Geschwindigkeit v zu einem Zeitpunkt t

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video werden wir uns damit beschäftigen, wie man Geschwindigkeiten zu bestimmten Zeitpunkten berechnen kann. Am Ende des Videos wirst du fähig sein, auch die Momentangeschwindigkeit beliebig komplizierter Bewegungen zu berechnen. Dazu werfen wir zuerst nochmal einen Blick auf gleichförmige Bewegungen und lineare t-s-Diagramme und ihre Deutung. Danach werden wir uns eingehend mit nicht-gleichförmigen Bewegungen und nichtlinearen t-s-Diagrammen beschäftigen. Du wirst dabei lernen, wie man mit dir bereits bekannten mathematischen Methoden die Momentangeschwindigkeit gleichmäßig beschleunigter Bewegungen und anderer, ungleichförmiger Bewegungen berechnen kann. Da du jetzt weißt, worum es in diesem Video geht, kann es auch schon losgehen. Eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit heißt gleichförmige Bewegung. Die Geschwindigkeit ist über den gesamten Zeitraum konstant und es gilt: Zurückgelegte Strecke = Geschwindigkeit v * Zeit t. Die zurückgelegte Strecke steigt also linear mit der Zeit. Um ein t-s-Diagramm anfertigen zu können, muss man erst eine Tabelle mit Wertepaaren für t und s mit den jeweiligen Einheiten erstellen. Das kann man zum Beispiel für einen Fahrradfahrer machen, der mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geraden Strecke fährt. In unserem Beispiel sind die Einheiten Sekunden für die Zeit und Meter für die Strecke. Diese kann man dann in das Diagramm eintragen. Auf der x-Achse trägt man dabei die Zeit, auf der y-Achse die zurückgelegte Strecke ein. So erhält man zuerst ein Punktdiagramm. Man sieht, dass die Messpunkte auf einer Linie liegen, es ist also ein linearer Zusammenhang. Die zurückgelegte Strecke ist gleich dem konstanten Faktor der Geschwindigkeit mal die Zeit, wie man schon an der Formel oben links sehen kann. Die Steigung der Achse entspricht dabei genau der Geschwindigkeit, da die Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung konstant ist, ist auch die Steigung konstant. Es gibt allerdings auch nicht-gleichförmige Bewegungen. Eine solche nicht-gleichförmige Bewegung liegt dann vor, wenn sich die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert. Das passiert zum Beispiel bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Hier ist die Geschwindigkeit nicht konstant, sie steigt konstant mit der Zeit. Dafür ist die Beschleunigung a konstant, es gilt hier v(t)=at. Für t gilt bei gleichförmig beschleunigten Bewegungen s(t)=1/2at². Ein Beispiel für eine solche Bewegung ist der freie Fall im Vakuum. Die Beschleunigung entspricht hier der Erdbeschleunigung g, sie hat einen Wert von 9,81m/s². Erstellt man eine Wertetabelle mit Wertepaaren mit der Zeit t in Sekunden und dem Weg s in Metern, so kommt man auf folgende Wertepaare. Überträgt man diese in ein t-s-Diagramm, so sieht man direkt, dass kein linearer Zusammenhang zwischen dem zurückgelegten Weg und der Zeit besteht. Wie wir ja schon bereits wissen, ist es ein quadratischer Zusammenhang. Die Punkte im t-s-Diagramm liegen also auf einer Parabel. Aber obwohl es sich um eine andere Art der Bewegung als in einem linearen t-s-Diagramm handelt, gilt auch hier, dass die Steigung der Kurve der Geschwindigkeit entspricht. Aus der Mathematik weißt du bereits, dass die Steigung der Kurve in einem bestimmten Punkt gleich der Steigung einer angelegten Tangente ist. Die Steigung der Tangente ist wiederum gleich dem Wert der Ableitung der Kurve an genau diesem Punkt. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit t1 gleich dem Wert der Ableitung des Weges s nach t zu diesem Zeitpunkt t1 ist. Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt t1 zu bestimmen, leitet man also die Funktion von s nach t ab und setzt in das Ergebnis die Zeit t1 ein. Dass die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges nach der Zeit ist, kann man leicht an den Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung überprüfen. Leitet man nämlich die Funktion s(t)=1/2at² nach t ab, so erhält man das Ergebnis at. Das wiederum entspricht genau der Geschwindigkeit der gleichmäßig beschleunigten Bewegung. Jetzt werden wir einmal die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers nach vier Sekunden Fallzeit berechnen. Wir leiten also die Funktion s(t) nach t ab und erhalten ds(t)/dt=a*t, was der Geschwindigkeit entspricht. a ist in diesem Fall die Erdbeschleunigung mit einem Wert von 9,81 m/s². Jetzt setzt man in diese Gleichung die Zeit ein, zu der man die Geschwindigkeit wissen will. In unserem Fall sind das vier Sekunden. So kommt man auf eine Geschwindigkeit von 39,24 m/s. Der Vorteil der Definition der Geschwindigkeit als Ableitung des Weges liegt auf der Hand. Jetzt kannst du für beliebig komplizierte Funktionen s(t) die Momentangeschwindigkeiten bestimmen, indem du die Wegfunktion nach t ableitest. So, was hast du eben gelernt: Die Steigung in einem t-s-Diagramm entspricht der Geschwindigkeit. Dabei ist es egal, ob es sich um eine gleichförmige oder eine ungleichförmige Bewegung handelt. Die Steigung der Kurve im t-s-Diagramm entspricht wiederum der Ableitung der Funktion des Weges s(t) nach der Zeit t. Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit gleich der Ableitung des Weges nach der Zeit ist. Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu berechnen, leitet man also die Funktion des Weges nach der Zeit ab und setzt Beschleunigung und den gewünschten Zeitpunkt ein. So, das war's auch schon zum Thema „Geschwindigkeit‟. Ich hoffe, du hast was gelernt. Tschüss und bis zum nächsten Mal!