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Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen

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Lerntext zum Thema Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen

Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen

In diesem Text betrachten wir geradlinig gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegungen in einer etwas komplizierten Situation – nämlich bei einem Überholvorgang, in dem beide nacheinander vorkommen.

Geradlinig gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegungen – Bewegungsgleichungen

Wir wiederholen zunächst die Bewegungsgleichungen der geradlinig gleichförmigen Bewegung und der gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Geradlinig gleichförmige Bewegungen – Bewegungsgleichungen

geradlinig gleichförmige Bewegung

$s(t)=v_0 \cdot t + s_0$

$v(t)= v_0$

Dabei ist:

$s(t)$: der zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegte Weg $s$,

$v(t)$: die zum Zeitpunkt t vorliegende Geschwindigkeit,

$v_0$: die Anfangsgeschwindigkeit,

$s_0$: der Abstand zum Startpunkt zu Beginn des Vorgangs.

Bei der geradlinig gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegungen – Bewegungsgleichungen

gleichmäßig beschleunigte Bewegung

$s(t)=\frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} + v_{0} \cdot t + s_0$

$v(t)=a \cdot t + v_0$

Dabei ist:

$s(t)$: der zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegte Weg $s$,

$v(t)$: die zum Zeitpunkt t vorliegende Geschwindigkeit,

$a$: die Beschleunigung,

$v_0$: die Anfangsgeschwindigkeit,

$s_0$: der Abstand zum Startpunkt zu Beginn des Vorgangs.

Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung konstant.

Überholvorgang/Einholvorgang mit Vorsprung

Wir betrachten jetzt eine Aufgabe, wie sie typisch für anspruchsvolle Rechenaufgaben in der Schule ist. Dabei bewegt sich ein Körper zunächst geradlinig gleichförmig, beschleunigt dann bis zu seiner Höchstgeschwindigkeit und bewegt sich dann wieder geradlinig gleichförmig, während ein anderer Körper später startet, sofort beschleunigt und dann in einer geradlinig gleichförmigen Bewegung den anderen Körper einholt, da er schneller ist.

Aufgabenstellung

Ein Cabrio fährt mit $\pu{90 km//h}$ an einem Blitzer vorbei, an dem versteckt ein Polizeiwagen steht. Bevor dieser wegen deutlicher Überschreitung der Höchstgeschwindigkeit die Verfolgung aufnehmen kann, vergehen $\pu{20 s}$, in denen das Cabrio mit konstanter Geschwindigkeit weiterfährt. Erst dann beschleunigt es mit $\pu{5 m//s2}$ bis zu seiner Höchstgeschwindigkeit von $\pu{180 km//h}$ – eine sehr unüberlegte Verhaltensweise der fahrzeugführenden Person! Der Polizeiwagen beschleunigt mit $\pu{10m//{s2}}$ bis zu seiner Höchstgeschwindigkeit von $\pu{234 km//h}$.

Wo und wann überholt der Polizeiwagen das Cabrio? Und wie schnell sind beide zu diesem Zeitpunkt?

Gegebene Größen

Für das Cabrio:

$v_{\text{C}_{0}}=\pu{90 km//h}$ (Startgeschwindigkeit des Cabrios)

$v_{\text{C}_{\text{max}}}=\pu{180 km//h}$ (Höchstgeschwindigkeit des Cabrios)

$a_\text{C}=\pu{5m//s2}$ (Beschleunigung des Cabrios)

Für den Polizeiwagen:

$v_{\text{P}_{0}}=\pu{0 km//h}$ (Startgeschwindigkeit des Polizeiwagens)

$v_{\text{P}_{\text{max}}}=\pu{180 km//h}$ (Höchstgeschwindigkeit des Polizeiwagens)

$a_\text{P}=\pu{10m//s2}$ (Beschleunigung des Polizeiwagens)

Wir setzen als Startpunkt der Bewegung den Ort des Blitzers fest. Es gilt also:

$s_{\text{C}}(\pu{0 s})=s_{\text{P}}(\pu{0 s})= \pu{0 m}$

Umrechnung der Einheiten

Zuallererst rechnen wir die in $\pu{km//h}$ gegebenen Einheiten in $\pu{m//s}$ um. Für den zu Beginn stehenden Polizeiwagen müssen wir nicht rechnen, $\pu{0 km//h}$ sind auch $\pu{0 m//s}$.

$v_{\text{C}_{0}}=\pu{90 km//h}=\frac{90}{3,6}\pu{m//s} = \pu{25 m//s}$

$v_{\text{C}_{\text{max}}}=\pu{180 km//h}=\frac{180}{3,6}\pu{m//s} = \pu{50 m//s}$

$v_{\text{P}_{\text{max}}}=\pu{234 km//h}=\frac{234}{3,6}\pu{m//s} = \pu{65m//s}$

Analyse der Bewegungsabschnitte

In den ersten zwanzig Sekunden fährt das Cabrio mit konstanter Geschwindigkeit, während der Polizeiwagen steht. Es handelt sich also um eine geradlinig gleichförmige Bewegung.

Dann vergeht jeweils eine gewisse Zeit, in der Cabrio und Polizeiwagen beschleunigen, bis sie ihre Höchstgeschwindigkeit erreichen. Es handelt sich also jeweils um gleichmäßig beschleunigte Bewegungen.

Nach diesem für beide Fahrzeuge vermutlich verschiedenen Zeitpunkt fahren beide mit ihrer Höchstgeschwindigkeit so lange weiter, bis der Polizeiwagen das Cabrio einholt. Dies ist dann bis zu ihrem unrühmlichen Ende jeweils eine geradlinig gleichförmige Bewegung.

Die ersten zwanzig Sekunden

Wir berechnen zunächst, wie weit das Cabrio kommt, bis der Fahrer im Rückspiegel den Verfolger, also den Polizeiwagen, sieht.

$s_{\text{C}}(\pu{20 s})= \pu{25 m//s} \cdot \pu{20 s} = \pu{500 m}$

Bis dahin hat sich der Polizeiwagen nicht nennenswert bewegt.

Beschleunigungsphase des Cabrios

Wie lange dauert die Beschleunigung des Cabrios von seiner anfänglichen, bereits erhöhten Geschwindigkeit bis zu seiner Höchstgeschwindigkeit?

Die Gleichung der Geschwindigkeit für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung lautet für den vorliegenden Fall:

$v_{\text{C}_{\text{max}}}=a_\text{C} \cdot \Delta t_{\text{B}_{\text{C}}} + v_{\text{C}_{\text{0}}}$

Dabei ist $\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}$ die Beschleunigungszeit, also die Zeitspanne, die das Cabrio zum Erreichen seiner Höchstgeschwindigkeit benötigt.

Wir formen diesen Ausdruck nach $\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}$ um und setzen dann ein:

$v_{\text{C}_{\text{max}}}=a_\text{C} \cdot \Delta t_{\text{B}_{\text{C}}} + v_{\text{C}_{0}}\quad \big\vert~-v_{\text{C}_{0}}$
$a_\text{C} \cdot \Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}=v_{\text{C}_{\text{max}}}-v_{\text{C}_{0}}\quad \big\vert~:a_\text{C}$

$\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}=\dfrac{v_{\text{C}_{\text{max}}}-v_{\text{C}_{0}}}{a_\text{C}}$

$\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}=\dfrac{\pu{50 m//s}-\pu{25 m//s}}{\pu{5 m//s2}}$
$\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}=\pu{5 s}$

Zum Erreichen seiner Höchstgeschwindigkeit benötigt das Cabrio also fünf Sekunden.

Zurückgelegter Weg des Cabrios bis zum Erreichen seiner Höchstgeschwindigkeit

Wir berechnen jetzt, wie weit vom Blitzer sich das Cabrio befindet, nachdem es seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, also nach $\pu{25 s}$.

Dies setzt sich zusammen aus den $\pu{500 m}$, die es bis zum Start des Polizeiwagens zurückgelegt hat, und der Strecke, die es in der Beschleunigungsphase zurücklegt.

$s_{\text{C}}(\pu{25 s}) = \dfrac{1}{2} \cdot a_\text{C} \cdot \Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}^2+ \color{red}{{v_{\text{C}_{0}}} \cdot \Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}} \color{666666}{+ s_{\text{C}}(\pu{20 s})}$

$s_{\text{C}}(\pu{25 s}) = \dfrac{1}{2} \cdot \pu{5 m//s2} \cdot (\pu{5 s})^2 + {\color{red}{\pu{25 m//s} \cdot \pu{5 s}}} + \pu{500 m}$

$s_{\text{C}}(\pu{25 s})=\pu{62,5 m} + \color{red}{\pu{125 m}} \color{666666}{+ \pu{500 m}}=\pu{687,5 m}$

Der rot eingefärbte Term wird oft vergessen. Während der quadratische Term aussagt, welche Strecke durch die Beschleunigung allein zurückgelegt wird, berücksichtigt der rot eingefärbte Term die Strecke, die aufgrund der Anfangsgeschwindigkeit zurückgelegt wird.

Beschleunigungsphase des Polizeiwagens

Nach zwanzig Sekunden beschleunigt der Polizeiwagen aus dem Stand. Wir berechnen zunächst die Beschleunigungszeit $\Delta t_{\text{B}_{\text{P}}}$, die der Polizeiwagen benötigt, um Höchstgeschwindigkeit zu erreichen.

Das Vorgehen ist dem Vorgehen beim Cabrio ähnlich, nur diesmal ist die Startgeschwindigkeit null:

$\Delta t_{\text{B}_{\text{P}}}=\dfrac{v_{\text{P}_{\text{max}}}-v_{\text{P}_{\text{Start}}}}{a_\text{P}}$

$\Delta t_{\text{B}_{\text{P}}}=\dfrac{\pu{65 m//s}-\pu{0}}{\pu{10 m//s2}} = \pu{6,5 s}$

Zurückgelegter Weg des Polizeiwagens bis zum Erreichen seiner Höchstgeschwindigkeit

Um den Weg des Polizeiwagens in seiner Beschleunigungsphase zu berechnen, müssen wir diesmal keine Anfangsgeschwindigkeit und keine bereits zurückgelegten Strecken berücksichtigen.

Es gilt also für den Weg des Polizeiwagens in seiner Beschleunigungsphase, also nach $\pu{26,5 s}$, von denen er die ersten zwanzig Sekunden stillsteht und dann aus dem Stand beschleunigt:

$s_{\text{P}}(\pu{26,5 s})= \dfrac{1}{2} \cdot \pu{10 m//s2} \cdot (\pu{6,5 s})^2 \color{red}{+ 0 \cdot \pu{20 s}}$
$s_{\text{P}}(\pu{26,5 s})= \pu{211,25 m}$

Der Polizeiwagen ist nach $\pu{26,5 s}$ noch nicht so weit vom Blitzer entfernt wie das Cabrio nach $25$ Sekunden. Der Einholvorgang findet also erst statt, wenn beide Wagen mit verschiedener, aber konstanter Geschwindigkeit fahren.

Um es uns möglichst einfach zu machen, setzen wir für die weitere Rechnung die Zeit bei $t=\pu{26,5 s}$ noch einmal auf null (und addieren sie nachher wieder dazu).

Damit wir aber die beiden Wagen dann vernünftig vergleichen können, sollten wir noch wissen, wo denn das Cabrio nach $t=\pu{26,5 s}$ ist.

Da es seit Sekunde $25$ mit konstanter Geschwindigkeit unterwegs ist und wir wissen, wo es sich zu diesem Zeitpunkt befindet, müssen wir nur die Strecke ausrechnen, die es in den fehlenden $\pu{1,5 s}$ zurückgelegt hat, und zu der bereits bekannten Strecke addieren:

$s_{\text{C}}(\pu{26,5 s})=s_{\text{C}}(\pu{25 s}) + v_{\text{C}_{\text{max}}} \cdot \pu{1,5 s}$
$s_{\text{C}}(\pu{26,5 s})=\pu{687,5 m} + \pu{50 m//s} \cdot \pu{1,5 s} = \pu{687,5 m} + \pu{75 m}=\pu{762,5 m}$

Verfolgungsjagd zwischen Polizeiwagen und Cabrio

Einholvorgang mit Neustart der Zeit

Mit einer neuen Zeitmessung, die bei $t_{\text{alt}}=\pu{26,5 s }$ beginnt, lassen sich die Bewegungen einfach so darstellen:

$s_{\text{C}}(t_{\text{neu}})=\pu{50 m//s} \cdot t_{\text{neu}}+ \pu{762,5 m}$
$s_{\text{P}}(t_{\text{neu}})=\pu{65 m//s} \cdot t_{\text{neu}} + \pu{211,25 m}$

Wir interessieren uns nun für den Zeitpunkt $t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}$, an dem beide Wagen die gleiche Entfernung zum Blitzer haben, also der Polizeiwagen das Cabrio einholt.

Wir können diesen Zeitpunkt ermitteln, indem wir beide Gleichungen gleichsetzen und nach $t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}$ auflösen:

$s_{\text{C}}(t_{\text{neu}_{\text{Ein}}})=s_{\text{P}}(t_{\text{neu}_{\text{Ein}}})$

$\pu{50 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}+ \pu{762,5 m}=\pu{65 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}} + \pu{211,25 m} \quad \big\vert~-\pu{50 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}-\pu{211,25 m}$

$ \pu{762,5 m}-\pu{211,25 m}=\pu{65 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}-\pu{50 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}$

$\pu{551,25 m}=\left( \pu{65 m//s} - \pu{50 m//s} \right) \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}$

$\pu{551,25 m} = \pu{15 m//s} \cdot t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}\quad \big\vert~: \pu{15 m//s}$

$t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}=\dfrac{\pu{551,25 m}}{\pu{15 m//s}}$

$t_{\text{neu}_{\text{Ein}}}=\pu{36,75 s}$

$\pu{36,75 s}$ nach Beendigung des Beschleunigungsvorgangs des Polizeiwagens holt dieser das Cabrio ein!

Wo holt der Polizeiwagen das Cabrio ein?

Um diese Frage zu beantworten, setzen wir die ermittelte Zeit in die beiden Gleichungen für den Weg ein:

$s_{\text{C}}(\pu{36,75 s})=\pu{50 m//s} \cdot \pu{36,75 s}+ \pu{762,5 m}$

$s_{\text{C}}(\pu{36,75 s})=1\,837,5~\text{m}+\pu{762,5 m} =2\,600~\text{m}$

$s_{\text{P}}(\pu{36,75 s})=\pu{65 m//s} \cdot \pu{36,75 s}+ \pu{211,25 m}$

$s_{\text{P}}(\pu{36,75 s})=2\,388,75~\text{m}+\pu{211,25 m} = 2\,600~\text{m}$

Der Polizeiwagen holt das Cabrio $2\,600~\text{m}$ hinter dem Blitzer ein.

Dass wir zweimal das gleiche Ergebnis erhalten, ist eine gute Kontrollrechnung. Die beiden Autos müssen sich ja beim Einholen an der gleichen Position befinden.

Umrechnung auf die ursprüngliche Zeitmessung

Nun ermitteln wir, wie viel Zeit vergangen ist, seit das Cabrio den Blitzer passiert hat.

Dazu müssen wir nur zu der ermittelten Zeit $\pu{26,5 s}$ addieren, denn zu diesem Zeitpunkt haben wir die neue Zeitmessung begonnen.

In Formeln gilt nämlich:

$t_{\text{alt}}=t_{\text{neu}}+\pu{26,5 s}$

Also gilt:

$t_{\text{alt}_{\text{Ein}}}=\pu{36,75 s}+\pu{26,5 s}=\pu{63,25 s}$

$\pu{63,25 s}$ nachdem das Cabrio den Blitzer passiert hat, wird es vom Polizeiwagen eingeholt.

Kontrolle

Wir können die Richtigkeit des Ergebnisses auch direkt für die ursprüngliche Zeitmessung bestätigen. Wir wissen, dass das Cabrio nach Beendigung seines Beschleunigungsvorgangs, also nach $\pu{25 s}$, eine Strecke von $\pu{687,5 m}$ zurückgelegt hat.

Von da an fährt es mit seiner Höchstgeschwindigkeit $v_{\text{C}_{\text{max}}}=\pu{50 m//s}$ und legt dann in den verbleibenden $\pu{63,25 s}-\pu{25 s}=\pu{38,25 s}$ die Strecke $\pu{50 m//s} \cdot \pu{38,25 s}=1\,912,5~\text{m}$ zurück. Insgesamt ergibt das eine Strecke von $\pu{687,5 m}+1\,912,5~\text{m}=2\,600~\text{m}$. Unsere Rechnung stimmt also.

Zusammenfassung des Einholvorgangs

  • Das Cabrio fährt so lange mit konstanter Geschwindigkeit, wie der Polizeiwagen noch steht. Diese Strecke können wir mit der Gleichung der geradlinig gleichförmigen Bewegung berechnen.

  • Dann beschleunigt das Cabrio bis zur Höchstgeschwindigkeit. Da wir sowohl die Höchstgeschwindigkeit als auch die Beschleunigung kennen, können wir die Zeit berechnen, die der Beschleunigungsvorgang dauert, und mit der Gleichung für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung auch die Strecke, die das Cabrio während dieses Vorgangs zurücklegt.

  • Der Polizeiwagen steht $\pu{20 s}$ lang und beschleunigt dann ohne Anfangsgeschwindigkeit. Wir ermitteln auch hier, wie lange der Beschleunigungsvorgang dauert und wie weit der Polizeiwagen kommt. Die Zeit ist um $\pu{1,5 s}$ länger, dafür kommt der Polizeiwagen nicht so weit, wie das Cabrio zu diesem Zeitpunkt schon ist.

  • Wir können nun das Problem auf einen einfachen Einholvorgang reduzieren. Der Polizeiwagen ist schneller, aber noch nicht so weit wie das Cabrio.

  • Wir beginnen mit dem Ende des Beschleunigungsvorgangs des Polizeiwagens eine neue Zeitmessung und setzen die entsprechenden Gleichungen für die geradlinig gleichförmige Bewegung nun gleich und erhalten die Zeit, die vom Ende des Beschleunigungsvorgangs des Polizeiwagens bis zum Einholen vergangen ist, sowie die Entfernung vom Blitzer.

  • Zu dieser Zeit addieren wir nun die Zeit, die bis zum Ende des Beschleunigungsvorgangs des Polizeiwagens vergangen ist und erhalten die Gesamtzeit vom Passieren des Blitzers bis zum Einholen.

Häufig gestellte Fragen zum Rechnen mit beschleunigten und zusammengesetzten Bewegungen

Was versteht man unter einer beschleunigten Bewegung?
Wie berechnet man die Endgeschwindigkeit eines Objekts bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung?
Was ist eine zusammengesetzte Bewegung und wie wird sie berechnet?
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Vorschaubild einer Übung

Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Welche Größen kommen im Weg-Zeit-Gesetz der beschleunigten Bewegung vor?

    Tipps

    Wenn du auf die Potenzen der Zeit $t$ schaust, hast du schon zwei Lösungen.

    Lösung

    Das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist eine Überlagerung dreier Zustände. Zum einen hat der Körper zu Beginn der Zeitmessung $t=\pu{0 s}$ einen bestimmten Abstand $s_{0}$ vom Startpunkt der Streckenmessung, sozusagen einen Vorsprung. Dann bewegt sich der Körper mit einer konstanten Geschwindigkeit $v_{0}$, der dadurch zurückgelegte Weg ist $v_{0} t$. Hierzu wird noch die Strecke addiert, die der Körper aufgrund seiner konstanten Beschleunigung $a$ zurücklegt: $\frac{1}{2}at^s$. Alle drei Summanden ergeben zusammen den zurückgelegten Weg $s(t)$.

  • Welche Größen sind entscheidend für die Zeit, die die Fahrzeuge für das Erreichen ihrer Höchstgeschwindigkeit benötigen?

    Tipps

    Zwei Antworten sind korrekt.

    Lösung

    Für die Beschleunigungszeit gilt die folgende Formel:

    $\Delta t_{\text{B}}=\dfrac{v_{\text{max}}-v_{0}}{a}$

    Daraus lässt sich ablesen, dass neben der Höchstgeschwindigkeit nur die Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ und die Beschleunigung $a$ für die Beschleunigungszeit $\Delta t_{\text{B}}$ entscheidend sind, nicht aber die Wagenlänge oder sein Vorsprung.

  • Berechne die Beschleunigung des Cabrios.

    Tipps

    Zunächst werden die gegebenen und gesuchten Größen angegeben.

    Lösung

    Die Lösung der Aufgabe erfolgt ganz nach dem bekannten Schema:

    Gegeben:
    Beschleunigungszeit: $\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}} = \pu{4 s}$
    Anfangsgeschwindigkeit: $v_{{0}_\text{C}}=\pu{25 m//s}$
    Höchstgeschwindigkeit: $v_{\text{max}_\text{C}}=\pu{50 m//s}$

    Gesucht:
    Beschleunigung $a=?$

    Formel:
    $a=\dfrac{v_{\text{max}_\text{C}}-v_{{0}_\text{C}}}{\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}}$

    Rechnung:
    Wir setzen ein:
    $a=\dfrac{v_{\text{max}_\text{C}}-v_{{0}_\text{C}}}{\Delta t_{\text{B}_{\text{C}}}}=\dfrac{\pu{50 m//s}-\pu{25 m//s}}{\pu{4 s}}= \pu{6,25 m//s2}$

    Antwortsatz:
    Die Beschleunigung des Cabrios wäre $a=\pu{6,25 m//s2}$.

    Die Formel ist die auf diese Aufgabe angewandte Version der allgemeinen Formel für die konstante Beschleunigung:

    $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$

  • Berechne die Zeit, die der Polizeiwagen für das Erreichen der Höchstgeschwindigkeit benötigen würde.

    Tipps

    In eine Lücke kommt keine Zahl, sondern ein Fragezeichen.

    Lösung

    Die Berechnung erfolgt analog zur Berechnung der Beschleunigungszeit des Cabrios im Lerntext. Wie immer müssen die Einheiten umgerechnet werden, damit sie zueinander passen. Das ist immer gewährleistet, wenn ins SI-System auf die Grundeinheiten umgerechnet wird.

    Gegeben:

    $v_{{0}_\text{P}} = \pu{36 km//h}$

    $v_{\text{max}_\text{P}} =\pu{234 km//h} = \pu{65 m//s}$

    Gesucht:

    $\Delta t_{\text{B}_\text{P}} =$ ?

    Umrechnung der Einheiten:

    $v_{0} = \pu{36 km//h}=(36:3,6)~\pu{m//s}=\pu{10 m//s}$

    Formel:

    $\Delta t_{\text{B}_{\text{P}}}=\dfrac{v_{\text{P}_{\text{max}}}-v_{\text{P}_{\text{Start}}}}{a_\text{P}}$

    Rechnung:

    Wir setzen ein: $\Delta t_{\text{B}_{\text{P}}}=\dfrac{v_{\text{P}_{\text{max}}}-v_{\text{P}_{\text{Start}}}}{a_\text{P}}= \dfrac{\pu{65 m//s}-\pu{10 m//s}}{\pu{10 m//s2}}=\pu{5,5 s}$

  • Beruteile den Wahrheitsgehalt der folgenden Aussage.

    Tipps

    Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der Quotient aus zurückgelegter Strecke und benötigter Zeit.

    Lösung

    Beide Wagen haben bis zum Ende der Verfolgungsjagd die gleiche Strecke zurückgelegt, nämlich
    $\pu{2,6 km}=2\,600 \text{m}$. Dafür haben beide auch die gleiche Zeit benötigt, nachdem das Cabrio den Blitzer passiert hat, nämlich $\pu{63,25 s}$. Demnach ist ihre Durchschnittsgeschwindigkeit auch gleich:

    $v_\text{Durchschnitt}=\dfrac{2\,600 \text{m}}{\pu{63,25 s}} \approx \pu{41,11 m//s} \approx \pu{148,0 m//s}$.

    Da der Polizeiwagen die ersten zwanzig Sekunden gestanden hat, ist das für ihn natürlich keine sonderlich aussagekräftige Zahl.

  • Analysiere die folgende Aufgabenstellung.

    Tipps

    Die Rechnungen kannst gut zusammenfügen, wenn du auf die Einheiten achtest – und die Ergebnisse überschlägst.

    Lösung

    Wenn der Polizeiwagen und das Cabrio die gleiche Geschwindigkeit haben UND das Cabrio Vorsprung hat, dann ist es nicht mehr einholbar. Wir müssen also überprüfen, ob ein Vorsprung beibehalten wird.

    Wir berechnen zunächst, wie weit das Cabrio mit der neuen Höchstgeschwindigkeit bis zu ihrem Erreichen kommt. Dazu benötigen wir die Zeit, die der Beschleunigungsvorgang in Anspruch nimmt.

    $t_{\text{B}_\text{C}}= \dfrac{\pu{65 m//s}-\pu{25 m//s}}{\pu{5 m//s2}}=\pu{8 s}$

    $s_\text{C}(\pu{28 s})=\frac{1}{2} \cdot \pu{5 m//s2} \cdot (\pu{8 s})^2 +\pu{25 m//s} \cdot \pu{8 s} + \pu{500 m} = \pu{160 m} +\pu{200 m} +\pu{500 m} = \pu{860 m}$

    In dieser Zeit hat der Polizeiwagen die folgende Strecke zurückgelegt:

    $s_\text{P}(\pu{28 s})=\frac{1}{2} \cdot \pu{10 m//s2} \cdot (\pu{8 s})^2 +\pu{0 m//s} \cdot \pu{20 s} =\pu{320 m}$

    Das heißt, das Cabrio hat immer noch einen Vorsprung – und ist jetzt nicht mehr einholbar. Zumindest solange ihm das Benzin nicht ausgeht.

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sofatutor Team
Rechnen mit geradlinig gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen
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