Wie funktioniert eine Rakete? Der Raketenantrieb

Hallo und herzlich willkommen zu einem Video über den Raketenantrieb. Der Raketenantrieb ist ein eindrucksvolles Beispiel dafür, wie wir Menschen in der Lage sind, die fundamentalen Gesetze der Physik so wie zum Beispiel die Impulserhaltung für unsere Zwecke auszunutzen. Wie funktioniert nun eine Rakete und warum beschleunigt sie überhaupt? Dazu müssen wir zunächst die Impulserhaltung mit veränderlichen Massen verstehen. Die Masse der Rakete verändert sich nämlich, während sie Treibstoff verbrennt und das Abgas ausstößt. Wir werden uns nun der Einfachheit halber auf eine eindimensionale Bewegung beschränken. Die Rakete soll mit der Geschwindigkeit v relativ zur Erde senkrecht nach oben starten. Wir befinden uns also die ganze Zeit auf der nach oben gerichteten y-Achse. Wir nehmen an, dass der Treibstoff der Rakete mit konstanter Brennrate R verbrannt wird. Diese Brennrate ist ein Maß für die Masse, die die Rakete pro Zeit verbrennt. Dann ist die Masse der Rakete in Abhängigkeit der Zeit t m=m0-R×t. Das ist Gleichung 1. Wobei m0 die Anfangsmasse der Rakete ist, und zwar inklusive Treibstoff. Als unser System betrachten wir nun nur die Rakete inklusive unverbranntem Treibstoff. Wir nehmen an, dass das Abgas des verbrannten Treibstoffs relativ zur Rakete mit konstanter Geschwindigkeit ausgestoßen wird. Diese Geschwindigkeit nennen wir v rel für relativ. Wenn wir eine konstante Relativgeschwindigkeit haben, können wir Newtons 2. Axiom für kontinuierlich veränderliche Massen benutzen. Wie du vielleicht weißt, gilt das bekannte Gesetz F=m×a=m×(dv/dt) nur für Massen, die konstant bleiben. Wenn wir veränderliche Massen haben und noch dazu über die Relativgeschwindigkeit zwischen der Masse und der ausgestoßenen Masse Bescheid wissen, erweitert sich das Gesetz in einer Dimension zu F+(dm/dt)×v rel=m×(dv/dt). Das ist Gleichung 2. Dabei ist v rel wie erwähnt die Relativgeschwindigkeit zwischen m und dem ausgestoßenen infinitesimalen Gaselement dm. Und F eine externe Kraft, die auf das System wirkt. dm/dt ist die Änderung der Masse pro Zeit, das ist in unserem Fall -R. Und dv/dt ist die resultierende Beschleunigung, die auf die Rakete wirkt, was ja nichts anderes als die Änderung der Geschwindigkeit ist. Beachte, das im Vergleich zum alten 2. Newtonschen Gesetz nur der Term (dm/dt)v rel dazukommt, der Rest ist gleich. Die Herleitung dieser Gleichung gibt es in jedem guten Mechanikbuch. Ich zeige dir heute, wie man sie im Beispiel der Rakete benutzt. Beschäftigen wir uns mal kurz mit der externen Kraft. Bei einem Start einer Rakete müssen wir ja gegen das Gravitationsfeld ankämpfen. Nahe der Erde ist dieses näherungsweise F=-m×g. Das Minuszeichen kommt daher, weil die Kraft nach unten wirkt und unser Koordinatensystem sowie unsere Bewegung nach oben gehen soll. Leiten wir nebenbei Gleichung 1 noch nach t ab. dm/dt=-R, also die Änderung der Masse mit der Zeit ist gleich -R, und setzen das und die externe Kraft, die wir eben berechnet haben, in Gleichung 2 ein. Dann landen wir bei der sogenannten Raketengleichung. -m×g-R×v rel=m×(dv/dt). Der einzige Unterschied zwischen der Gleichung ohne veränderliche Massen ist der Term -R×v rel. Dieser Term -R×v rel ist die Kraft, die wegen dem ausgestoßenen Gas auf die Rakete wirkt. Sie treibt die Rakete voran, also nennt man sie auch Schubkraft. Diese Kraft ist für die Beschleunigung der Rakete weg von der Erde verantwortlich. Diese Gleichung wollen wir jetzt lösen. Teilen wir sie dazu zunächst durch m und setzen Gleichung 1 für m ein. dv/dt=(-R×v rel)/(m0-Rt)-g. Jetzt gibt es noch einen kleinen Punkt, der zu beachten ist. Das v rel ist ja eigentlich die y-Komponente des Vektors v rel. Da der Vektor v rel in die entgegengesetzte Richtung von v zeigt, ist, wenn v positiv sein soll, v rel negativ. Wir einigen uns jetzt aber darauf, dass v rel ab jetzt der Betrag der Austrittsgeschwindigkeit sein soll, und damit müssen wir ihn mit einem negativen Vorzeichen versehen. Das heißt aus dem Minus hier wird ein Plus und ab jetzt sind alle Geschwindigkeiten positiv. Diese Gleichung können wir lösen, indem wir auf beiden Seiten über die Zeit integrieren. V=∫o bis t über (R×v rel)/(m0-Rt)-g×dt=R/-R×v rel×ln(m0-Rt)-g×t, ausgewertet an 0 und t. Und das ergibt v=-v rel×ln(m0-Rt)-g×t+v rel×ln(m0) ist gleich v rel×ln(m0/m0-Rt)-g×t. Das ist also die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit. Wir können die Geschwindigkeit der Rakete also beschreiben als Funktion der Ausstoßgeschwindigkeit v rel, der Zeit und das Verhältnis von Anfangs- zu Endmasse. Bemerkenswert ist außerdem, dass Geschwindigkeiten der Rakete erreicht werden können, die über der Ausstoßgeschwindigkeit des Gases liegen. Im Video: Eine Rakete hebt ab werden wir mit dieser Formel einige interessante Sachen über eine Rakete berechnen. Damit bedanke ich mich und bis zum nächsten Mal.