Vektorgröße – Geschwindigkeit (Übungsvideo)

Vektorgröße – Geschwindigkeit (Übungsvideo) Übung

• Gib den Unterschied zwischen skalarer und vektorieller Größe an.

  Tipps

  Ein Vektor gibt immer eine Richtung an.

  Die Masse ist eine skalare Größe.

  Lösung

  Der Unterschied zwischen skalarer und vektorieller Größe besteht in der Richtung.

  Ist eine Größe ungerichtet, so spricht man von einer skalaren Größe. Die Masse ist eine solche Größe, denn einer Masse an sich kann keine Richtung zugeschrieben werde.

  Anderen physikalischen Größen lassen sich jedoch gut Richtungen zuweisen. Diese werden als vektorielle Größen bezeichnet. Die Geschwindigkeit etwa ist eine solche vektorielle Größe, denn einer Geschwindigkeit kann man neben einem Betrag stets auch eine Richtung zuweisen.

• Bestimme die Länge des Vektors.

  Tipps

  Die Länge des Vektors entspricht seinem Betrag $|\vec s|$.

  Der Betrag eines Vektors ergibt sich aus der Wurzel der Summe der Quadrate der einzelnen Komponenten.

  Lösung

  Um die Länge eines Vektors zu berechnen, müssen wir dessen Betrag bestimmen. Es gilt: Der Betrag eines Vektors ist dessen Länge äquivalent.

  Um nun $|\vec s|$, also den Betrag des Vektors $\vec s$ zu bestimmen, müssen wir die Wurzel der Summe der Quadrate der einzelnen Komponenten bestimmen.

  Es gilt also $|\vec s| = \sqrt{s_x^2 +s_y^2}$.

  Setzen wir nun ein, ergibt sich $|\vec s| = \sqrt{s_x^2 +s_y^2} = \sqrt{(2,5m)^2 +(1,5m)^2} = 2,92 m$.

  Die Länge des Vektors muss also $2,92 m$ betragen.

• Bestimme die Länge der Geschwindigkeitsvektoren.

  Tipps

  Der Betrag eines Vektors entspricht der Wurzel aus der Summe der Quadrate der Geschwindigkeiten in die einzelnen Koordinatenrichtungen $x$ und $y$.

  Lösung

  Die Länge eines Vektors ist seinem Betrag $| \vec v|$ äquivalent.

  Dieser Betrag ist mit einer relativ einfachen Methode berechenbar. Es gilt: $| \vec v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Der Betrag eines Vektors entspricht also der Wurzel aus der Summe der Quadrate der Geschwindigkeiten in die einzelnen Koordinatenrichtungen $x$ und $y$.

  Betrachten wir ein Beispiel: Gegeben ist der Vektor $\vec v = \binom{3 \frac{m}{s}}{2 \frac{m}{s}}$.

  Nach $| \vec v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ ergibt sich also $| \vec v| = \sqrt{(3 \frac{m}{s})^2 + (2 \frac{m}{s})^2} = \sqrt{13 \frac{m}{s}} = 3,61 \frac{m}{s}$.

  Der Betrag der Geschwindigkeit beträgt somit $| \vec v| =3,61 \frac{m}{s}$.

• Bestimme die Vektoren der Strecken.

  Tipps

  Die Bewegung der Kugel auf dem Tisch läuft in zwei Richtungen ab.

  Wird die Kugel nur in eine Richtung gestoßen, ist die andere Richtungskomponente $0$.

  Lösung

  Um die Länge der Strecken auf dem Billard-Tisch zu bestimmen, müssen wir die Formel $|\vec s| = \sqrt{s_x^2 +s_y^2}$ verwenden.

  Darin sind $s_x$ und $s_y$ die Komponenten in die entsprechenden Koordinatenrichtungen.

  Es befinden sich vier Kugeln auf dem Feld, die mit der weißen Kugel angespielt werden können. Die rote Kugel befindet sich in der oberen linken Ecke, die gelbe in der oberen rechten. Die grüne Kugel befindet sich auf halber Strecke in horizontaler Richtung und an der oberen Seite des Tisches. Die blaue ist am unteren Ende zu finden.

  Wir wollen nun ein Beispiel berechnen: Um die gelbe Kugel anzuspielen, müssen wir die Strecke $2,240m$ in horizontaler $x$-Richtung und die Strecke $1,120m$ in vertikaler $y$-Richtung zurücklegen.

  Es gilt also $s_x = 2,240m$ und $s_y = 1,120m$.

  In vektorieller Schreibweise erhalten wir also $\vec s = \binom{2,240m}{1,120m}$.

  Mit $|\vec s| = \sqrt{s_x^2 +s_y^2}$ ergibt sich die Länge des Vektors $|\vec s| = \sqrt{(2,240m)^2 +(1,120m)^2} = 2,50m$.

• Gib die Komponenten der Geschwindigkeit an.

  Tipps

  Eine gerichtete Bewegung wird stets mit einem Vektor angegeben.

  Lösung

  Ein Vektor gibt immer Komponenten einer gerichteten Größe in unterschiedlichen Richtungen an. Dabei wir die $x$-Komponente oben im Vektor angegeben. Die $y$-Komponente im unteren Bereich.

  In der allgemeinen Form ergibt sich also $\vec v = \binom{v_x}{v_y}$.

  Die Geschwindigkeit des Vektors $\vec v = \binom{3,3 \frac{m}{s}}{1,7 \frac{m}{s}}$ beträgt dann also $3,3 \frac{m}{s}$ in $x$-Richtung und $1,7 \frac{m}{s}$ in $y$-Richtung.

  Du kannst die Komponenten der gerichteten Größe also ganz leicht aus dem Vektor ablesen, oder in einem Vektor zusammenfassen.

• Bestimme die Geschwindigkeit aus dem Vektor der Strecke und der Zeit.

  Tipps

  Lösung

  Um den Betrag des Vektors der Geschwindigkeit aus dem Vektor der Strecke und der Zeit zu bestimmen, müssen wir zwei Schritte beachten.

  Zunächst muss der Betrag der Strecke bestimmt werden. Es gilt $|\vec s| = \sqrt{s_x^2 + s_y^2}$. So erhalten wir die gesamte Strecke. Diese gesamte Strecke muss nun in einem zweiten Schritt durch die vergangene Zeit geteilt werden.

  Mit $|\vec v| =\frac{|\vec s|}{t}$ ergibt sich der Ansatz zur Berechnung zu $|\vec v|\frac{\sqrt{s_x^2 + s_y^2}}{t}$.

  Betrachten wir ein Beispiel: Eine Strecke von $\vec s = \binom{2,5m}{2,0m}$ soll in der Zeit $ t = 1,9s$ überwunden werden. Einsetzen liefert nun $|\vec v| = \frac{\sqrt{(2,5 m)^2 + (2,0 m)^2}}{1,9s} = \frac{3,202m}{1,9s}= 1,69 \frac{m}{s}$.

  Der Betrag der Geschwindigkeit beträgt hier also $|\vec v|=1,69 \frac{m}{s}$