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Kalo
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Materiewellen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Materiewellen kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die Neuigkeiten aus der Welt der Wellen und Teilchen.

    Tipps

    Bei der Compton-Streuung wurde mit Licht ein Elektron bewegt/angestoßen.

    Lösung

    Damals ging man davon aus, dass Licht eine Welle sei und sich auch nur wie eine solche verhält.

    Man konnte aber zeigen, dass Wellen (nicht nur Licht) auch Teilcheneigenschaften haben. Dies nennt man „Welle-Teilchen-Dualismus"

    Mit dem Beweis der Compton-Streuung galt dies ebenfalls als bewiesen, da bei der Compton-Streuung ein Teilchen, zum Beispiel ein Elektron, durch ein Photon angestoßen wurde. Dabei wurde ebenfalls wieder Licht frei.

    Licht konnte also ein Teilchen bewegen, und musste dadurch selbst ein Teilchen sein.

    Dass dies mit der geometrischen Optik vereinbar ist, erklärte De Broglie, indem er sagte: Die Strahlen, mit denen man in der geometrischen Optik arbeitete, verliefen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Wellenfronten.

  • Beschreibe die dynamische Masse und die Trägheit.

    Tipps

    Bei einer Gleichung ähnlich $m\cdot v= z$ , wobei $v$ maximal ist, kann $z$ nur größer werden, wenn $m$ stattdessen wächst.

    Lösung

    Mit der dynamischen Masse wurde das Verständnis von Masse verändert.

    Masse war nicht länger eine Konstante, sondern eine Größe die sich bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit veränderte.

    Die Energiegleichung für die relativistische Energie

    $W=mc^2$

    zeigt, dass die Energie bei Lichtgeschwindigkeit nur noch von der Masse abhängig ist, bzw. andersherum steigende Energie eine steigende Masse zur Folge hat.

    Die Masse wird also auch geschwindigkeitsabhängig.

    Eine veränderte Masse sorgt dann auch für eine veränderte Trägheit, da Trägheit eben von der Masse abhängig ist.

  • Beschreibe De Broglies Erkenntnisse.

    Tipps

    Überlege, ob bei den Gleichungen gekürzt werden könnte, und ob sie dann noch stimmen.

    Welche neue Eigenschaft wurde Teilchen zugeordnet?

    Lösung

    De Broglie hat viele Entdeckungen gemacht, die zum Teil erst mit dem Beweis der allgemeinen Relativitätstheorie bewiesen wurden.

    Er fand heraus, dass die Energie eines Teilchens gleich der einer Welle ist

    $mc^2=hf$,

    und die Masse damit frequenzabhängig ist

    $m=\dfrac{hf}{c^2}$.

    Der entscheidende Beweis dafür wurde im Zuge der Relativitätstheorie geliefert, bei der nachgewiesen wurde, dass Licht durch Gravitation abgelenkt werden kann.

    Die Wellenlänge die De-Broglie-Teilchen zuordnete, nennt man De-Broglie-Wellenlänge $\lambda=\dfrac{h}{p}$, wobei $p$ der Impuls eines Photons $mc$ ist.

  • Beschreibe, was Wellenpakete sind und was eine Phasenverschiebung bewirkt.

    Tipps

    Überlege, wie die Y-Werte eines Wellendiagramms aussehen, wenn man 2 gleiche Wellen auf der X-Achse zueinander verschiebt. Daran kann man dann sehen, wie sie sich beeinflussen, wenn sie sich überlagern.

    Überlege, was wechselnde Phasenverschiebung mit der Amplitude macht.

    Lösung

    Überlagert man 2 oder mehr Wellen, so muss man aufpassen, mit welcher Phasenverschiebung dies geschieht.

    Sollen sich 2 Wellen gleicher Frequenz und Amplitude verstärken (addieren), müssen sie gleichphasig sein, d.h., Wellenberg muss auf Wellenberg stehen.

    Eine Auslöschung beider Wellen entsteht, wenn ihre Phasenverschiebung zueinander 180° beträgt, also Wellenberg auf Wellental steht.

    Liegt die Phasenverschiebung dazwischen, ist die resultierende Amplitude ebenfalls zwischen der Summe beider Amplituden und 0.

    Sind die Frequenzen unterschiedlich, wechselt die Phasenverschiebung ständig, da die Phasengeschwindigkeit der einen Welle größer ist als die der anderen (bei höheren Frequenzen sind die Wellenberge näher beieinander).

    Ist dies der Fall, so entstehen Gruppen von Amplituden größer 0 und Gruppen mit Amplitude=0, welche sich abwechseln.

    Die Gruppen mit Amplitude =0 gelten eher als Trennelemente zwischen den anderen Gruppen. Diese Gruppen, mit erst steigender, dann sinkender Amplitude, nennt man Wellenpakete.

  • Gib dein Wissen über Materiewellen wieder.

    Tipps

    Beim Fotoeffekt wird ein Elektron aus dem Valenzband gelöst, indem es ein Photon absorbiert.

    Lösung

    Im Bereich der Materiewellen haben wir De Broglie viel zu verdanken.

    De Broglies Erkenntnis, wie, dass die Masse frequenzabhängig ist, dass also jedes Teilchen eine Frequenz besitzt, wurde bestätigt durch den Beweis der allgemeinen Relativitätstheorie.

    Eine Neuerung war auch, dass die Masse eines Körpers nahe der Lichtgeschwindigkeit größer wird.

    Zudem erklärte er die geometrische Optik damit, dass die „Strahlen" senkrecht zu den Wellenfronten verlaufen.

  • Leite die Gruppengeschwindigkeit her.

    Tipps

    $x^{-1}$ bedeutet $\dfrac{1}{x}$.

    Lösung

    Wenn sich mehrere Schwingungen verschiedener Frequenzen überlagern, entstehen also Wellenpakete mit Gruppengeschwindigkeiten. Aber wie groß ist diese nun? Schließlich besteht sie aus vielen Frequenzen.

    Die Gruppengeschwindigkeit ist die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ nach der Wellenzahl $k$.

    Dabei ist :

    $\omega=2\pi\cdot f$

    $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$

    Haben wir also ein Teilchen mit Impuls

    $p=mv$

    und Energie

    $W=\dfrac{1}{2}\cdot mv^2$,

    können wir dieses mit der Energie für Wellen

    $W=\dfrac{p^2}{2m}$

    in Beziehung setzen.

    Mit der Planck'schen Beziehung

    $W=hf$

    und der De Broglie'schen Beziehung

    $P=\dfrac{1}{\lambda}\cdot h$

    kann nun für $\omega=2\pi f$ eingesetzt werden:

    $\omega=2\pi f=2\pi\dfrac{W}{h}=2\pi \dfrac{p²}{2hm}=\dfrac{2\pi}{2hm}\cdot\dfrac{h^2}{\lambda^2}$.

    Da wir nun wissen, wie $k$ aussieht, schreiben wir:

    $\omega=\dfrac{hk^2}{4\pi m}$.

    Das lässt sich nun nach $k$ ableiten. $k$ wieder einsetzen und kürzen ergibt.

    $v=\dfrac{\partial\omega}{\partial k}=2k \dfrac{h}{4\pi m}=2\cdot 2\pi\dfrac{h}{\lambda 4\pi m}$,

    also $v=\dfrac{p}{m}$.

    Diese Gruppengeschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit für Teilchen. Die Geschwindigkeit der Wellenpakete ist also gleich der des Teilchens.

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