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Kinetische Gastheorie

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Philip Rupp
Kinetische Gastheorie
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Kinetische Gastheorie

Dieses Video soll eine Einführung in das bedeutende Thema der kinetischen Gastheorie sein. Ich erkläre euch Schritt für Schritt womit sich diese fundamentale Theorie überhaupt beschäftigt. Danach leite ich mit euch zusammen langsam und sachlich Schritt für Schritt die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie in drei verschiedenen Formen her. Am Ende werdet ihr diese Grundgleichung selbständig anwenden können und so endlich verstehen wieso sich Gase so verhalten wie sie es tun!

Transkript Kinetische Gastheorie

Hallo und willkommen beim Lernvideo zur Grundgleichung der kinetischen Gastheorie. Unser weitläufiges Ziel wird es sein, diese Grundgleichung herzuleiten und in ihrer Anwendung zu proben. Denn mit ihrer Hilfe ist es möglich, Teilcheneigenschaften mit makroskopischen Größen, wie Druck oder Volumen, zu verknüpfen. Ihr solltet vorweg schon etwas über die Grundgrößen Druck, Volumen und Temperatur von idealen Gasen wissen. Wir werden anfangs noch einmal kurz erläutern, was der Bereich der der kinetischen Gastheorie überhaupt beschreibt und wie er sich abgrenzt. Danach werden wir auf die Herleitung der Grundgleichung kommen und diese langsam aus elementarem Teilchenverhalten entwickeln. Als letzten Punkt werden wir diese Formel an einigen Beispielen anwenden, um so die Einfachheit und Tragweite dieser Gleichung zu verdeutlichen. Allgemein kann man die kinetische Gastheorie als Beschreibungsmethode idealer Gase im Teilchenmodell deuten. Sie versucht, das Gas hierbei insbesondere durch die Bewegungseigenschaften der mikroskopischen Teilchen zu beschreiben. Das heißt, dass sie das Verhalten und den Zustand eines idealen Gases durch Teilcheneigenschaften, wie Geschwindigkeit, Anzahl und kinetische Energie, beschreibt. Sie unterliegt somit den Prinzipien idealer Gase, also punktförmigen Teilchen, die lediglich durch elastische Stöße untereinander und mit den Gefäßwänden interagieren. Da sich in einem Gasvolumen eine ungeheuer riesige Anzahl an Teilchen befindet, kann man über die kinetische Gastheorie keine Aussage zu einzelnen Teilchen treffen, sondern lediglich grobe Abschätzungen zu Mittelwerten und zur breiten Masse angeben. Sie zählt deswegen zu den statistischen Theorien. Oft nennt man diese Theorie deswegen auch kinetisch-statistische Gastheorie. Kommen wir nun zu unserem Hauptpunkt, der Herleitung der Grundgleichung. Als Ausgangspunkt denken wir uns eine gewisse Gasmenge, die aus N-Teilchen bestehen soll und das Volumen V einnimmt. Aus diesem Gasvolumen betrachten wir nun gesondert einen kleinen Quader. Die Scheitelfläche des Quaders soll A betragen. Sie ist im Grunde unwichtig und wird später herausfallen. Die Länge des Quaders hingegen ist von großer Bedeutung. Wir nennen sie deswegen vorerst s. Da unser Gas eine endliche Temperatur über dem absoluten Nullpunkt hat, bewegen sich die Gasteilchen. Hierdurch kann man eine mittlere Durchschnittsgeschwindigkeit festlegen, die wir mit v(gemittelt) bezeichnen. Mithilfe dieser gemittelten Geschwindigkeit können wir unsere Quaderlänge s etwas umschreiben. Wir legen s genau so lang fest, wie ein Teilchen in einem kurzen, aber beliebigen Zeitintervall Δt zurücklegt. Es gilt also: s=v(gemittelt)×Δt. Nun versuchen wir, die Teilchenanzahl n in unserem Quader zu berechnen. Hierzu benötigen wir einmal das Volumen unseres Quaders, also seine Scheitelfläche A × seine Länge v(gemittelt)×Δt, zum anderen brauchen wir die Teilchendichte in unserem Volumen V. Da sich das Gas im thermischen Gleichgewicht befinden soll und die Teilchenanzahl sehr groß ist, kann man die Dichte als konstant annehmen. Es befinden sich also überall in unserem Gas ungefähr gleich viele Teilchen pro Volumenstück. Diese Dichte ρ kann man über ρ=N/V ausdrücken, da sich ja N-Teilchen in unserem Volumen V befinden. Alles zusammen ergibt sich eine Teilchenzahl n in unserem Quader von N/V×A×v(gemittelt)×Δt. Mit dieser Formel haben wir schon einmal einen großen Schritt hinter uns. Nun schauen wir uns die Impulse dieser Teilchen an, die sie durch Stöße an den Wänden übertragen. Allgemein gilt für den Teilchenimpuls p=m×v, also Teilchenmasse mal dessen Geschwindigkeit. Bei einem vollkommen elastischen Stoß prallen die Teilchen von der Wand ab und fliegen in der entgegengesetzten Richtung mit sonst gleichem Impuls weiter. Ihr Impuls ändert sich also von m×v zu -m×v  bzw. die Änderung beträgt 2×m×v. Wir verwenden nun auch wieder die gemittelte Geschwindigkeit, da sich generell alle Teilchen mit anderen Geschwindigkeiten bewegen können. Genau dieser Impuls wird nun aufgrund der Impulserhaltung auf die Wand übertragen. Da dies für jedes Teilchen gilt, müssen wir diesen Impulsübertrag noch mit der Teilchenanzahl multiplizieren, die sich auf die Wand zubewegt. Da unser Quader 6 Seiten hat und sich die Teilchen ungerichtet bewegen, sind dies genau 1/6 der Gesamtteilchen im Quader. Die Impulsdifferenz, die die Teilchen auf die Wand übertragen, ist somit: Δp=1/6×N/V×A×v(gemittelt)×Δt×2×m×v(gemittelt). Oder etwas vereinfacht: Δp=1/3×N/V×A×v(gemittelt)2×m×Δt. Allgemein ergibt sich eine konstante Kraft laut Newton zu F=Δp/Δt. Δt kürzt sich also heraus und die Kraft auf die Wand der Fläche A ist somit: F=1/3×N/V×A×v(gemittelt)2×m. Diese Kraft ist es nun, die den Gasdruck erklärt. Die Stöße der Teilchen gegen die Wand drücken diese nach hinten, und das nehmen wir als Druck wahr. Der Druck ergibt sich allgemein als Kraft pro Fläche, also p=F/A. An dieser Stelle kürzt sich also auch unsere Fläche der Wand weg. Unser Druck ist nun: p=1/3×N/V×v(gemittelt)2×m. Eigentlich sind wir hiermit am Ziel angelangt. Es werden jedoch oft ein paar kleine Änderungen vorgenommen, um die Form dieser Gleichung etwas zu vereinfachen. Als Erstes wird angenommen, dass das Quadrat der gemittelten Geschwindigkeit ungefähr dem Mittel der quadratischen Geschwindigkeit entspricht, da unser Gas ja im thermischen Gleichgewicht vorliegt und alle Teilchen nahezu dieselbe Geschwindigkeit haben sollen. Multipliziert man dann noch beide Seiten mit dem Volumen V, so ergibt sich: p×V=1/3×N×m×v2(gemittelt). Dies ist nun die 1. Form der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie. Sie setzt die Masse, Anzahl und Geschwindigkeit der mikroskopischen Gasteilchen mit makroskopischen Größen, wie Druck und Volumen, in Verbindung.  Meistens wird jedoch die kinetische Energie benutzt, um die 2. Form der Grundgleichung zu erhalten. Es gilt die allgemeine Beziehung Ekin=½×m×v2. Nach der Umformung sieht sie folgendermaßen aus: p×V=2/3×N×Ekin(gemittelt). Hierbei ist Ekin(gemittelt) die durchschnittliche Bewegungsenergie der Gasteilchen. N×Ekin(gemittelt) ist also die Gesamtenergie unseres Gases. Da die rechte Seite der Grundgleichung genau wie die Zustandsformel idealer Gase aussieht, kann man diese beiden gleichsetzen. Dadurch erhält man nun die fundamentale Beziehung: kb×T=1/3×m×v2(gemittelt), wobei kb wieder die Boltzmann-Konstante ist. Diese Gleichung sagt nun eindeutig aus, dass die Temperatur eines Gases lediglich ein Maß für die Bewegungsstärke der Teilchen ist. Damit haben wir alle 3 Formen der Grundgleichung erhalten. Mit der endgültigen Form der Grundgleichung können wir uns nun 2 kurzen Beispielen zuwenden. Unser 1. Ziel soll es sein, die durchschnittliche kinetische Energie von Wasserstoffteilchen unter Normalbedingungen zu berechnen. Dafür werden wir natürlich die 2. Form der Grundgleichung benutzen bzw. die nach der gemittelten Energie umgestellte Form. Sie lautet: Ekin(gemittelt)=3/2×P×V/N. Der Faktor V/N ist hierbei der Kehrwert der Teilchendichte, also der Anzahl an Teilchen pro Volumeneinheit. Dieser beträgt für Wasserstoff ca. 5,36×1022 Teilchen/m³. Der Kehrwert, also 1 / diese angegebene Teilchendichte, beträgt ungefähr 1,87×10^-23m³ pro Teilchen. Als Druck nehmen wir den Normaldruck von ca. 100.000 Pa (Pascal) an. Dieses setzen wir nun in die Grundgleichung ein. Wir erhalten als mittlere kinetische Energie einen Wert von 2,8×10^-18J (Joule). Mit dieser Energie könnte man bei Weitem nicht einmal einen Wassertropfen auch nur 1mm hochheben. Doch für Atome oder Moleküle reicht diese Bewegungsenergie aus, um ihnen eine enorme Geschwindigkeit zu verleihen. Als Nächstes wollen wir also die durchschnittliche Geschwindigkeit von Sauerstoffteilchen unter Normalbedingungen berechnen, das bedeutet, bei einer Temperatur von 20°C, also 293K (Kelvin). Hier werden wir die fundamentale Beziehung der kinetischen Energie kb×T=1/3×m×v2(gemittelt) benutzen. Umgestellt ergibt sich die simple Formel \sqrt(3×kb/m×T)=v(gemittelt). Die Teilchenmasse eines Sauerstoffmoleküls beträgt ca. 2,6×10^-26kg. Nach dem Einsetzen der Werte erhalten wir als durchschnittliche Geschwindigkeit unserer Sauerstoffteilchen ca. 683m/s. Das bedeutet, dass diese Teilchen mit 2-facher Schallgeschwindigkeit durch die Welt rasen. Das ist so schnell wie ein Düsenjet. Und trotzdem bemerken wir die Luft um uns herum meist gar nicht. Ich hoffe, ihr hattet Spaß beim Zusehen. Euer Philip Physik

1 Kommentar
1 Kommentar
  1. Leider schon in der 9. Klasse bei uns.

    Von Santhosh, vor etwa 10 Jahren

Kinetische Gastheorie Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kinetische Gastheorie kannst du es wiederholen und üben.
  • Vollziehe die Herleitung der ersten Gleichungsform der kinetischen Gastheorie nach.

    Tipps

    Beobachte genau, was sich in den Gleichungen verändert.

    Vergleiche die Annahmen mit dem Bild in der Mitte.

    Lösung

    Die kinetische Gastheorie ist eine statistische Theorie. Diese trifft Aussagen über eine Geschwindigkeitsverteilung von Teilchen. Aus diesen wird die Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline v$ bestimmt.

    Alle Formeln beschreiben nur die Teilchen im türkisen Volumen.

    Diese Theorie bedient sich vieler makroskopischer Gesetzmäßigkeiten, trifft aber auch Annahmen, die dazu dienen, das makroskopische Verhalten so fassbar zu machen, dass Aussagen darüber möglich werden.

  • Forme die erste Form der Gleichung mit den richtigen Annahmen in die zweite und dritte Gleichung um.

    Tipps

    Du kannst auch von der letzten Form der Gleichung ausgehen und von unten beginnen.

    Die erste Gleichung besitzt zwei verschiedene Größen, die mit dem gleichen Buchstaben abgekürzt werden.

    Lösung

    Diese Gleichungen stellen die wesentlichen Werkzeuge zur Betrachtung der thermodynamischen Zusammenhänge aus Sicht der kinetischen Gastheorie dar.

    Mit diesen Gleichungen lassen sich sowohl die kinetische Energie und mittlere Geschwindigkeit aller Teilchen eines Gases als auch der Druck bestimmen.

    Auf diese Weise kann man mit kinetischen Erkenntnissen Aussagen über die makroskopische Ebene machen und genauso geht das auch andersherum.

  • Bestimme die mittlere kinetische Energie und die Geschwindigkeit eines Teilchens im Gas.

    Tipps

    Die Stoffmenge $n$ von einem Mol besagt, dass $N_A$ Teilchen vorliegen.

    Lösung

    Gegeben:

    $N\,=\,n\,\cdot\,N_A$,$~~~~$$N_A\,=\,6,022\,\cdot\,10^{23}$,$~~~~$$M_{Neon}\,=\,20,18\,\frac{g}{mol}$,$~~~~$$0°\,C\,=\,273,14\,K$,$~~~~$$p_S\,=101,3\,kPa$,$~~~~$$k_b\,=\,1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{J}{K}$,$~~~~$$V\,=\,24,4\,L$,$~~~~$$n\,=\,1\,mol$,$~~~~$$T\,=\,25°\,C$

    Gesucht: $\overline E_{Kin}$,$~~~~$$\overline v$

    Um die mittlere kinetische Energie zu bestimmen, benötigen wir nur ein paar dieser Größen in der richtigen Einheit. Einige können wir sofort einsetzen.

    $\overline E_{Kin}\,=\,\frac{3}{2}\,\cdot\,101,3\,kPa\,\cdot\,\frac{24,4\,L}{N}$

    N müssen wir zunächst über $N\,=\,n\,\cdot\,N_A$ bestimmen. Bei $n\,=\,1$ ist $N\,=\,N_A$.

    $\overline E_{Kin}\,=\,\frac{3}{2}\,\cdot\,101,3\,kPa\,\cdot\,\frac{24,4\,L}{6,022\,\cdot\,10^{23}}$

    Nun noch in die richtigen Einheiten umrechnen und ausrechnen:

    $\overline E_{Kin}\,=\,\frac{3}{2}\,\cdot\,101300\,\frac{N}{m^2}\,\cdot\,\frac{0,0244\,m^3}{6,022\,\cdot\,10^{23}}=\,6,16\,\cdot\,10^{-21}\,Nm\,=\,6,16\,\cdot\,10^{-21}\,J$.

    Nun bestimmen wir im zweiten Schritt die Geschwindigkeit.

    $\overline v\,=\,\sqrt{\,3\,\cdot\,\frac{k_b}{m}\,\cdot\, T}$

    Wir können alle Größen bis auf $m$ bereits einsetzen.

    $\overline v\,=\,\sqrt{\,3\,\cdot\,\frac{1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{J}{K}}{m}\,\cdot\, 25°\,C}$

    $m$ müssen wir über $m\,=\,M\,\cdot\,n$ bestimmen. Wir erhalten für das gesamte Mol $m_{mol}\,=\,0,02\,kg$ jedoch benötigen wir die Masse eines Teilchens. Daher teilen wir $m_{mol}$ durch $N_A$ und erhalten für $m\,=\,3,35\,\cdot\,10^{-26}\,kg$. Dies können wir nun auch einsetzen.

    $\overline v\,=\,\sqrt{\,3\,\cdot\,\frac{1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{J}{K}}{3,35\,\cdot\,10^{-26}\,kg}\,\cdot\, 25°\,C}$

    Nun nur noch in passende Einheiten umrechnen und ausrechnen.

    $\overline v\,=\,\sqrt{\,3\,\cdot\,\frac{1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{Nm}{K}}{3,35\,\cdot\,10^{-26}\,kg}\,\cdot\, 298,13\,K}=\,\sqrt{\,3\,\cdot\,\frac{1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{kg\,\cdot\,m^2}{K\,\cdot\,s}}{3,35\,\cdot\,10^{-26}\,kg}\,\cdot\, 298,13\,K}\,=\,607\,\frac{m}{s}$

  • Bestimme, wie viele Teilchen im Gas vorliegen.

    Tipps

    Das $m$ steht hier für die Masse eines Teilchens.

    Lösung

    Gegeben:

    $m_n\,=\,444\,g$,$~~~~$$\overline v\,=\,183\,\frac{m}{s}$,$~~~~$$T\,=\,25°\,C$,$~~~~$$k_b\,=\,1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{J}{K}$

    Damit wir die Teilchenanzahl N bestimmen können, müssen wir zunächst mit den gegeben Größen die Masse eines Teilchens bestimmen.

    $m\,=\,\frac{3\,\cdot\,k_b\,\cdot\,T}{\overline v^2}\,=\,\frac{3\,\cdot\,1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{J}{K}\,\cdot\,25°C}{183\,\frac{m}{s}}=\,\frac{3\,\cdot\,1,381\,\cdot\,10^{-23}\,\frac{kg\,\cdot\,m}{K\,\cdot\,s^2}\,\cdot\,298,13\,K}{183\,\frac{m}{s}}\,=\,3,69\,\cdot\,10^{-25}\,kg$

    Mit der berechneten Masse des Teilchens und der gesamten Masse können wir nun die Zahl der Teilchen im Gas bestimmen.

    $N\,=\,\frac{m_n}{m}\,=\,\frac{0,444\,kg}{3,69\,\cdot\,10^{-25}\,kg}\,=\,1,20\,\cdot\,10^{24}$

    Der Chemiker würde einfach die Molare Masse M von Radon nachschlagen $M_{Radon}\,=\,222\,\frac{g}{mol}$ und mit der folgenden Rechnung N bestimmen.

    $N\,=\,n\,\cdot\,N_A\,=\,\frac{m\,\cdot\,N_A}{M}\,=\,\frac{444\,g\,\cdot\,6,022\,\cdot\,10^{23}\,\frac{1}{mol}}{222\,\frac{g}{mol}}\,=\,1,20\,\cdot\,10^{24}$

  • Nenne die Definition der kinetischen Gastheorie.

    Tipps

    Beginne mit den bekannten Begriffen.

    Lösung

    Die kinetische Gastheorie ist eine statistische Theorie, sie bedient sich Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um das durchschnittliche Verhalten der Teilchen eines Gases vorherzusagen. Über dieses Verhalten lassen sich dann genauere Aussagen über das Verhalten des Gases machen.

    So entspricht die mittlere Geschwindigkeit aller Teilchen der Temperatur und der Gesamtimpuls aller Teilchen, welche mit den Gefäßwänden kollidieren: dem Druck. In Wechselwirkung lässt sich darüber auch das Volumen in Abhängigkeit vom Umgebungsdruck bestimmen.

    Bei all diesen Aussagen ist natürlich die Stoffmenge, also die Teilchenanzahl, als Faktor zu berücksichtigen.

  • Bewerte die Aussagen zum Ablesen der mittleren Geschwindigkeit der Teilchen im Gas.

    Tipps

    Was stellt der Graph dar?

    Achte auf die Begründungen.

    Lösung

    Es gibt viele Verteilungsfunktionen. Die dargestellte ist die Standardnormalverteilung. Diese geht davon aus, dass alle Werte zu dem mittleren Wert kumulieren.

    Mathematisch ist diese Funktion auf $x\,=\,0$ geeicht.

    $f(x)\,=\,\frac{1}{\sqrt{2\,\cdot\,\pi}}\,e^{-0,5\,\cdot\,x^2}$

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