Schulausfall:
sofatutor 30 Tage kostenlos nutzen

Videos & Übungen für alle Fächer & Klassenstufen

Gravitationsfeld – potentielle Energie 07:44 min

Textversion des Videos

Transkript Gravitationsfeld – potentielle Energie

Hallo und herzlich willkommen zur Physik mit Kalle. Wir beschäftigen uns heute mit der potentiellen Energie im Gravitationsfeld. Für dieses Video solltet ihr bereits den Film über das Gravitationsfeld gesehen haben. Wir lernen heute: Was potentielle Energie ist? Potentielle Energie auf der Erdoberfläche (homogenes Feld) Und dann sehen wir uns die generelle Formel an, am Beispiel der potentiellen Energie am Gravitationsfeld der Erde. Die potentielle Energie, man schreibt normalerweise Epot, eines Körpers in einem Feld gibt an, wieviel Arbeit das Feld an dem Körper verrichten könnte. Wir wissen bereits: Auf einem Körper der Masse m, der sich in einem Gravitationsfels befindet, wirkt die Gravitationskraft FG. Daraus folgt, die potentielle Energie im Gravitationsfels ist also ein Maß dafür, wieviel Energie der Körper durch Schwerkraft gewinnen kann. Im nächsten Kapitel wollen wir uns nun ansehen wie die Formel für die potentielle Energie im altäglichen Leben aussieht. Wir betrachten folgende Skizze von mir, in der ich einen Apfel in der Hand halte. Ich stehe auf der Erdoberfläche und wie ihr wisst, wirkt auf mich und den Apfel die Fallbeschleunigung G. Wie ihr wisst, kann sich die Fallbeschleunigung verändern, wenn ich zum Beispiel auf einen Berg steige. Da wir hier aber nur einen sehr kleinen Abschnitt der Erdoberfläche betrachten, kann ich annehmen, dass G überall gleich groß ist. Ich sage also, G ist quasi homogen. So, ich lasse nun meinen Apfel los und wie ihr wisst, wirkt auf ihn die Schwerkraft. Sie beschleunigt ihn und er fällt in Richtung Boden. Die Formel für die Schwerkraft FG ist Masse des Apfels m mal die Fallbeschleunigung g. Wir notieren uns: Auf der Erdoberfläche kann das Gravitationsfeld (wenn der betrachtete Ausschnitt klein genug ist) als homogen angenommen werden. Das bedeutet, das die Feldstärke g überall gleich groß ist und in die selbe Richtung zeigt. Wenn g konstant ist, dann ist auch FG konstant. Für eine konstante Kraft können wir sehr leicht, die von ihr verrichtete Arbeit zeigen. Ihre Formel ist W=F×S. Und S ist dabei der Vektor der dabei von meiner Hand bis zu der Stelle am Boden zeigt, an der der Apfel aufschlägt. Das bringt uns zu der uns sehr bekannten Formel der potentiellen Energie: W=F×S=m×g×(h1-h2). Wenn ich nun h1-h2, den Höhenunterschied, am Beispiel ∆h nenne, wird die Formel zu m×g×∆h. Sie ist die klassische Formel für die potentielle Energie. Wie ich die potentielle Energie für schwierigere Fälle zum Beispiel ein Körper im Schwerefeld der Erde und zwar so weit weg, das es nicht mehr homogen ist, berechnen kann, das sehen wir im nächsten Kapitel. Wir hatten im letzten Video die Feldlinien für das Gravitationsfeld kennengelernt. Ihr erinnert euch die Feldlinienrichtung gibt Aufschluss darüber in welche richtung die anziehenden Kräfte wirken, die von einer Masse ausgehen. Ich kann in dieses Bild nun ebenfalls die Äquipotentiallinien, im Bild rot, einzeichnen. Man betrachtet die potentielle Energie immer zu einem bestimmten Bezugspunkt hin. Die Äquipotentiallinien bedeuten, alle Punkte, die auf dieser Linie sind haben gegebüber dem selben Bezugspunkt die gleiche potentielle Energie. Die Äquipotentiallinien sind also so etwas ähnliches wie die Höhenlinien auf einer Landkarte. Wir befinden nun uns auf einem bestimmten Punkt P1 in dem Feld, wählen wir einen anderen Punkt P2 und begeben uns dorthin. Was wir nun ausrechnen wollen, welche potentielle Energie hat unser neuer Punkt P2 im Vergleich zu unserem alten Punkt P1. Anders gesagt: Haben wir unterwegs Energie verloren oder gewonnen? Da sich die Kraft auf unserem Weg ändert, können wir nicht mehr ganz so einfach rechnen. Die Formel lautet nun: Die potentielle Energie ist das Integral über die Kraft F mal ds von r1 bis r2. Für die Kraft kann ich einfach die Schwerkraft einsetzen und damit erhalte ich: Das Integral über G×m×M geteilt durch r2 mal dr von r1 bis r2. Das lässt sich schnell ausrechnen. Das Ergebnis ist G×m×M(1/r1-1/r2). Dies ist die Formel für die potentielle Energie eines Körpers in P2 im Vergleich zu P1. Wir müssen natürlich berücksichtigen, dass diese Formel nur für die Verhältnisse gilt, die wir hier betrachtet haben, nämlich das von einer einzigen Masse erzeugte Gravitationsfeld. Wichtig ist dabei, die potentielle Energie hängt nicht vom Weg ab, der zwischen P1 und P2 gewählt wird. Ich hätte auch auf völlig anderen Wegen laufen können als diesen beiden hier. Der Energieunterschied wäre der gleiche. Oft wird als Bezugspunkt eine unendliche Entfernung gewählt. Dann vereinfacht sich unsere Formel ein wenig und wir erhalten Epot=G×m×M(1/∞ -1/r). da 1/∞ gleich Null ist, wird die Formel zu (G×m×M)/r. Wir wollen nochmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Die potentielle Energie gibt an, wieviel Arbeit das Gravitationsfeld an einem Körper verrichten kann. Die Formel für die potentielle Energie auf der Erdoberfläche, wenn die Fallbeschleunigung als homogen angenommen werden kann, ist: Epot=m×g×∆h.  Die potentielle Energie eines Körpers der Masse m  im Punkt P2, der sich im Gravitationsfeld eines Körpers der Masse M befindet, ist im Vergleich zum Punkt P1: Epot=G×m×M(1/r1-1/r2). Für r1 gegen unendlich ergibt sich Epot=(-G×m×M)/r2. So das war es für heute. Ich hoffe ich konnte euch helfen. Vielen Dank für das Zuschauen und vielleicht bis zum nächsten Mal. Euer Kalle.

Gravitationsfeld – potentielle Energie Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gravitationsfeld – potentielle Energie kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige, wie die Potentielle Energie in den verschiedenen Fällen bestimmt werden kann.

    Tipps

    Zur Angabe der potentiellen Energie brauchst du einen Bezugspunkt, also eine weitere Entfernung oder Höhe. Dieser kann auch im Unendlichen liegen.

    Ein Sonderfall ist das Gravitationsfeld in der Nähe der Erdoberfläche (homogenes Feld). Zur Bestimmung von $E_{pot}$ reichen die Größen $m,~g, h$ aus.

    Ist das Feld hingegen nicht homogen, muss du mit dem allgemeinen Gravitationsgesetz arbeiten und $G,~M,~r$ mit berücksichtigen.

    Lösung

    Bei der Auswahl der richtigen Formel zur Berechnung der Potentiellen Energie eines Körpers im Gravitationsfeld der Erde sind zwei Punkte wichtig:

    1. Kann das Feld aufgrund seiner geringen Ausdehnung als homogen angenommen werden, ist also die Feldstärke $\vec {g}$ überall gleich groß, oder ist es ein inhomogenes Zentralfeld?
    1. Wo liegt der Bezugspunkt, also die Vergleichsbasis, für die Angabe der Potentiellen Energie?
  • Beschreibe das Gravitationsfeld der Erde in Bezug auf die Äquipotentiallinien.

    Tipps

    Alle Punkte auf einer Äquipotentiallinie haben gegenüber einem Bezugspunkt dieselbe Potentielle Energie.

    Je weiter die Äquipotentiallinie von der Erdoberfläche entfernt ist, desto höher ist ihre Potentielle Energie.

    Lösung

    Alle Punkte auf einer Äquipotentiallinie haben dieselbe Potentielle Energie. Je weiter die Linie von der Erde entfernt ist, desto höher ist diese Energie.

    Daher haben die Punkte A, D, G und H dieselbe, vergleichsweise geringe Potentielle Energie. Die Punkte B und E haben eine höhere Energie. Am Größten ist jedoch die Potentielle Energie auf der äußersten Äquipotentiallinie, also bei den Punkten C, F und I.

  • Beurteile die Aussagen zum Gravitationsfeld auf der Erdoberfläche.

    Tipps

    Hier wird ein sehr kleiner Ausschnitt des Gravitationsfeldes der Erde betrachtet.

    Der Apfelbaum befindet sich auf der Erdoberfläche.

    Lösung

    Das Gravitationsfeld der Erde, in dem sich der Apfelbaum befindet, kann also homogen betrachtet werden, da der Ausschnitt sehr klein ist.

    Dies bedeutet, dass die Feldlinien parallel zueinander in regelmäßigen Abständen verlaufen und dabei senkrecht auf dem Erdboden stehen. Sie zeigen in Richtung der wirkenden Gravitationskraft, also Richtung Erdboden. $\vec g$ ist überall gleich groß und hat den Wert $g=9.81~\frac {m} {s^2}$, weil sich der Baum auf der Erdoberfläche befindet.

    Die Potentielle Energie der Äpfel hängt somit nur von ihrer Höhe h zum Erdboden ab. Alle Äpfel, die in dergleichen Höhe hängen, haben die gleiche Potentielle Energie. Daher verlaufen die Äquipotentiallinien parallel zum Erdboden. Je höher ein Apfel hängt, desto größer ist seine Potentielle Energie, da sie mit Hilfe der Formel $E_{pot}=m\cdot g\cdot h$ berechnet werden kann. Fällt ein Apfel vom Baum, verringert sich seine Potentielle Energie in Abhängigkeit von der Fallstrecke.

  • Erläutere, wie sich die Potentielle Energie eines Körpers bei der Bewegung im Gravitationsfeld der Erde verändert.

    Tipps

    Im ersten Nenner in der Klammer steht der Abstand r des Ausgangspunktes, im zweiten der Abstand des Endpunktes.

    Lösung

    Allgemein gilt für die Potentielle Energie in einem Gravitationszentralfeld eines Punktes E (Ende) in Bezug zu einem Punkt A (Anfang) die gezeigte Formel.

    Ist der Abstand des Endpunktes größer als des Anfangspunktes, bewegt sich der Körper vom Zentrum weg. Der zweite Bruch ist dann wegen des größeren Nenners kleiner als der erste Bruch, die Potentielle Energie erhält einen positiven Wert. Das heißt, es muss Arbeit an dem Körper verrichtet werden, seine Potentielle Energie nimmt zu.

    Umgekehrt nimmt die Potentielle Energie ab, wenn sich der Körper dem Zentrum des Feldes nähert. Sie wird durch Beschleunigungsarbeit des Gravitationsfeldes in Kinetische Energie des Körpers umgewandelt.

  • Fasse die wichtigsten Informationen über die Potentielle Energie zusammen.

    Tipps

    Durch Arbeit wird eine Energieform in eine andere Energieform umgewandelt.

    Die verrichtete Arbeit entspricht der Energiemenge, die bei diesem Prozess umgewandelt wurde.

    Lösung

    Potentielle Energie ist Lageenergie. Je höher sich ein Körper im Gravitationsfeld befindet, desto größer ist diese Energie. Potentielle Energie kann durch Beschleunigungsarbeit in Kinetische Energie umgewandelt werden. Dabei bewegt sich der Körper Richtung Zentrum. Betrachtet man einen sehr kleinen Ausschnitt des Feldes auf der Erdoberfläche, kannst du zur Berechnung der Potentiellen Energie die genannte Formel verwenden. Sie gilt aber nur für diesen Sonderfall.

  • Erkläre, wie sich die Potentielle Energie im Gravitationsfeld mit zunehmendem Abstand r verändert.

    Tipps

    Das Gravitationsfeld ist ein inhomogenes Zentralfeld.

    Befindet sich der Körper dichter an der Erde, müssen wirken stärkere Anziehungskräfte auf ihn.

    Lösung

    Damit sich der Körper wie beschrieben von der Erde entfernen kann, muss ihm durch Arbeit von außen Energie zugeführt werden. Dadurch erhöht sich die Potentielle Energie des Körpers.

    Ist der Körper nah an der Erdoberfläche, wirken auf ihn starke Anziehungskräfte. Um ihn gegen entgegen dieser Anziehungskräfte anzuheben, bedarf es einer großen Energie. Je weiter sich der Körper von der Erde wegbewegt, desto geringer wird diese Anziehungskraft. Die Arbeit, die aufgewendet werden muss, um den Körper nun um dieselbe Strecke anzuheben, ist daher nicht mehr so groß. Die Potentielle Energie des Körpers wächst daher um immer kleinere Beträge, je weiter er sich von der Erde entfernt.