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Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen

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Die Autor*innen
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Jakob Köbner
Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen

Inhalt

Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen beim radioaktiven Zerfall

Wir wollen uns im Folgenden damit beschäftigen, was die Zerfallsgleichung in der Physik beschreibt und was eine Zerfallsreihe ist. Dazu solltest du schon wissen, was Radioaktivität ist.

Was ist die Zerfallsgleichung?

Mit der Zerfallsgleichung, die manchmal auch als Zerfallsgesetz bezeichnet wird, können wir die Anzahl noch nicht zerfallener Atomkerne in einer radioaktiven Probe berechnen. Dabei muss der Anfangsbestand allerdings groß sein. Das liegt daran, dass radioaktiver Zerfall spontan stattfindet, also nicht vorhersagbar ist. Wir können somit lediglich Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten von Zerfällen treffen. Bei ausreichend großen Zahlen von Atomkernen können wir anhand dieser Wahrscheinlichkeiten gute Vorhersagen machen – bei kleinen Zahlen allerdings nicht. Das kannst du dir ähnlich wie beim Würfeln vorstellen: Bei einem einzelnen Wurf können wir nicht vorhersagen, welche Augenzahl oben liegt. Bei sehr vielen Würfen können wir aber voraussagen, dass alle Zahlen etwa gleich häufig auftreten.

Wir schreiben zunächst die Zerfallsgleichung in ihrer üblichen Form auf, um uns dann genauer mit den auftretenden Größen zu beschäftigen:

$N(t) = N_0 \cdot \text{e}^{-\lambda t}$

Die Größe $N_0$ ist der Anfangsbestand, also die Anzahl an nicht zerfallenen Atomkernen zum Zeitpunkt $t=0$. Das $\lambda$ ist die stoffspezifische Zerfallskonstante – je größer sie ist, desto schneller zerfällt der Stoff, der betrachtet wird. Das $N(t)$ bezeichnet die Anzahl an Atomkernen, die nach der Zeit $t$ noch nicht zerfallen ist. Wir schauen uns exemplarisch den grafischen Verlauf der Zerfallsgleichung für drei verschiedene Werte für $\lambda$ an.

Zerfallsgesetz Kurven für verschiedene Zerfallskonstanten

Alle drei Graphen beginnen bei demselben Anfangsbestand $N_0$ und weisen der Gleichung entsprechend einen exponentiell fallenden Verlauf auf. Dabei fällt der Graph steiler für größere Zerfallskonstanten $\lambda$. Wenn wir einen beliebigen Zeitpunkt $t_1>0$ und den dazugehörigen Bestand $N(t_1)$ der drei Kurven betrachten, ist dieser in unserem Beispiel immer größer für die Kurven mit kleinerer Zerfallskonstante.

Es gibt eine weitere Größe, die im Zusammenhang mit dem Zerfallsgesetz wichtig ist, und zwar die Halbwertszeit. Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit genau die Hälfte des Anfangsbestands der Atomkerne noch nicht zerfallen ist. Sie wird meist mit $T_{1/2}$ bezeichnet. Auch die Halbwertszeit können wir uns grafisch anschauen, indem wir eine Linie bei $\frac{1}{2}N_0$ in unserer Grafik einzeichnen.

Zerfallsgesetz Halbwertszeiten und Zerfallskonstanten

Wir sehen, dass die Halbwertszeit von der Zerfallskonstante abhängt. Je größer die Zerfallskonstante ist, desto kleiner ist die Halbwertszeit. Wir können anhand des Zerfallsgesetzes auch einen mathematischen Zusammenhang für die Halbwertszeit herleiten. Wir wissen, dass nach der Zeit $T_{1/2}$ noch ein Bestand von $N(T_{1/2})=\frac{1}{2}N_0$ Kernen nicht zerfallen sein soll. Das setzen wir so in die Gleichung ein:

$N(T_{1/2}) = N_0 \cdot \text{e}^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{1}{2}N_0$

Wenn wir den mittleren Term und die rechte Seite miteinander vergleichen, sehen wir, dass gelten muss:

$\text{e}^{-\lambda T_{1/2}} = \frac{1}{2}$

Um diese Gleichung nach $T_{1/2}$ aufzulösen, müssen wir auf beiden Seiten mit dem natürlichen Logarithmus logarithmieren.

$\ln (\text{e}^{-\lambda T_{1/2}}) = \ln (\frac{1}{2})$

Auf der linken Seite wenden wir die Rechenregel für Logarithmen aus Potenzen an, nach der wir den Exponenten als Faktor vor den Logarithmus ziehen dürfen. Auf der rechten Seite wenden wir die Rechenregel für Logarithmen aus Brüchen an, nach dem wir diese als Differenz schreiben dürfen (Falls dir diese Rechenregeln nichts sagen, schau dir im Mathebereich ein Video zum Logarithmus an.):

$-\lambda T_{1/2} \cdot \ln (\text{e}) = \ln (1) - \ln (2)$

Der natürliche Logarithmus von $\text{e}$ ist eins, denn $\text{e}$ ist ja gerade die Basis des natürlichen Logarithmus. Der Logarithmus von eins ist null. Damit vereinfacht sich die Gleichung zu:

$-\lambda T_{1/2} = - \ln (2)$

Jetzt können wir die Gleichung umformen, um einen Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstante $\lambda$ und der Halbwertszeit $T_{1/2}$ herzustellen:

$T_{1/2} = \frac{ \ln (2)}{\lambda}$

oder

$\lambda = \frac{\ln (2)}{T_{1/2}}$

Zerfallsreihen auf der Isotopentafel

Wir wissen bereits, dass sich ein Atomkern, der radioaktiv zerfällt, in einen anderen Kern, den Tochterkern, umwandelt. Dieser Tochterkern kann ebenfalls instabil sein und wiederum zerfallen. Die Zerfallsprozesse laufen so lange weiter, bis ein stabiler Tochterkern entsteht. Den Weg vom Mutterkern bis zum letztendlich stabilen Kern nennt man eine Zerfallsreihe.

Man kann solche Zerfallsreihen auf einer Isotopentafel, auch Nuklidkarte, einzeichnen und verfolgen. Auf einer solchen Karte sind, wie der Name schon sagt, Isotope eingezeichnet. Es gibt dabei verschiedene Darstellungen. Häufig ist auf der $x$-Achse die Neutronenzahl und auf der $y$-Achse die Ordnungszahl aufgetragen. Du findest eine vollständige Nuklidkarte auch in deinem Tafelwerk oder im Internet. Wir schauen uns an dieser Stelle einen Ausschnitt einer Nuklidkarte an, um die Zerfallsreihe des Elements Polonium-215 nachzuvollziehen.

Zerfallsreihen auf der Isotopentafel

Polonium-215 hat 131 Neutronen und 84 Protonen. Auf Isotopenkarten sind die Zerfallsarten der Kerne meist farblich markiert. In unserem Fall steht die Farbe Gelb für den $\alpha$-Zerfall. Polonium-215 zerfällt also über den $\alpha$-Zerfall. Das bedeutet, dass der Tochterkern je zwei Neutronen und Protonen weniger hat als Polonium-215. In der Isotopenkarte müssen wir also je zwei Schritte nach unten und nach links gehen. So landen wir bei Blei-211. Die Farbe Pink steht für den $\beta^{-}$-Zerfall. Beim $\beta^{-}$-Zerfall wandelt sich ein Neutron in ein Elektron, ein Proton und ein Elektron-Antineutrino um. Elektron und Elektron-Antineutrino verlassen den Kern. Also nimmt die Neutronenzahl um eins ab und die Protonenzahl um eins zu. Auf der Isotopenkarte müssen wir also einen Schritt nach links und einen Schritt nach oben gehen. Wir landen bei Bismut-211. Dieses zerfällt wiederum über den $\alpha$-Zerfall, wir gehen also wieder zwei Schritte nach links und zwei Schritte nach unten und landen bei Titan-207. Titan-207 zerfällt wieder über den $\beta^{-}$-Zerfall. Wir gehen also einen Schritt nach links und einen nach oben und landen bei Blei-207. Blei-207 ist stabil, zerfällt also nicht weiter. Hier endet somit die Zerfallsreihe.

Natürliche Zerfallsreihen

Zum Schluss wollen wir uns noch kurz die sogenannten natürlichen Zerfallsreihen anschauen. Als natürliche Zerfallsreihen werden die Zerfallsreihen spezieller primordialer Radionuklide bezeichnet. Radionuklid ist eine andere Bezeichnung für einen radioaktiven Atomkern. Primordial bedeutet, dass es dieses Radionuklid schon bei der Entstehung der Erde gab und auch immer noch gibt – es also noch nicht komplett zerfallen ist. Die natürlichen Zerfallsreihen beziehen sich auf drei spezielle dieser primordialen Radionuklide, und zwar: Uran-238, Uran-235 und Thorium-232. Wir können die zugehörigen Zerfallsreihen nach der Masse ihrer Mutter- und Tochterkerne klassifizieren, wenn wir die Massenzahl auf die folgende Weise ausdrücken:

$A = 4n + m$

Dabei ist $n$ eine natürliche Zahl und $m \in [0, 1, 2, 3]$. In dieser Gleichung bleibt der Wert für $m$ in einer bestimmten Reihe immer konstant, während $n$ variabel ist. Das liegt daran, dass sich die Massenzahl $A$ beim $\alpha$-Zerfall um vier Einheiten ändert und beim $\beta$-Zerfall konstant bleibt. Wenn wir also eine beliebige Massenzahl durch vier teilen, können wir sie als Summe aus dem Produkt aus Quotientenwert und vier und einer Zahl zwischen null und drei darstellen. Bei $\beta$-Zerfällen ändert sich entsprechend nur der Quotientenwert, weil die Massenzahl sich gerade um vier ändert. Betrachten wir beispielsweise Uran-238. Die Massenzahl 238 können wir schreiben als:

$A = 238= 236 + 2 = 4 \cdot 59 + 2$

Im ersten Schritt der Reihe zerfällt das Nuklid über den $\alpha$-Zerfall, also nimmt seine Massenzahl um vier ab:

$A_{Tochter} = 234 = 232 + 2 = 4 \cdot 58 + 2 $

Während sich $n$ um eins reduziert hat, ist $m$ konstant geblieben. Beim $\beta$-Zerfall ändern sich weder $n$ noch $m$.

Aufgrund dieser Systematik ergeben sich die folgenden Zerfallsreihen:

  • Uran-238: die Uran-Radium-Reihe oder auch die $4n+2$-Reihe
  • Uran-235: die Uran-Actinium-Reihe oder auch die $4n+3$-Reihe
  • Thorium-232: die Thorium-Reihe oder auch die $4n$-Reihe

Manchmal wird auch die Neptunium-Reihe, die von Neptunium-237 ausgeht, als natürliche Zerfallsreihe betrachtet – obwohl primordiales Neptunium-237 mittlerweile nicht mehr auf der Erde vorhanden ist. Es entsteht allerdings in kleinen Mengen beispielsweise in Kernreaktoren. Mit Neptunium-237 wird die $4n+m$-Systematik vervollständigt:

  • Neptunium-237: die Neptunium-Reihe oder auch die $4n+1$-Reihe

Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen – Zusammenfassung

Wir wollen die wichtigsten Stichpunkte, die wir zum Thema Zerfallsgesetz gelernt haben, noch einmal zusammenfassen:

  • Das Zerfallsgesetz bzw. die Zerfallsgleichung sagt voraus, wie viele Kerne eines radioaktiven Materials nach einer bestimmten Zeit noch nicht zerfallen sind.
  • Das Zerfallsgesetz beschreibt einen exponentiell abfallenden Verlauf.
  • Die Zerfallskonstante sagt aus, wie schnell ein Stoff zerfällt.
  • Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit genau die Hälfte des Stoffs zerfallen ist.
  • Mit einer Isotopentafel können Zerfallsreihen beschrieben werden.
  • Es gibt drei natürliche Zerfallsreihen – manchmal spricht man auch von vier natürlichen Zerfallsreihen.

In diesem Video wird dir das Zerfallsgesetz bzw. die Zerfallsgleichung auf einfache Weise erklärt. Du erhältst Antworten auf die Fragen: Wie lautet das Zerfallsgesetz? Was sagt die Zerfallsgleichung aus? Was ist eine Zerfallsreihe und wie lese ich sie ab? Video und Text werden durch interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt ergänzt.

Transkript Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen

Hallo und herzlich willkommen bei Physik mit Kalle. Wir wollen uns heute aus dem Gebiet Atom- und Kernphysik mit der Zerfallsgleichung und den Zerfallsreihen beschäftigen. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über die Radioaktivität gesehen haben. Wir lernen heute: Was die Zerfallsgleichung genau beschreibt; wie sie genau aussieht; was eine Zerfallsreihe ist; und was man unter den 4 natürlichen Zerfallsreihen versteht. Dann wollen wir mal. Was beschreibt sie denn nun genau, unsere Zerfallsgleichung? Wie wir bereits im Video über die Radioaktivität gehört hatten, lässt sich ein radioaktiver Zerfall, da er spontan geschieht, nicht voraussagen. Wie kann also, wenn ich den Zerfall nicht vorhersagen kann, eine Formel aufstellen? Rechts seht ihr eine Animation, in der ein Zerfallsvorgang dargestellt ist. Im linken Kästchen werden 4 Atome betrachtet, im rechten 400. Und jede der Zeilen zeigt eine Möglichkeit, wie unser Zerfall ablaufen könnte. Wie ihr seht, sieht das Ganze auf der linken Seite relativ zufällig aus. Auf der rechten Seite scheint die Teilchenzahl jedoch in allen 4 Kästchen ungefähr gleichmäßig abzunehmen. Die Zeit wird über dem Kästchen in vielfachen der Halbwertszeit gezählt. Wenn sie verstrichen ist, also wenn die Zahl 1.0 da steht, dann ist nur noch die Hälfte der Teilchen in allen 4 Kästchen übrig. Nach zwei Halbwertszeiten ungefähr die Hälfte der Hälfte, also ein Viertel. Wir erinnern uns: Die Halbwertszeit eines radioaktiven Materials sagt aus, nach welcher Zeit nur noch die Hälfte der Stoffmenge nicht zerfallen ist. Je größer die Teilchenzahl ist, desto genauer stimmt die Vorhersage, die ich mithilfe der Halbwertszeit treffen kann. Ich kann mir also merken: Für große Teilchenzahlen N eines Stoffes gibt die Halbwertszeit an, nach welcher Zeit T½ die Hälfte von N zerfallen ist. Aufbauend auf dieser Voraussage, kann ich nun die Zerfallsgleichung aufstellen. Sie gibt mir an, wie viele Teilchen eines Stoffes zum Zeitpunkt T noch nicht zerfallen sind. Und wie sie genau lautet, dass wollen wir uns nun im nächsten Kapitel ansehen. Das Diagramm Links zeigt die Zahl der noch übrig gebliebenen radioaktiven Kerne aufgetragen gegen die Zeit T.  Die 3 verschiedenen Farben stehen für 3 verschiedene radioaktive Stoffe, von denen wir jeweils die gleiche Anfangsmenge N0 haben. Zeichnet man eine Linie zum Zeitpunkt t ein, dann kann ich an dieser Linie die verschiedenen Stoffmengen, N(t), meiner 3 Materialien ablesen. Und dieses N(t) ist genau, was ich mithilfe der Zerfallsgleichung ausrechnen kann. Es gibt 2 verschiedene Schreibweisen der Zerfallsgleichung. Meistens macht man in der Schule nur eine, dann könnt ihr die andere gleich wieder vergessen. Ich schreib sie trotzdem mal der Vollständigkeit halber beide hin. N(t)=N0×e-λ×t oder, anders geschrieben: N(t)=N0×½t/(T½). Dabei nenn man λ die Zerfallskonstante, N0 den Anfangsbestand radioaktiver Teilchen, also die Teilchenmenge zum Zeitpunkt t=0. T½ ist natürlich unsere Halbwertszeit und N(t) ist die Zahl der noch nicht zerfallenen Teilchen zum Zeitpunkt t. Die linke Form der Gleichung wird häufiger verwendet. Allerdings kennen wir das λ, diese Zerfallskonstante, noch nicht. Sie ist eine Materialkonstante, und da ich ja bei beiden Gleichungen dasselbe herausbekommen soll, versuchen wir, sie einfach mal auszurechnen, indem wir die beiden Gleichungen gleich setzen. Wir können dann gleich N0 kürzen und erhalten: e-λ×tt/(T½). Da beide Seiten der Gleichung positiv sind, darf ich auf beiden Seiten den ln anwenden. Ich erhalte dann -λ×t=(t/(T½))×((ln1)-(ln2)). Da der ln von eins 0 ist, kürzt sich damit auf beiden Seiten das - und das t weg und ich erhalte λ=(ln2)/(T½). Ich darf das so umformen, da der (ln½)x=x×(ln½) ist und der (ln½)=(ln1)-(ln2). Falls ihr damit Probleme habt, sucht nach den ln Rechenregeln im Mathematikbereich. Meine Materialkonstante λ kann ich also direkt aus der Halbwertszeit ausrechnen. Wie wir im Video über Radioaktivität gehört hatten, zerfällt ein radioaktives Element in kleinen Schritten, bis es bei einem stabilen Endprodukt angekommen ist. Wie man solch eine Zerfallsreihe auf einer Isotopentafel verfolgen kann, das wollen wir uns nun im nächsten Kapitel ansehen. Hier seht ihr eine Isotopentafel. Da es eine ganze Menge mehr Isotope als Elemente gibt, springen wir gleich mal, damit es nicht so unübersichtlich wird, zu einem schönen einfachen Ausschnitt. Auf dieser Isotopentafel geben uns die Farben an, was für eine Art von Kernen wir betrachten. Schwarz steht für stabile Kerne, rosane Kerne zerfallen per βminus Zerfall, blaue Kerne sind βplus Strahler, und gelbe Kerne sind α Strahler. Wie wir im Video über die Kerne gehört haben, zerfällt ein instabiler Kern in kleinen Schritten, bis er bei einem stabilen Endprodukt angekommen ist. Wir wollen uns das ganze mal am Beispiel von Pollonium215 ansehen. Pollonium215 ist gelb, also ein α Strahler. Es sendet also 2 Protonen und 2 Neutronen aus. Wir gehen also 2 Felder nach unten und 2 Felder nach links und finden uns wieder bei Blei211. Blei211 ist rosa eingetragen, also ebenfalls radioaktiv, aber ein βminus Strahler. Bei einem βminus Strahler verwandelt sich unter Aussendung eines Elektrons, ein Proton in ein Neutron. Wir müssen also 1 nach links und 1 nach oben und kommen bei Bismuth211 an. Bismuth211 ist, wie uns das Gelb sagt, wieder ein α Strahler. Wir können also eigentlich gleich weiter springen und kommen, wenn wir wieder 2 nach links und 2 nach unten gehen, zu unserer nächsten und vorletzten Station, Thalium207. Vorsicht! Nicht alle Isotopentafeln sind gleich geordnet. In unserer ist die x-Achse die Massenzahl und die Y-Achse die Protonenzahl. Wäre das umgekehrt, wäre der βminus Zerfall nicht nach oben und links, sondern nach unten und rechts. Überprüft eure Schritte einfach mit dem, was ihr wisst. βminus, plus ein Proton, minus ein Neutron, 1 nach links, eins nach oben, stimmt. Dann könnt ihr nichts falsch machen. Thalium207, unsere vorletzte Station, ist wieder rosa, also wieder ein βminus Strahler. Ihr kennt das Spiel: 1 nach links, 1 nach oben, und wir kommen bei Blei207 an. Blei207 ist schwarz, also stabil. Das heißt, wir haben hiermit das Ende unserer Zerfallsreihe erreicht. So, jetzt wo wir wissen, was eine Zerfallsreihe ist, wollen wir uns im letzten Kapitel noch kurz anschauen, was man unter den 4 natürlichen Zerfallsreihen versteht. So gut wie alle in der Natur vorkommenden radioaktiven Stoffe sind α oder β Strahler. Da bei einem β Zerfall die Massenzahl des Kerns gleich bleibt, bedeutet das, dass nur durch einen α Zerfall Masse verloren werden kann. Daher kann man die auf der Erde vorkommenden radioaktiven Materialien in 4 verschiedene Zerfallsreihen, nach ihrer Masse geordnet, einteilen. Und die wollen wir uns nun genauer ansehen. Die Erste ist die Uran-Radium-Reihe. Sie startet bei Uran238 und zerfällt, bis sie bei Blei206 angekommen ist. Alle zu ihr gehörigen Materialien haben eine Massenzahl, die man durch 4n+2 ausdrücken kann. Die zweite Reihe ist die Uran-Actinium-Reihe, im Bild grün. Sie beginnt bei Uran235 und zerfällt zu Blei207. Alle Isotope, die zu ihr gehören, haben die Massenzahl 4n+3. Die Nächste ist die im Bild blau eingezeichnete Thorium-Reihe. Man nahm ursprünglich an, dass sie bei Thorium232 beginnt, allerdings sind auch die Vorgängerelemente bis hin zum Plutonium244 auf der Erde vorhanden. Sie zerfällt zu Blei208, und die Formel für die Massenzahlen der Angehörigen dieser Reihe ist 4n. Die letzte natürliche Zerfallsreihe ist die sogenannte Neptunium-Reihe, die bei Neptunium237 beginnt, mit der Massenzahl 4n+1. Diese Reihe kommt allerdings auf der Erde nicht mehr komplett vor. Neptunium ist zwar langlebig, aber schon komplett zerfallen, und alle weiteren Schritte haben nur sehr kurze Halbwertszeiten, sind also ebenfalls schon zerfallen. Als Endkern dieser Reihe hatte man lange Zeit Bismuth209 betrachtet. Wie ihr seht, ist er auch in dieser Isotopentafel schwarz, also stabil, eingezeichnet. Erst vor wenigen entdeckte man, das Bismuth209 ebenfalls ein aplha Strahler ist, mit einer Halbwertszeit von 19 Trillionen Jahren. Der wahre Endpunkt der Neptunium-Reihe ist also Thalium205. Wir wollen noch mal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Die Zerfallsgleichung sagt voraus, wie viele Teilchen einer radioaktiven Stoffmenge nach der Zeit t noch nicht zerfallen sind. Ihre Formel lautet: Die Teilchenzahl N zum Zeitpunkt t ist N(t)=N0×e-λ×t. Oder, anders geschrieben, N(t)=N0×½t/(T½). Das λ in der ersten Formel nennt man die Zerfallskonstante eines Stoffes und man kann sie einfach aus der Halbwertszeit berechnen: λ=(ln2)/(T½). Die Zerfallsreihe eines bestimmten Isotops kann mithilfe der Isotopentafel vorausgesagt werden. Die vier natürlichen Zerfallsreihen sind: Die Uran-Radium-Reihe mit der Massenzahl 4n+2, die Uran-Actinium-Reihe mit der Massenzahl 4n+3, die Thorium-Reihe mit der Massenzahl 4n und die Neptunium-Reihe mit der Massenzahl 4n+1. So, das war es wieder für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, bleibt bis zum nächsten Mal, euer Kalle!    

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. MOIN KALLE

    Von Gerda Grupp Eisenried, vor mehr als 4 Jahren
  2. Hi Kalle, super video danke!

    Eins verstehe ich nicht, und zwar das mit dem 4n + 1 und so weiter. Wie kann ich daraus schlau werden zu welcher Zerfallsreihe ein bestimmter Stoff gehört? Für jedes n kommt doch etwas anderes raus ....

    Von Ascosars, vor etwa 5 Jahren

Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zerfallsgleichung und Zerfallsreihen kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Zerfallsgleichung.

    Tipps

    $\lambda$ in die Zerfallskonstante .

    $T_{0,5}$ entspricht der Halbwertszeit des betrachteten Stoffes.

    Lösung

    Die Zerfallsgleichung gibt an, wie viele Teilchen zum Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallen sind.

    Dabei kann man diese in der Form A erfassen:

    $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} $

    oder in der Form B:

    $N(t) = N_0 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T_{0,5}}}$.

    Wobei $N(t)$ die Anzahl der noch nicht zerfallenen Teilchen darstellt, $\lambda$ die Zerfallskonstante, welche von der Art der Teilchen abhängt, und $t$ die verstrichene Zeit ist. Betrachtet man die alternative Darstellung B, ist die einzige andere verwandte Variable $T_{0,5}$, was der Halbwertszeit des betrachteten Stoffes entspricht.

    Für sehr große Zeitspannen näher sich die Funktion $N(t)$ immer weiter dem Wert $0$ an, wobei die Geschwindigkeit der Annäherung mit der Zerfallskonstante $\lambda$ oder der Halbwertszeit berücksichtigst wird.

  • Gib an, was die Zerfallsgleichung beschreibt.

    Tipps

    Die Zerfallsgleichung gibt an, wie viele Teilchen eine Ausgangsmenge noch vorhanden sind.

    Eine große Halbwertszeit bedeutet, dass es lange dauert, bis nur noch die Hälfte einer Ausgangsmenge vorhanden ist.

    Lösung

    Die Zerfallsgleichung gibt an, wie viele Teilchen $N$ zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ im Bezug auf eine Ausgangsmenge $N_0$ noch vorhanden sind.

    Dabei richtet sich die Geschwindigkeit des Zerfalls nach der Halbwertszeit $T_{0,5}$ beziehungsweise der *Zerfallskonstanten $\lambda = \frac{ln(2)}{T_{0,5}}$.

    Je größer die Halbwertszeit eines Stoffe ist, desto langsamer zerfällt dieser und desto mehr Teilchen sind über einen langen Zeitraum vorhanden.

    Der Zerfall der Teilchen geschieht dabei in Form von spontanem, radioaktivem Zerfall und lässt sich daher nicht genau voraussagen. Für große Teilchenanzahlen $N_0$ kann mit Hilfe der Zerfallsgleichung jedoch eine genaue Vorhersage über den Zerfall der Teilchen getroffen werden.

  • Berechne $N(t)$ aus der Halbwertszeit.

    Tipps

    $m(t) = m_0 \cdot e^{-\lambda t}$

    $\lambda = \frac{ln2}{T_0,5}$

    Lösung

    Um mit der Halbwertszeit und einer Anfangsmenge eines Stoffes die restliche Menge nach einer bestimmten Zeit zu bestimmen, wird zunächst der Zerfallskoeffizient $\lambda$ berechnet.

    Es gilt :

    $\lambda = \frac{ln2}{T_0,5}$.

    Einsetzen liefert :

    $\lambda = \frac{ln2}{5,3a} = 0,1308 $.

    Mit $m(t) = m_0 \cdot e^{-\lambda t}$ folgt :

    $m(3a) = 3,35 kg \cdot e^{-0,1308 \cdot 3a} = 2.262,82 g $.

    Nach einer Zeit von $ t = 3a$ sind von einer Cobalt-Probe der Größe $3,35 kg$ also noch $ 2.262,82 g$ übrig.

    Nach $ t = 7a$ sind nach analoger Berechnung nur noch $ 1.341,09 g$ übrig.

  • Ermittle $m(t)$ für unterschiedliche Nuklide und Zeitabschnitte.

    Tipps

    Es gilt : $m(t) = m_0 \cdot e^{-\lambda t}$.

    Beachte die Einheit der Zerfallskonstante.

    Für $\lambda = \frac{1}{d} $ muss die vergangene Zeit in Tagen $(d)$ angegeben werden.

    Lösung

    Es gilt die Formel :

    $m(t) = m_0 \cdot e^{-\lambda t}$

    Mit dieser kann der Zusammenhang zwischen der Ausgangsmenge eines Stoffes $m_0$ (zum Beispiel in $g$) und der Menge des übrigens Stoffes nach der Zeit $t$ dargestellt werden.

    Dazu muss die Zerfallskonstante $\lambda$ bestimmt werden. Diese gibt an, wie viel eines Stoffes in welcher Zeit zerfällt. Je größer die Halbwertszeit ist, desto geringer ist der Wert für $\lambda$.

    Am Beispiel der Caesium-Probe $(Cs)$ von $m_0 = 800 g$.

    Diese zerfällt mit $\lambda = 0,023 \frac{1}{a}$ über den Zeitraum $t=4a$ :

    $m(t) = m_0 \cdot e^{-\lambda t} = m(4) = 800g \cdot e^{-0,023 \cdot 4}$ = 729,68 g $ .

  • Zeige die natürlichen Zerfallsreihen.

    Tipps

    Es gibt 4 natürliche Zerfallsreihen.

    Der Name der Reihe gibt an, welches Material zerfällt.

    Manche Reihennamen beinhalten das Anfangs-Nuklid und das End-Nuklid.

    Lösung

    Die 4 natürlichen Zerfallsreihen sind die Abfolgen von Elementen, die durch radioaktiven Zerfall bestimmt sind und in der Natur sehr häufig vorkommen.

    Dazu gehören :

    1.) Die Uran-Thorium-Reihe Diese startet mit dem radioaktiven Uran, welches zu Thorium zerfällt.

    2.) Die Uran-Actinium-Reihe Beginnend bei Uran zerfällt dieses hier zu Actinium.

    3.) Die Neptunium-Reihe

    4.) Die Thorium-Reihe

  • Erkläre warum Zerfallsreihen zum Teil schwer zu entdecken sind.

    Tipps

    Der Mensch kann nur begrenzte Zeiträume beobachten.

    Die Halbwertszeit von Thorium ist, mit $ T_{0,5} = 14,05 Mrd.$ Jahren weitaus größer als die des Kohlenstoffes.

    Massenprozent wird in $\omega$ angegeben.

    Lösung

    Der Kohlenstoff ($C-14$) hat eine Halbwertszeit von etwa $T_{0,5} = 5.730 a$, also eine Zeitspanne, die sehr viel länger ist als das Leben eines Menschen.

    Betrachtet man nun einen Zeitraum von $t=20a$, so wird ersichtlich, dass nach dieser Zeit:

    $\lambda_C$ = e^{-\lambda cdot t}$

    mit : $\lambda = \frac{ln2}{T_{0,5}} = \frac{ln2}{5.730a} = 1,2096 \cdot 10^{-4} $

    folgt : $\omega_C = e^{-1,2096 \cdot 10^{-4}a \cdot 20a} = 99,76%$.

    Nach einer Zeit von 20 Jahren sind also nur $0,24\%$ der Masse des Kohlenstoffes zerfallen.

    In dieser Größenordnung ist eine Abnahme des Stoffes nur schwer nachzuweisen.

    Da es Elemente gibt, deren Halbwertszeit weit über $1$ Millionen Jahre beträgt, wird klar, dass deren Zerfall über Zeiträume, die der Mensch innerhalb seines Lebens beobachten kann, kaum messbar sind.

    Aus diesem Grund werden heute noch Zerfallsreihen entdeckt, obwohl man lange davon ausging, dass diese stabil sind.

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