2. newtonsches Axiom – Aktionsprinzip

Hallo und herzlich willkommen bei Physik mit Kalle. Wir wollen uns heute aus der Mechanik mit dem 2. Newtonschen Axiom beschäftigen. Für dieses Video solltet Ihr Euch bereits ein wenig mit den Formeln für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung auskennen und Ihr solltet wissen, was der Impuls ist. Wir lernen heute, wie das 2. Newtonsche Axiom lautet, was es genau bedeutet und wie das ganze an einer Beispielaufgabe aussieht. Das 2. Newtonsche Axiom besagt, die auf einem Körper wirkende Kraft F ist gleich seiner Impulsänderung  Δp geteilt durch die dafür benötigte Zeit  Δt. Es hat also die relativ einfache Formel:  F= Δp/Δt bzw. in der Vektorschreibweise. Der Vektor der Kraft F ist der Vektor der Impulsänderung  Δp geteilt durch  Δt. Dies ist also das 2. Newtonsche Axiom. Man nennt es auch das Aktionsprinzip. Wie wir wissen, ist der Impuls p=die Masse m × die Geschwindigkeit v eines Körpers (p=m×v). Das heißt, dass eine Impulsänderung durch eine Änderung der Masse oder der Geschwindigkeit entstehen kann. Welche Aussagen man damit man dann aus dem Aktionsprinzip ableiten kann. Das wollen wir uns im nächsten Kapitel ansehen. Wir haben uns grade aufgeschrieben, dass eine Impulsänderung durch eine Änderung der Masse oder der Geschwindigkeit eines Körpers zustande kommen kann. Natürlich gibt es Fälle, in denen sich die Masse m eines Körpers ändert. Denkt zum Beispiel mal an einen Raketenstart. In den allermeisten Fällen ist die Masse eines Körpers in der Mechanik aber konstant und mit dieser Voraussetzung kann ich folgende Aussage treffen: Die Änderung des Impulses Δp ist dann einfach die Masse × die Änderung der Geschwindigkeit Δv und damit ergibt sich für die Kraft F= m×Δv/Δt. Kommt euch Δv/Δt bekannt vor? Richtig, die Änderung der Geschwindigkeit / Zeit ist einfach die Beschleunigung a. Damit vereinfacht sich unsere Formel zu F=m×a. Kraft ist also Masse × Beschleunigung und dies nennt man die Grundgleichung der Mechanik. Diese Formel ist auch relativ einleuchtend. Je schwerer ein Körper ist, desto mehr Kraft brauche ich, um ihn auf die gleiche Beschleunigung zu bringen. Denkt mal zum Beispiel daran, wie viel mehr Kraft Ihr benötigt um einen Eisenball genauso weit zu werfen, wie einen Tennisball. Anders herum betrachtet, bedeutet das auch, je leichter ein Körper ist, desto größer ist die Beschleunigung, die die gleiche Kraft bei ihm verursacht. Denkt mal daran, wenn Ihr einen Tennisball und einen Tischtennisball hochwerft, um wie viel stärker der Tischtennisball vom Seitenwind abgelenkt würde. Wir wollen uns noch kurz einen Sonderfall dieses Gesetzes ansehen: Nehmen wir mal an, dass die Kraft F=0 ist. Dann ist also m×a=0 und da die Masse unseres Körpers konstant ist, bedeutet das, die Beschleunigung a muss 0 sein und aus der Kinematik wissen wir: Ist die Beschleunigung =0, so bleibt die Geschwindigkeit des Körpers konstant, er führt also eine gleichförmige Bewegung aus. Wir haben also gerade gezeigt, wirkt auf einen Körper keine Kraft, so bewegt er sich gleichförmig weiter und wenn Ihr Euch erinnert. Das ist genau das 1. Newtonsche Axiom. Es ist also, als Sonderfall, in der Grundgleichung der Mechanik enthalten. Im letzten Kapitel wollen wir nun eine kleine Beispielaufgabe rechnen: Ein Lastwagen, Masse m soll 15 t sein, erreicht aus dem Stand auf einer 2 km langen Strecke die Geschwindigkeit 100 km/h. Aufgabe a.) Wie groß ist die konstante Kraft, mit der der Motor den Wagen beschleunigt? Aufgabe b.) Nach dem Entladen wiegt der Lkw nur noch 3 t. Welche Geschwindigkeit würde er nun auf der 2 km langen Strecke erreichen?

Aufgabe a.): Wir schreiben erst einmal auf, was wir gegeben haben: Wir wissen, die Masse ist 15 t, also 15000 kg, die Strecke beträgt 15000 kg und die Geschwindigkeit v ist 100 km/h oder geteilt durch 3,6 = 27,8m/s. Es soll sich um eine konstante Kraft F handeln, und da sich die Masse des Wagens nicht verändert, muss also auch die Beschleunigung a konstant sein. Da der Wagen aus dem Stand losfährt, können wir also folgende beide Formeln benutzten:  s=½a×t² und v=a×t, Letzteres formen wir nach t um, sodass wir t=v/a erhalten und setzten es für das t² in der ersten Gleichung ein. Dadurch erhalten wir: s=½×a×v²/a². Dabei können wir ein a kürzen und dann nach a umstellen, heraus kommt: a=v²/2s. Wir setzen ein und erhalten: a=(27,8m/s)²/4000m und das ergibt 0,19m/s². Damit haben wir also die Masse und die Beschleunigung des Wagens und können endlich unsere Grundgleichung anwenden. Es ergibt sich: F=m×a und das ist F= 15000kg×0,19m/s³. Die Kraft, die der Motor ausübt, ist also laut unseres Taschenrechners 2,9 kN. Dann mal weiter zu Aufgabe b.): Unser Lastwagen ist nun entladen und wiegt bloß nur noch 3000 kg. Die Kraft, die der Motor zur Beschleunigung ausübt, ist aber die Gleiche. Wir können also unsere Grundgleichung umformen und sagen: a=F/m2. Einsetzten ergibt: a=2,9 kN/3000 kg oder 0,96 m/s². Nun können wir wieder unsere Formel von oben benutzen, wir müssen sie allerdings nach v umstellen. v=\sqrt2×a×s oder eingesetzt v=\sqrt(4000m×0,96m/s²). Das ergibt eine Geschwindigkeit v von 62,1 m/s oder mal 3,6= 223,6 km/h. Das ist ja viel zu viel, werdet Ihr sagen und da habt Ihr auch Recht. Bei dieser Aufgabe fehlt auch der Luftwiderstand, der bei einem Lkw schon ganz beträchtlich ist. Da wir dafür aber keine Angabe hatten, können wir es auch nicht ausrechnen. Was wir aber nicht vergessen, ist unser Antwortsatz: Der Motor beschleunigt den Wagen mit der Kraft F=2,9 kN. Unbeladen erreicht er auf der gleichen Strecke eine Geschwindigkeit von 223,6 km/h.

Wir wollen noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben: Die Kraft F auf einen Körper entspricht der Impulsänderung Δp geteilt durch die Zeit Δt, in der sie geschieht. Diese Regel ist das 2. Newtonsche Axiom, man nennt sie auch das Aktionsprinzip. Ist die Masse des Körpers konstant, dann kann ich folgende Vereinfachung des Aktionsprinzips verwenden: Die Kraft F ist gleich der Masse m eines Körpers mal der Beschleunigung a, die er durch F erfährt oder kurz gesagt: F=m×a und dies nennt man die Grundgleichung der Mechanik. Wir haben außerdem gesehen, dass diese Regel das Trägheitsprinzip, das 1. Newtonsche Axiom enthält. Ist die Kraft F=0, dann folgt, die Beschleunigung=0 und eine Bewegung bei der die Beschleunigung =0 ist, ist gleichförmig.

Das war es schon für heute. Ich hoffe, ich konnte Euch helfen. Vielen Dank für das Zuschauen. Vielleicht bis zum nächsten Mal, Euer Kalle.