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Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen

Erfahre, wie Isaac Newton durch einen Apfel zur Entdeckung der Gravitation kam. Entdecke die mathematische Formulierung des Gravitationsgesetzes und das Äquivalenzprinzip. Was bedeutet das für die Physik? Interessiert? Dies und vieles mehr im folgenden Text!

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Physik-Team
Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse

Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gravitationsgesetz – fallender Apfel und Planetenbahnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Erzähle die Anekdote zur Entdeckung des Gravitationsgesetzes.

    Tipps

    Stelle dir vor, du liegst unter einem Apfelbaum.

    Lösung

    Viele Zusammenhänge, die wir heute als selbstverständlich ansehen, waren früher noch nicht bekannt.

    Erst Newton fand 1666 heraus, dass die Anziehungskraft auf der Erde genau dieselbe Ursache hat, wie die Kraft, die die Himmelskörper auf ihren Umlaufbahnen hält.

  • Beschreibe das Äquivalenzprinzip

    Tipps

    Welche Aussagen beziehen sich auf das Äquivalenzprinzip?

    Lösung

    Die Kernaussage des Äquivalenzprinzips ist, dass die schwere Masse, die wir aus dem Gravitationsgesetz kennen, und die träge Masse, die wir aus Newtons erstem Gesetz, dem Trägheitsprinzip, $F=m\cdot a$ kennen, äquivalent sind.

    Das ist schon seit langer Zeit bekannt und daher unterscheiden wir im Normalfall diese beiden Massen gar nicht.

  • Beschreibe die Bahnänderung eines Himmelskörpers, indem du seine Geschwindigkeit immer weiter erhöhst.

    Tipps

    Himmelskörper 2 beschreibt jeweils eine unterschiedliche Bahn um Himmelskörper 1.

    Versuche, dir den Einfluss des Gravitationsfeldes von Körper 1 vorzustellen und erhöhe in Gedanken die Geschwindigkeit von Körper 2.

    Lösung

    Dass ein Himmelskörper einen anderen kreisförmig umrundet, können wir uns gut vorstellen.

    Wenn wir jedoch seine Geschwindigkeit erhöhen, wird die Kreisbahn zu einer Ellipse. Wie stark die Ellipse von einer Kreisbahn abweicht, wird durch die Exzentrizität beschrieben. Die Exzentrizität nimmt mit Erhöhung der Geschwindigkeit immer weiter zu, bis die Bahn bei Erreichen der zweiten kosmischen Geschwindigkeit einer offenen Parabel gleicht. Nimmt die Geschwindigkeit darüber hinaus noch weiter zu, gleicht sich die Flugbahn einer Hyperbel an.

  • Bestimme die Masse der Erde aus folgenden Informationen.

    Tipps

    Nutze die EXP-Taste auf deinem Taschenrechner, um 10er-Potenzen einzugeben.

    Stelle die Formel nach der Größe um, die gesucht ist.

    Rechne in SI-Einheiten. Das sind unter anderem kg, m, s...

    Lösung

    Die Herangehensweise bei physikalischen Rechenaufgaben ist immer dieselbe.

    Zuerst schreibst du auf, was gegeben ist und was gesucht wird. Du suchst dann die Formel, die alle diese Größen enthält. Manchmal benötigt man auch zwei oder drei verschiedene Formeln, um alle Größen berücksichtigen zu können.

    Danach stellst du die Formel so um, dass die gesuchte Größe auf der einen und die gegebenen Größen auf der anderen Seite stehen und setzt diese dann.

    Gegeben:

    $\begin{align*} m_{\text{Mond}} &= 7,349 \cdot 10^{22}~\text{kg}\\ r_{\text{Erde-Mond}} &= 384.400~\text{km} \\ F_{\text{G}}&= 1,968229 \cdot 10^{20}~\text{kg}\\ G &= 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2}\\ \end{align*}$

    Gesucht:

    $\begin{align*} m_{\text{Erde}}\\ \end{align*}$

    Formel:

    $\begin{align*} F_{\text{G}}&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\\ \end{align*}$

    Umformen:

    $\begin{align*} F_{\text{G}}&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\qquad |\cdot r^2 \\ F_{\text{G}} \cdot r^2&= G \cdot{M\cdot m}\qquad |\cdot \frac{1}{m \cdot G}\\ \frac{F_{\text{G}} \cdot r^2}{m \cdot G}&= M \end{align*}$

    Einsetzen:

    $\begin{align*} M&= \frac{F_{\text{G}} \cdot r^2}{m \cdot G} = \frac{ 1,968229 \cdot 10^{20}~\text{kg} \cdot (384.400.000~\text{m})^2}{7,349 \cdot 10^{22}~\text{kg} \cdot 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2}} \approx 5,93 \cdot 10^{24} ~\text{kg}\\ \end{align*}$

    Wichtig ist es, beim Einsetzen darauf zu achten, dass alle Größen in SI-Einheiten angegeben sind. Du musst daher den Abstand Erde-Mond zuerst in m umrechnen. Um die richtige Einheit zu bestimmen, kannst du anstelle der Einheit für die Kraft auch das Produkt aus Einheit von Masse und Beschleunigung einsetzen.

  • Bestimme mithilfe des Gravitationsgesetzes die Beziehung zwischen der Kraft, die die Erde auf den Mond ausübt und der Kraft, die der Mond auf die Erde ausübt.

    Tipps

    Trage ? ein, falls es keine bestimmte Beziehung gibt.

    Gib das Verhältnis so exakt wie möglich an.

    Du kannst hier mit einem Newtonschen Gesetz argumentieren.

    Lösung

    Das dritte Newtonschen Gesetz, das auch Wechselwirkungsprinzip genannt wird, besagt Folgendes:

    Die Kraft, die ein Körper auf einen zweiten ausübt, ist immer genauso groß, wie die Kraft des zweiten auf den ersten Körper.

    Es muss also Gleichheit gelten.

  • Bestimme die Erdbeschleunigung g mithilfe des Äquivalenzprinzips.

    Tipps

    Überlege dir, was das Äquivalenzprinzip besagt.

    Rechne so exakt wie möglich, vermeide Rundungsfehler.

    Es muss nicht unbedingt der Literaturwert herauskommen.

    Lösung

    Die Herangehensweise bei physikalischen Rechenaufgaben ist immer dieselbe.

    Du suchst dann die Formel, die alle diese Größen enthält. Manchmal benötigt man auch zwei oder drei verschiedene Formeln, um alle Größen berücksichtigen zu können.

    Danach stellst du die Formel so um, dass die gesuchte Größe auf der einen und die gegebenen Größen auf der anderen Seite stehen und setzt diese dann ein.

    Gegeben:

    $\begin{align*} M_{\text{Erde}} &= 5,9722 \cdot 10^{24}~\text{kg}\\ r_{\text{Erde}} &= 6.371~\text{km} \\ G &= 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2}\\ \end{align*}$

    Gesucht:

    $g$

    Formeln:

    $\begin{align*} F&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\\ F&= m\cdot g\\ \end{align*}$

    F Gleichsetzen:

    $\begin{align*} m\cdot g&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2}\\ \end{align*}$

    Umformen:

    $\begin{align*} m\cdot g&= G \cdot \frac{M\cdot m}{r^2} \qquad |\cdot \frac{1}{m}\\ g&= G \cdot \frac{M\cdot m}{m\cdot r^2}\\ \end{align*}$

    m kann gekürzt werden, da das Äquivalenzprinzip folgendes besagt:

    schwere Masse = träge Masse = m

    Einsetzen:

    $\begin{align*} g&= G \cdot \frac{M}{ r^2} = 6,6738 \cdot 10^{-11}~\frac{\text{m}^3}{\text{kg}~\text{s}^2} \cdot \frac{5,9722 \cdot 10^{24}~\text{kg}}{(6.371.000~\text{m})^2} \approx 9,82 ~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\\ \end{align*}$

    Wichtig ist es, beim Einsetzen darauf zu achten, dass alle Größen in SI-Einheiten angegeben sind. Du musst daher den Erdradius zuerst in m umrechnen.