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Carnotscher Kreisprozess

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Die Autor*innen
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André Otto
Carnotscher Kreisprozess
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Carnotscher Kreisprozess

Inhalt

Was ist der Carnot-Prozess?

Der carnotsche Kreisprozess oder auch Carnot-Prozess gehört in der Physik zu den Kreisprozessen. Aber was ist ein Kreisprozess und was versteht man unter dem Carnot-Prozess? In diesem Text wird diese Frage beantwortet und der Carnot-Prozess wird einfach erklärt. Dazu betrachten wir zunächst Kreisprozesse im Allgemeinen, um dann auf die Besonderheiten des carnotschen Kreisprozesses einzugehen.


Was sind Kreisprozesse?

Kreisprozesse beschreiben die periodischen, thermodynamischen Zustandsänderungen eines Fluids, die meist in Wärmekraftmaschinen während ihrer Arbeit auftreten. Nach einem Umlauf wird stets der Ausgangszustand durchlaufen.

Kreisprozesse (manchmal auch: thermodynamische Kreisprozesse) werden in der Regel dazu benutzt, die Funktionsweise von Wärmekraftmaschinen zu veranschaulichen. Es gibt verschiedene Wärmekraftmaschinen, die Wärme in mechanische Energie umwandeln.

Mithilfe der Beschreibung als Kreisprozess kann man verschiedene Größen bestimmen:

  • Temperaturänderungen
  • Energieumwandlungen
  • Verrichtete Arbeit
  • Wirkungsgrad

Die Funktionsweise der Wärmekraftmaschine wird meist in einem Diagramm dargestellt, in dem der Druck $p$ über dem Volumen $V$ abgetragen wird. Eine vereinfachte Darstellung ist in der folgenden Grafik zu sehen.

Indikatordiagramm

Eine solche Darstellung wird als p-V-Diagramm oder Indikatordiagramm bezeichnet. Die Zahlen $1$ bis $4$ bezeichnen die thermodynamischen Zustände. Der Pfeil gibt die Richtung des Prozesses an.


Carnot-Prozess – Besonderheiten

Carnot entwickelte den nach ihm benannten Kreisprozess im Jahr $1824$. Der carnotsche Kreisprozess ist ein idealer Prozess. Das bedeutet, dass keine realen Energieverluste berücksichtigt werden – Einflüsse wie Reibung oder Undichtigkeiten werden vernachlässigt. Der carnotsche Kreisprozess ist dadurch reversibel. Ein solcher Prozess ist in der Realität nicht umsetzbar, es handelt sich also um ein Gedankenexperiment. Er veranschaulicht dabei den $2.$ Hauptsatz der Thermodynamik. Der maximale theoretische Wirkungsgrad wird in diesem Prozess mit $\eta_c$ beschrieben. Er wird auch thermischer Wirkungsgrad genannt.


Carnot-Prozess – Verlauf

Beim carnotschen Kreisprozess sind beide Richtungen möglich, da der Prozess reversibel ist. Im Folgenden wird der Prozess im Uhrzeigersinn betrachtet. Die folgende Grafik zeigt das $p$–$V$–Diagramm des Carnot-Prozesses.

Carnotscher_Kreisprozess

Die Zahlen $1$ bis $4$ beschreiben die thermodynamischen Zustände. Der Pfeil gibt die Richtung an, in der die Zustände abgelaufen werden. In diesem Fall verläuft der Prozess im Uhrzeigersinn. Die eingeschlossene Fläche entspricht der verrichteten Arbeit.

Im Zustand $1$ besitzt das Gas die Temperatur $T_1$, den höchsten Druck $p_1$ und das kleinste Volumen $V_1$ des Kreisprozesses. Beim Übergang von Zustand $1$ zu Zustand $2$ gibt es eine Vergrößerung des Volumens auf das Volumen $V_2$. Es findet eine isotherme Expansion statt. Isotherm bedeutet, dass die Temperatur konstant bleibt. Es muss also Wärme $Q$ hinzugefügt werden, damit sich das Volumen ändern kann, ohne dass sich die Temperatur ändert. Bei diesem Übergang wird Arbeit verrichtet und der Druck sinkt leicht.

Im Zustand $2$ wird die Wärmezufuhr gestoppt. Das Gas dehnt sich weiterhin aus. Das hat eine Temperaturabnahme zur Folge, da die innere Energie durch die verrichtete Arbeit abnimmt. Es kommt zu einer adiabatischen Expansion. Adiabatisch bedeutet, dass keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Im Zustand $3$ hat das Gas den geringsten Druck und das höchste Volumen $V_3$. Das Gas hat nun die Temperatur $T_2$ erreicht.

Im Übergang von Zustand $3$ zu Zustand $4$ findet eine isotherme Kompression statt. Das heißt, die Temperatur $T_2$ bleibt gleich, während sich das Volumen verringert. Der Druck steigt an. Für diesen Prozess muss Arbeit aufgewendet werden. Die dabei entstandene Wärme wird an die Umgebung abgegeben.

Der Übergang vom Zustand $4$ zum Zustand $1$ vollendet den Zyklus. Das Volumen wird weiter vermindert, bis es das Ausgangsvolumen $V_1$ erreicht hat. Wärme wird jedoch nicht weiter abgegeben, weshalb es zu einem Anstieg der inneren Energie und damit zu einem Temperaturanstieg von $T_2$ zu $T_1$ kommt. Es findet eine adiabatische Kompression statt.


Carnot-Prozess – verrichtete Arbeit

Die verrichtete Arbeit wird auch als abgegebene Arbeit bezeichnet. Sie ist wichtig, um den Wirkungsgrad $\eta$ der Wärmekraftmaschine zu berechnen. Die Gesamtarbeit $W_{ges}$ des Carnot-Prozesses ergibt sich aus den verrichteten Arbeiten der Teilprozesse.

$W_{ges} = W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41}$

Nach dem $1.$ Hauptsatz der Thermodynamik gilt:

$\Delta E = W + Q$

Die Änderung der inneren Energie $\Delta E$ ergibt sich aus der Summe aus ausgeführter bzw. abgegebener Arbeit $W$ und aufgenommener bzw. abgegebener Wärme $Q$. Für die beiden adiabatischen Schritte gilt $Q = 0$. Daher berechnet sich die Arbeit für diese Schritte jeweils aus den Differenzen der inneren Energie.

$W_{23} = E\left(T_2\right) - E\left(T_1\right)$

$W_{41} = E\left(T_1\right) - E\left(T_2\right)$

Diese beiden Prozesse gleichen sich gegenseitig aus. Ihre Summe ist $0$.

$W_{23} + W_{41} = 0$

Somit vereinfacht sich der Term für die Gesamtarbeit.

$W_{ges} = W_{12} + W_{34}$

Die beiden verbliebenen Teilprozesse sind isotherm, wodurch die Formel für die Volumenarbeit verwendet werden kann.

$W_{12} = R \cdot T_1 \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$

Dabei ist $R$ die allgemeine Gaskonstante.

$W_{34} = R \cdot T_2 \cdot \ln \frac{V_3}{V_4}$

Da zwischen Zustand $2$ und Zustand $3$ eine adiabatische Zustandsänderung stattfindet, gilt die folgende Gleichung ($1$).

$ (1) \quad T_1 \cdot V_2^{\kappa - 1} = T_2 \cdot V_3^{\kappa -1} $

Eine analoge Beziehung gilt bei dem Übergang von Zustand $4$ zu Zustand $1$.

$ (2) \quad T_2 \cdot V_4^{\kappa - 1} = T_1 \cdot V_1^{\kappa -1} $

Dabei steht $\kappa$ für die Adiabatenkonstante. Vertauschen wir die Seiten in der Gleichung ($1$), so erhalten wir die Gleichung ($1$a).

$ (1a) \quad T_2 \cdot V_3^{\kappa - 1} = T_1 \cdot V_2^{\kappa -1} $

Dividieren wir ($1$a) durch ($2$), so kürzen sich die Temperaturen heraus und wir erhalten:

$\frac{V_3^{\kappa - 1}}{V_4^{\kappa - 1}} = \frac{V_2^{\kappa -1}}{V_1^{\kappa -1}}$

Das können wir zusammenfassen als:

$\Bigl(\frac{V_3}{V_4}\Bigr)^{\kappa - 1} = \Bigl(\frac{V_2}{V_1}\Bigr)^{\kappa - 1}$

Durch das Ziehen der $(\kappa - 1)$-ten Wurzel ergibt sich:

$\frac{V_3}{V_4} = \frac{V_2}{V_1}$

Ersetzen wir $\frac{V_3}{V_4}$ durch $\frac{V_2}{V_1}$ in der Formel für $W_{34}$, dann erhalten wir:

$W_{34} = R \cdot T_2 \cdot \ln \frac{V_2}{V_1}$

Im Logarithmus vertauschen wir nun Zähler und Nenner und erhalten dadurch ein negatives Vorzeichen.

$W_{34} = - R \cdot T_2 \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$

Für $W_{ges}$ ergibt sich nun:

$W_{ges} = R \cdot T_1 \cdot \ln \frac{V_1}{V_2} - R \cdot T_2 \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$

Um die Formel zu vereinfachen, können wir $R \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$ ausklammern. Die Formel für die verrichtete Arbeit des Carnot-Prozesses lautet somit:

$ W_{ges} = \left(T_1 - T_2\right) \cdot R \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$


Carnot-Prozess – thermischer Wirkungsgrad

Wir untersuchen, welchen Wirkungsgrad die ideale Wärmekraftmaschine besitzt. Da wir sämtliche Verluste vernachlässigt haben, wird der Wirkungsgrad hoch sein. Er wird sogar eine theoretische Obergrenze darstellen, weil alle reellen Wärmekraftmaschinen Verluste aufweisen werden. Aber wie hoch ist er?

Der Wirkungsgrad unserer Wärmekraftmaschine ist der Quotient aus der verrichteten Arbeit $W_{ges}$ und der aufgenommenen Wärme $Q_{12}$.

$\eta = \frac{W_{ges}}{Q_{12}}$

Die verrichtete Arbeit haben wir im Abschnitt vorher bestimmt. Die aufgenommene Wärme ist gegeben durch:

$Q_{12} = T_1 \cdot R \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}$

Da sich die Temperatur von Zustand $1$ zu Zustand $2$ nicht ändert, die aufgenommene Wärme eine Volumenänderung zur Folge hat und Verluste vernachlässigt werden, entspricht die Wärme gerade der Volumenarbeit – deswegen können wir diese Formel verwenden.

Daraus ergibt sich für den Wirkungsgrad:

$\eta = \frac{\left(T_1 - T_2\right) \cdot R \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}}{T_1 \cdot R \cdot \ln \frac{V_1}{V_2}}$

Sowohl $R$ als auch der Logarithmus lassen sich herauskürzen.

$\eta = \frac{T_1 -T_2}{T_1}$

Daraus folgt, dass der Wirkungsgrad $\eta$ nur von $T_1$ und $T_2$ abhängig ist. Wir sehen, dass der Wirkungsgrad umso größer ist, je größer der Temperaturunterschied ist. Der Bruch $\frac{T_1 -T_2}{T_1}$ kann sich einem Wirkungsgrad von $1$ zwar annähern, ihn aber nicht erreichen. Das ginge nur, wenn $T_2$ null wäre – der absolute Nullpunkt der Temperatur ist aber nicht erreichbar. $\eta$ ist somit stets kleiner als $1$.

Die ideale Wärmekraftmaschine kann $\eta_c = 1$ niemals erreichen.

Dieses Video

In diesem Video lernst du den Carnot-Prozess und die wichtigsten Formeln zur Berechnung seines Wirkungsgrads kennen. Weitere Aufgaben und Beispiele zum Carnot-Prozess finden sich in den Übungen und Arbeitsblättern zum Thema auf dieser Seite.

Transkript Carnotscher Kreisprozess

Hallo und ganz herzlich willkommen zu diesem Video. Es heißt Carnot‘scher Kreisprozess. Du kennst den ersten Hauptsatz der Thermodynamik, Volumenarbeit, den Wirkungsgrad und Wärmekraftmaschinen. Nachher kannst du den Carnot‘schen Kreisprozess erläutern und seine Bedeutung erklären. Der Film besteht aus fünf Abschnitten. 1. Kreisprozesse. 2. Besonderheiten des Carnot’schen Prozesses. 3. Der prinzipielle Verlauf. 4. Die verrichtete Arbeit und 5. Der thermische Wirkungsgrad. 1. Kreisprozesse: Es gibt verschiedene Wärmekraftmaschinen. Ihre Funktionsweise wird in sogenannten Kreisprozessen veranschaulicht. Kreisprozesse beschreiben die thermodynamischen Zustände von Wärmekraftmaschinen während ihrer Arbeit. Als Ergebnisse kann man daraus entnehmen: Temperaturänderungen, Energieumwandlungen, die verrichtete Arbeit und schließlich den Wirkungsgrad. Die Funktionsweise der Wärmekraftmaschine wird dargestellt in einem Diagramm. Man trägt den Druck P über das Volumen V ab. Zum Beispiel so: Mit dem Pfeil kennzeichne ich die Richtung des Prozesses. Eine derartige Darstellung bezeichnet man als Indikatordiagramm. Häufig sieht ein solches Diagramm so aus: Mit 1 bis 4 bezeichne ich die thermodynamischen Zustände. Der grüne Pfeil gibt die Richtung des Prozesses an. In der Regel ist der Prozess reversibel. Er kann in beiden Richtungen ablaufen. 2. Besonderheiten des Carnot’schen Prozesses: Carnot entwickelte seinen berühmten Kreisprozess 1824. Der Carnot‘sche Kreisprozess ist ein idealer Prozess. ηc ist in diesem Prozess der maximale theoretische Wirkungsgrad, man sagt auch thermischer Wirkungsgrad. Im Prozess werden keine realen Energieverluste berücksichtigt. Der Prozess veranschaulicht den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Der Carnot’sche Prozess ist reversibel. Es ist ein Betrieb von Wärmepumpen als auch von Kältepumpen möglich. 3. Der prinzipielle Verlauf: Beide Richtungen sind möglich. Wir werden hier den Verlauf im Uhrzeigersinn betrachten. Zwecks Vereinfachung betrachten wir nur 1 mol Arbeitsgas. Das Indikatordiagramm nach Carnot sieht so aus. Durch 1 bis 4 werden die thermodynamischen Zustände beschrieben. Die Richtung ist im Uhrzeigersinn. Die eingeschlossene Fläche entspricht der verrichteten Arbeit. In einer Wärmekraftmaschine wird Wärme in mechanische Energie umgewandelt. Was passiert beim Übergang vom Zustand 1 zum Zustand 2? Das Volumen wird größer. Bei der Temperatur T1 findet eine Isotherme expansion statt. Zwischen den Zuständen 2 und 3 vergrößert sich das Volumen weiter. Es kommt zu einer adiabatischen Expansion. Der Wärmeaustausch mit der Umgebung ist 0. Die Temperatur sinkt von T1 auf T2. Zwischen den Zuständen 3 und 4 kommt es zu einer isothermen Kompression. Das Volumen vermindert sich. Die Temperatur hier ist T2. Der Übergang vom Zustand 4 zum Zustand 1 vollendet den Zyklus. Das Volumen wird weiter vermindert. Es kommt zur adiabatischen Kompression. Es findet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt. 4. Die verrichtete Arbeit: Man sagt dazu auch abgegebene Arbeit. Sie ist wichtig, um η, den Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine zu berechnen. Es ist offensichtlich, dass die Gesamtarbeit des Carnot’schen Prozesses die Summe der Arbeiten der einzelnen Teilschritte ist. Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ist die Änderung der inneren Energie eines Systems gleich der Summe aus auf- beziehungsweise abgegebener Arbeit und auf- beziehungsweise abgegebener Wärme. Für die beiden adiabatischen Schritte ist Q=0. Daher berechnet sich die Arbeit jeweils aus den Differenzen für die innere Energie. Und das ist eine feine Sache, denn W23 und W41 sind gleich, nur mit verschiedenen Vorzeichen. Daher ist ihre Summe 0. Das freut uns, denn der Term für die Gesamtarbeit wird stark vereinfacht. Wges ist die Summe der Teilarbeiten aus den Abschnitten 1, 2 und 3, 4. Beide Teilprozesse sind isotherm. Wir können die Formel für die Volumenarbeit verwenden. Die Ausdrücke für die Volumenarbeit, für W12 und W34 sehen so aus. Befriedigend ist es nicht, denn wir können wegen der vier Volumina die beiden Teilarbeiten nicht zusammenfassen. Doch auch hierfür gibt es eine Lösung zwischen 2, 3 und 4, 1 finden adiabatische Zustandsänderungen statt. Eine ähnliche Formel wie die folgende haben wir bereits erwähnt. Die folgende Formel nimm bitte einfach so ohne Beweis zur Kenntnis. Zwischen 2 und 3 gilt T1 * V1Kappa-1 = T2 * V3Kappa-1. Eine analoge Beziehung gilt beim Übergang von 4 zu 1. Kappa ist die Adiabatenkonstante. Bei 1 vertauschen wir die Seiten und erhalten 1a. Wir dividieren 1a durch 2, wodurch sich die Temperaturen herauskürzen. Wir erhalten die Gleichung unten rechts. Zähler und Nenner links und rechts können wir unter den gleichen Exponenten schreiben. Nun ziehen wir die Wurzel, natürlich die Kappa-1. Und übrig bleibt V3 / V4 = V2 / V1. Anstelle von V3 / V4 setzen wir nun V2 / V1 in die Gleichung für W34 ein. Im Logarithmus vertauschen wir Zähler und Nenner und erhalten ein negatives Vorzeichen. Somit ergibt sich Wges als Ausdruck zweier einfacher ähnlicher Teilterme. R * ln (V1 / V2) können wir ausklammern. Und davor steht dann in Klammern (T1 - T2). Wir haben somit die verrichtete Arbeit, auch abgegebene Arbeit, für den Carnot’schen Kreisprozess berechnet. Darauf können wir mit Recht stolz sein. 5. Der Thermische Wirkungsgrad: Eine ideale Maschine wie unsere Wärmekraftmaschine sollte eigentlich einen Wirkungsgrad η von 1 besitzen. Denn, nicht wahr, es gibt ja keinerlei Verluste. Ist das wirklich so? Warum dann das Ganze? Der Wirkungsgrad unserer Wärmekraftmaschine ist der Quotient aus abgegebener Arbeit und aufgenommener Wärme. η = Wges / Q12. Den Zähler haben wir im Abschnitt 4 bestimmt und der Nenner ist offensichtlich T1 * R * ln (V1 / V2). Es gibt einiges zu kürzen und wir erhalten η = (T1 - T2) / T1. Der Wirkungsgrad η hängt nur von T1 und T2 ab. Also ist η stets kleiner als 1. Man versieht η mit C, um auf den Carnot’schen Kreisprozess hinzuweisen. Und damit kommen wir zu einer fundamentalen Aussage der Thermodynamik. Die ideale Kraftmaschine kann den Wirkungsgrad ηc = 1 niemals erreichen. Tja, auch die Natur ist nicht immer perfekt. Das war ein weiterer Film von Andre Otto. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Toll erklärt, doch sprecht eta als ita aus. Danke

    Von Alex S., vor etwa 4 Jahren

Carnotscher Kreisprozess Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Carnotscher Kreisprozess kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse dein Wissen über Kreisprozesse zusammen.

    Tipps

    Abgebildet ist das Diagramm eines Kreisprozesses, genauer gesagt eines Carnot´schen Kreisprozesses.

    Lösung

    Kreisprozesse lassen sich sehr gut im Druck-Volumen- Diagramm veranschaulichen, auch Indikatordiagramm genannt (siehe Abbildung).

    Zu sehen sind in diesem Diagramm vier Zustände eines Systems (mit jeweils einem bestimmten Gasvolumen und Gasdruck), die in einer bestimmten Reihenfolge immer wieder durchlaufen werden können. Die Richtung ist dabei beliebig, solche Prozesse sind in der Regel reversibel. Hier ist ein Carnot´scher Kreisprozess gezeigt.

    Mit zusätzlichen Zahlenangaben lassen sich aus diesem Diagramm die Temperatur- und Energieänderungen der zu Grunde liegenden (idealen) Wärmekraftmaschine bestimmen sowie auch die von ihr geleistete Arbeit (Flächeninhalt) und ihr Wirkungsgrad.

  • Beschreibe den Verlauf des dargestellten Carnot´schen Kreisprozesses.

    Tipps

    Expansion oder Kompression? Sehe dir die Volumen- und Druckveränderungen im Diagramm an.

    Isotherm oder adiabatisch? Isotherme Zustandsänderungen sind durch eine konstante Temperatur gekennzeichnet, adiabatische Zustandsänderungen durch einen fehlenden Wärmeaustausch zwischen Gas und Umgebung.

    Lösung

    In einem Carnot´schen Kreisprozess gibt es insgesamt vier Zustände, die in der angegebenen Richtung und Reihenfolge immer wieder durchlaufen werden. Für den Ablauf im Uhrzeigersinn gilt:

    (1) - (2): Isotherme Expansion: Das Gas dehnt sich aus, sein Druck verringert sich. Dabei bleibt die Temperatur $T_1$ konstant. Der Graph ist eine Hyperbel.

    (2) - (3): Adiabatische Expansion: Das Gas dehnt sich stärker aus, sein Druck verringert sich weiter. Dabei wird keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht ($Q=0$). Der Graph ist eine Adiabate.

    (3) - (4): Isotherme Kompression: Das Gas verringert sein Volumen, sein Druck erhöht sich. Dabei bleibt die Temperatur $T_2$ konstant. Der Graph ist ebenfalls eine Hyperbel.

    (4) - (1): Adiabatische Kompression: Das Gas zieht sich weiter zusammen, sein Druck erhöht sich noch mehr. Dabei wird erneut keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht ($Q=0$). Der Graph ist ebenfalls eine Adiabate.

  • Erkläre den Verlauf des gezeigten Carnot´schen Kreisprozesses.

    Tipps

    Beachte die Richtungsänderung im dargestellten Carnot´schen Kreisprozess.

    Fahre die Linie gedanklich in Pfeilrichtung ab. Expandiert das Gas jeweils oder wird es komprimiert?

    Die Lage der Isothermen und der Adiabaten hat sich in Vergleich zum umgekehrten Prozess nicht verändert.

    Lösung

    Die Richtung dieses Carnot´schen Kreisprozesses verläuft gegen den Uhrzeigersinn. Dabei treten erneut zwei isotherme und zwei adiabatische Zustandsänderungen auf, allerdings in einer anderen Reihenfolge (siehe auch die Abbildung). So verläuft der dargestellte Prozess im Einzelnen:

    (1) - (2): Das Volumen des Gases nimmt zu, der Druck ab. Es expandiert. Die Expansion ist adiabatisch, das zeigt der Verlauf des Graphen. Es wird dabei keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht.

    (2) - (3): Das Volumen des Gases nimmt weiter zu, der Druck weiter ab. Die Expansion ist isotherm und erfolgt bei der festen Temperatur $T_2$. Das erkennt man auch an der Hyperbelform des Graphen.

    (3) - (4): Nun beginnt die Kompression des Gases, das Volumen nimmt ab und der Druck zu. Die Kompression ist adiabatisch.

    (4) - (1): Eine isotherme Kompression bei $T_1$ verringert das Volumen des Gases (und erhöht dessen Druck) soweit, dass der ursprüngliche Zustand (1) wieder hergestellt wird. Der Kreisprozess wurde einmal vollständig durchlaufen.

  • Berechne die verrichtete Arbeit und den Wirkungsgrad des gezeigten Carnot´schen Kreisprozesses..

    Tipps

    Die benötigten Temperaturen kannst du im Diagramm ablesen. Darüber hinaus benötigst du das Verhältnis $\frac {V_1} {V_2}$.

    Die verrichtete Arbeit erhältst du durch Einsetzen in die Formel: $W_{ges}=(T_1-T_2)\cdot R\cdot ln\frac {V_1} {V_2}$.

    Den Wirkungsgrad kannst du mit der Formel: $\eta_C=\frac {T_1-T_2} {T_1}$ berechnen.

    Gegeben: $T_1=600~K$, $T_2=400~K$, $R=8,31\frac {J} {mol\cdot K}$, $\frac {V_1} {V_2}=\frac 12$

    Lösung

    Gegeben:

    $T_1=600~K$ (Ablesen aus dem Diagramm)

    $T_2=400~K$ (Ablesen aus dem Diagramm)

    $R=8,31\frac {J} {mol\cdot K}$

    $\frac {V_1} {V_2}=\frac 12$ ($V_2$ ist doppelt so groß wie $V_1$)

    Gesucht: $W_{ges}$ und $\eta_C$

    Lösung:

    (1) Die verrichtete Arbeit berechnet sich mit der Formel:

    $W_{ges}=(T_1-T_2)\cdot R\cdot ln\frac {V_1} {V_2}=(600~K-400~K)\cdot 8,31\frac {J} {mol\cdot K}\cdot ln\frac 12=-1~200~J=-1,2~kJ$.

    (2) Der Wirkungsgrad bestimmt sich mit der Formel:

    $\eta_C=\frac {T_1-T_2} {T_1}=\frac {600~K-400~K} {600~K}=0,33$.

    Ein Mol Gas verrichtet im gegebenen Prozess eine Arbeit von rund -1,2 kJ. Der Wirkungsgrad liegt bei rund 0,3.

  • Benenne die wesentlichen Merkmale des Carnot´schen Kreisprozesses.

    Tipps

    Der dritte Hauptsatz der Thermodynamik bezieht sich auf die Nichterreichbarkeit des absoluten Nullpunktes.

    Eine Wärmepumpe transportiert thermische Energie von einem kühleren Reservoir zu einem wärmeren Reservoir, eine Kältepumpe hingegen umgekehrt.

    Lösung

    Der Carnot´sche Kreisprozess ist ein idealer Prozess. Er kann so in Form einer Maschine nicht realisiert werden.

    Der Carnot´sche Kreisprozess liefert mit $\eta_C$ den maximalen theoretischen (oder thermischen) Wirkungsgrad, den eine ideale Maschine unter den gegebenen Bedingungen in Abhängigkeit von den herrschenden Temperaturdifferenzen erreichen kann. Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik kann keine Wärmekraftmaschine einen größeren Wirkungsgrad erzielen als den Carnot´schen Wirkungsgrad $\eta_C$.

    Da die Bedingungen idealisiert sind, gibt es beim Carnot´schen Kreisprozess keine realen Energieverluste. Er ist reversibel, kann also im oder gegen den Uhrzeigersinn ablaufen. Mit dem Carnot´schen Kreisprozess können damit sowohl Wärme- als auch Kältepumpen betrieben werden.

  • Erkläre, weshalb der Wirkungsgrad eines Carnot´schen Kreisprozesses nicht gleich Eins sein kann.

    Tipps

    Argumentiere mit Hilfe der Formel für den Wirkungsgrad $\eta_C$.

    Lösung

    Der Wirkungsgrad eines Carnot´schen Kreisprozesses berechnet sich mit der Formel $\eta_C=\frac {T_1-T_2} {T_1}$.

    Soll der Wirkungsgrad gleich Eins sein, so müssen Zähler und Nenner identisch sein. Dies ist nur dann möglich, wenn die Temperatur $T_2$ gleich Null ist.

    Nach den dritten Hauptsatz der Thermodynamik kann jedoch der absolute Nullpunkt von $0~K$ nicht erreicht werden. Daher ist auch für einen Carnot-Prozess ein Wirkungsgrad von Eins nicht möglich.

    Der erreichbare Wirkungsgrad eines Carnot´schen Kreisprozesses ist übrigen umso größer, je höher die Temperaturdifferenz zwischen beiden Reservoirs ist.

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