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Compton-Effekt – mathematischer Hintergrund

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Kalo
Compton-Effekt – mathematischer Hintergrund
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Compton-Effekt – mathematischer Hintergrund Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Compton-Effekt – mathematischer Hintergrund kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, ob der Compton-Effekt materialabhängig ist.

    Tipps

    $\Delta \lambda= \lambda^* - \lambda$

    Für Cäsium und Blei gilt (bei $\varphi =30°$): $\Delta \lambda=3,25\cdot 10^{-13}~m$.

    Lösung

    Beim Compton-Effekt bestrahlt man ein Objekt mit monochromatischer Röntgenstrahlung der Wellenlänge $\lambda$. Dabei stellt man fest, dass die Streustrahlung je nach Streuwinkel eine höhere Wellenlänge $\lambda^*$ aufweist.

    Doch was passiert, wenn man das Material des Objektes verändert?

    Experimente ergeben: Ändert man das Material des Streukörpers bei gleichbleibender Strahlung, so bleibt der Wellenlängenunterschied $\Delta \lambda= \lambda^* - \lambda$ gleich.

    Der Compton-Effekt ist somit nicht abhängig vom Material.

  • Gib an, mit welcher Formel die Compton-Wellenlänge $\Lambda_e$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Die Compton-Wellenlänge wird in Meter angegeben. Überlege dir, wie dir die Einheiten der anderen Größen helfen können.

    $[c]=\frac{m}{s}$

    $[m_0]=kg$

    $[h]= Js$

    Lösung

    Trifft ein Photon auf ein Elektron, so geht ein Teil seiner Energie und seines Impulses auf das Elektron über. Die Energieübertragung bewirkt eine Impulsverkleinerung und damit eine Verlängerung der Wellenlänge $\Delta \lambda$.

    Diese kann wie folgt berechnet werden: $\Delta \lambda=\frac{ h}{m_0 \cdot c }\cdot (1-cos(\varphi))$.

    Den Term der drei Naturkonstanten ($\frac{ h}{m_0 \cdot c }$) nennt man die Compton-Wellenlänge $\Lambda_e$.

  • Gib zu den physikalischen Größen die passende Einheit an.

    Tipps

    $\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 \cdot c}\cdot (1-cos(\varphi))$

    $\Lambda = \frac{h}{m_0 \cdot c} $

    $[\Lambda]=m$

    Lösung

    Trifft ein Photon auf ein Elektron, so geht ein Teil seiner Energie und seines Impulses auf das Elektron über. Die Energieübertragung bewirkt eine Impulsverkleinerung und damit eine Verlängerung der Wellenlänge $\Delta \lambda$, welche in Meter $m$ gemessen wird.

    Diese kann wie folgt berechnet werden: $\Delta \lambda=\frac{ h}{m_0 \cdot c }\cdot (1-cos(\varphi))$. Den Term der drei Naturkonstanten ($\frac{ h}{m_0 \cdot c }$) nennt man die Compton-Wellenlänge $\Lambda_e$, welche ebenfalls in Meter angegeben wird.

    Der Term $\frac{ h}{m_0 \cdot c }$ besitzt als Einheit Meter, sodass der restliche Term der Gleichung $(1-cos(\varphi))$ einheitslos sein muss.

    Das Formelzeichen $c$ steht für die Lichtgeschwindigkeit, welche in $\frac{m}{s}$ angegeben wird. $m_0$ ist die Masse des Elektrons, welche wiederum in $kg$ angegeben wird.

    Bleibt nur noch $h$ übrig, das Plancksche Wirkungsquantum. Dieses wird in $J\cdot s$ angegeben.

  • Gib zu dem jeweiligen Winkel den passenden Wellenlängenunterschied an.

    Tipps

    $\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 \cdot c}\cdot (1-cos(\varphi))$

    Je größer der Winkel, desto ... die Wellenlängenveränderung.

    Wie verhält sich der Kosinus bei: $0°<\varphi ° <180°$?

    Lösung

    Um diese Aufgabe zu lösen, kannst du mit der Formel $\Delta \lambda = \frac{h}{m_0 \cdot c}\cdot (1-cos(\varphi))$ für jeden Winkel die passende Wellenlänge berechnen.

    Jedoch weißt du eventuell aus der Mathematik, dass der Kosinus zwischen $0°$ und $180°$ von eins auf minus eins fällt. Durch den Term $(1-cos(\varphi))$ gilt wiederum: Je größer der Winkel, desto größer die Wellenlängenveränderung. Achtung: Diese Aussage gilt nur bei $0°<\varphi ° <180°$.

    Somit gilt folgende Zuordnung:

    $3,25\cdot 10^{-13}~m$ --> $\varphi = 30^°$

    $7,12\cdot 10^{-13}~m$ --> $\varphi = 45^°$

    $2,43\cdot 10^{-12}~m$ --> $\varphi = 90^°$

    $4,53\cdot 10^{-12}~m$ --> $\varphi = 150^°$.

  • Gib an, welche Aussage beim Compton-Effekt immer gilt.

    Tipps

    $\Delta \lambda = \lambda^* - \lambda$

    $\lambda$ ist die primäre Strahlung.

    $\lambda^*$ ist die Streustrahlung.

    Lösung

    Beim Compton-Effekt bestrahlt man ein Objekt mit monochromatischer Röntgenstrahlung der Wellenlänge $\lambda$. Dabei stellt man fest, dass die Streustrahlung je nach Streuwinkel eine höhere Wellenlänge $\lambda^*$ aufweist.

    Es gilt somit: $\lambda^* > \lambda$.

    Die Veränderung der Wellenlänge $\Delta \lambda$ ergibt sich aus der Differenz der beiden Wellenlängen: $\Delta \lambda = \lambda^* - \lambda$.

    Da $\lambda^* > \lambda$, gilt für $\Delta \lambda$: $\Delta \lambda \ge 0$.

  • Gib zur Wellenlängenveränderung $\Delta \lambda = 6,3\cdot 10^{-13}~m$ den passenden Winkel $\varphi$ an.

    Tipps

    Schreibe dir die gegebenen und gesuchten Größen auf.

    $\Delta \lambda = \Lambda_e \cdot (1-cos(\varphi))$

    Hast du das Ergebnis richtig gerundet?

    Lösung

    Um diese Aufgabe lösen zu können, schreiben wir zuerst die gegeben und gesuchten Größen auf, halten die Formel zur Berechnung fest, setzen die Zahlenwerte ein und formulieren einen Antwortsatz.

    Gegeben: $\Delta \lambda = 6,3\cdot 10{-13}~m$

    Gesucht: $\varphi$ in $°$

    Formel: $\Delta \lambda = \Lambda_e \cdot (1-cos(\varphi))$

    Diese Gleichung ist nun nach $\varphi$ umzustellen:

    $\varphi = arccos(1-\frac{\Delta \lambda}{\Lambda_e})$.

    Berechnung: $\varphi = arccos(1-\frac{\Delta \lambda}{\Lambda_e})=arccos(1-\frac{6,3\cdot 10{-13}~m}{2,43\cdot 10^{-12}~m})=arccos(0,74074)=42,2°$

    Antwortsatz: Der Winkel beträgt $42,2°$.

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