung verwenden:

$x(t) = \frac{1}{2} a t^{2} + v_0 t + x_0$

Dabei ist $t$ die Zeit, $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit und $x_0$ der Anfangsort. Da die Geschwindigkeit zu Beginn Null sein soll und wir den Nullpunkt des Koordinatensystems in den Schwerpunkt der Masse $M$ gelegt haben, erhalten wir nach Einsetzen für $a$:

$x(t) = \frac{1}{2} g \frac{M-m_1}{M+m_1}t^{2}$

Damit haben wir die Bewegung der Masse $M$ in der Atwoodschen Fallmaschine vollständig bestimmt und können die Bewegung für jede beliebige Konstellation der Massen vorhersagen.

Dieses Video

In diesem Video wird dir die Atwoodsche Fallmaschine einfach erklärt. Du lernst auch, wie man die Newtonschen Gesetze nutzen kann, um die Bewegung der großen Masse $M$ genau zu berechnen.

Transkript Atwood'sche Fallmaschine (Übungsvideo)

Hallo und herzlich willkommen zum Video über die Anwendung des 2. Newtonschen Gesetzes in einem typischen Beispiel. Ich werde kurz das Gesetz wiederholen. Es lautet F=m×a, wobei F für die Kräfte steht, die einen Körper beschleunigen, m für die Masse des Körpers, welcher beschleunigt wird, wobei der letzte Satz sehr, sehr wichtig ist. Mit anderen Worten, das m im 2. Newtonschen Gesetz steht für die träge Masse. Also die Masse, die mithilfe der Kraft F, wie immer die auch lauten mag, beschleunigt wird. Das wird von Schülern oft missverstanden und wir werden gleich sehen, wie man das zu verstehen hat. a steht dann natürlich für die entsprechende Beschleunigung. Unser Beispiel lautet folgendermaßen: Die Attwood'sche Fallmaschine. Sie heißt deshalb Fallmaschine, weil man mit ihr die Befallbeschleunigung beliebig verringern kann. Sie funktioniert so: Zwei Massen m und M sind über eine Rolle mit einer Schnur verbunden. Dabei soll die Masse M größer sein, als die Masse m. Die Rolle und Schnur werden als Masse und reibungslos betrachtet. Das Ganze sieht so aus: Als Erstes werden wir alle wirkenden Kräfte in die Skizze einzeichnen. Es wirkt natürlich an jeder der Massen die Gewichtskraft Fgm=m×g, die, weil die Massen unterschiedlich sind, auch unterschiedlich stark ist. Die Rolle muss ja irgendwo befestigt sein, damit sie nicht herunterfällt aufgrund der Massen. Deshalb muss an der Rolle auch noch eine Kraft wirken, die das ganze System in Ruhe hält. Diese Kraft nennen wir F Rolle. Wir interessieren uns nun für die Beschleunigung der großen Masse. Klar ist, da die beiden Massen mit einer Schnur verbunden sind, dass die Beschleunigung der kleinen Masse genau die gleiche sein muss, wie die Beschleunigung der großen Masse, nur eben in die andere Richtung. Auch wissen wir, dass die große Masse nach unten beschleunigt wird und die kleine nach oben, weil die große Masse ja schwerer ist. Das heißt, beschleunigt werden beide Massen. Für das 2. Newtonsche Gesetz bedeutet das, dass die beschleunigte Masse, so wie vorhin angesprochen, die Summe aus m und M ist, da das m in der Formel eben für die träge, beschleunigte Masse steht und beide Massen beschleunigt werden. Also steht da F=(m+M)×a. Was ist nun die Kraft? Da wir hier eine Umlenkrolle haben, ist es für die große Masse egal, ob die Kraft an der kleinen Masse hier angreift, oder dort, weil die Kraft durch die Umlenkrolle umgelenkt wird. Wir sehen nun, dass beide Kräfte in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Nach dem Superpositionsprinzip müssen wir diese beiden Kräfte addieren, um die resultierende Kraft zu erhalten. Um die Vorzeichen richtig zu setzen, ist es wichtig, sich zunächst ein Koordinatensystem zu überlegen. Wir einigen uns jetzt einfach darauf, dass die x-Achse nach unten zeigt und dort, wo sich die Masse M befindet, x=0 ist. Dann ist aus Sicht der großen Masse die Kraft an der großen Masse positiv und die an der kleinen Masse negativ, weil sie ja auch dort angreifen könnte. Wir schreiben also: F=FgM-Fgm=g(M-m). Und nach Newton ist F=(m+M)×a, und wenn wir das gleichsetzen und nach a auflösen erhalten wir a=g(M-m)/(M+m). Das ist ein sehr einleuchtendes Ergebnis. Denn wenn die große Masse und die kleine Masse gleich groß wären, würde keine Beschleunigung stattfinden, weil sich das System im Gleichgewicht befindet. Das sagt uns unsere Intuition und genau das sagt uns auch die Formel. Wenn m=M ist, dann ist der Zähler 0 und die Beschleunigung somit auch 0. Auch ist die Beschleunigung der kleinen Masse genau das Negative von der großen Masse. Genau, wie wir es erwartet haben denn wenn wir alle kleinen m's mit den großen M's vertauschen, kommt genau das Negative von dem raus, was wir haben. Im Nenner ändert sich nämlich gar nichts, wegen dem + und im Zähler ändert sich einfach nur das Vorzeichen wegen dem -. Mit der Beschleunigung wissen wir auch sofort die Geschwindigkeit und den Ort der großen Masse zu jedem Zeitpunkt. Im Video Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Newton 2, zeig ich dir, wie man aus der Beschleunigung durch Integration die Geschwindigkeit beziehungsweise den Ort zu jedem Zeitpunkt bekommt. Falls du noch keine Differenzialrechnung kannst, kannst du auch einfach diese beiden Formeln benutzen und für a dein Ergebnis einsetzen. Da die Geschwindigkeit und der Ort zum Zeitpunkt t=0 0 sein sollen, reduziert sich die Formel für den Ort auf x=½g(M-m)/(M+m)×t². Jetzt haben wir das Problem der Attwood'schen Fallmaschine komplett gelöst. Damit bedanke ich mich und wir sehen uns beim nächsten Mal. Ciao.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Wenn ich Ihr Video liken könnte, würde ich es tun :D (super witzig, vor allem Drehbuch, Ton, Film : Lukas Neumeier - genial!!)
    Natürlich auch gut erklärt.

    Von Elena Macari, vor mehr als 6 Jahren
  2. super video! vielleicht noch etwas genauer erklären ;)

    Von Sutemati, vor fast 10 Jahren
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