Drehmoment
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Grundlagen zum Thema Drehmoment
Drehmoment – Definition
Das Drehmoment kann man mithilfe einer Schraube erklären, die in eine Wand eingedreht wird. Das Drehmoment der Schraube ist ein Maß für die Festigkeit der Schraube in der Wand.
Um die Schraube fester zu drehen, kann man entweder eine größere Kraft zum Drehen aufwenden oder einen längeren Hebelarm bei dem Schraubendreher. Das Drehmoment hat immer eine Drehrichtung, die sich aus der Richtung der Kraft, der Lage des Hebelarms und dem Drehpunkt ergibt.
Das Drehmoment ist für die Drehbewegung das, was für die geradlinige Bewegung die Kraft ist.
Drehmoment - einfach erklärt
Um die Frage „Was ist Drehmoment?“ zu beantworten, betrachten wir zuerst zweiseitige Hebel, dann einseitige Hebel und das Hebelgesetz. Ein Hebel besteht aus zwei Kraftarmen und einem gemeinsamen Drehpunkt. Die Hebelwirkung macht man sich in vielen alltäglichen Situationen zunutze, z.B. bei einer Schubkarre oder einem Korkenzieher.
Ein Beispiel eines zweiseitigen Hebels ist die Wippe auf einem Spielplatz. Um die Wippe im Gleichgewicht zu halten, muss die schwerere Person näher am Drehpunkt sitzen als die leichtere Person. Die beiden Hebelarme sind hier die Abstände zwischen dem Drehpunkt und den beiden Personen. Dort, wo eine Person sitzt, greift die Gewichtskraft senkrecht zum Hebelarm an.
Um mit einer Wippe einen einseitigen Hebel darzustellen, befinden sich beide Personen auf derselben Seite des Drehpunktes. Die eine Person sitzt auf dem Arm der Wippe, die andere Person hält die Wippe im Gleichgewicht. Hier wirken die Gewichtskraft der sitzenden Person und die Haltekraft der stehenden Person in verschiedene Richtungen. Die Haltekraft, die die stehende Person aufbringen muss, hängt von der Position der sitzenden Person ab.
Drehmoment – Hebelgesetz
Aus der Darstellung des einseitigen oder zweiseitigen Hebels mit einer Wippe lässt sich das Hebelgesetz ableiten: Die Wippe ist genau dann im Gleichgewicht, wenn das Produkt aus der Gewichtskraft $F$ und dem Hebelarm $r$ bei beiden Personen gleich ist.
Das Hebelgesetz kann also mit der folgenden Formel ausgedrückt werden:
$F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2$
Drehmoment – Formel
Das Drehmoment $M$ ist das Produkt der senkrecht an einem Hebelarm angreifenden Kraft $F$ und der Länge $r$ des Hebelarms:
$M = F \cdot r$
Drehmoment – Einheit
Die Einheit für das Drehmoment $M$ ist das Produkt der Einheit Newton für die Kraft $F$ und der Einheit Meter für den Hebelarm $r$:
$[M]=1~Nm$
Die Einheit des Drehmomentes heißt daher Newtonmeter.
Die Frage „Was bedeutet Nm?“ kann man auf zwei verschiedene Arten beantworten: Einerseits ist $Nm$ die Einheit des Drehmomentes, nämlich dann, wenn die Kraft $F$ senkrecht an dem Hebelarm $r$ ansetzt. Andererseits ist $Nm$ auch die Einheit der Arbeit, die eine Kraft $F$ längs eines Weges $r$ leistet. Das Drehmoment verrichtet keine Arbeit, da die Kraft nicht parallel zu dem Weg gerichtet ist.
Nicht senkrechte Krafteinwirkung
Wenn die Kraft nicht senkrecht zum Hebelarm wirkt, dann wirkt für das Drehmoment nur der Anteil der Kraft, der senkrecht zum Hebelarm steht.
Wenn also zwischen Kraft $F$ und dem Hebelarm $r$ der Winkel $0 < \alpha < 90^\circ$ liegt, so ist das Drehmoment
$M=F\cdot r \cdot \sin\alpha$
Drehmoment berechnen
Ist eine Wippe im Gleichgewicht, so sind die beiden Drehmomente gleich groß und haben entgegengesetzte Drehrichtungen: Die Gewichtskraft der Person auf der linken Seite der Wippe erzeugt ein Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn, die Gewichtskraft der Person rechts ein Drehmoment im Uhrzeigersinn. Die Wippe ist genau dann im Gleichgewicht, wenn beide Drehmomente einander ausgleichen. Das kann man mit der Drehmoment-Formel ausdrücken, die genau dem Hebelgesetz entspricht:
$F_1 \cdot r_1 = M_1 = M_2 = F_2 \cdot r_2$
Wir betrachten als Beispiel noch einmal die Wippe.
Das Kind habe die Masse $m_2=30~\text{kg}$ und sitze im Abstand $r_2=2~\text{m}$ vom Drehpunkt der Wippe. Wo muss der Erwachsene der Masse $m_1= 80~\text{kg}$ sitzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?
Im Gleichgewicht sind beide Drehmomente gleich, es gilt also: $M_1=M_2$.
Um die Aufgabe lösen zu können, benötigen wir Kräfte, haben aber nur Massen gegeben. Wir nehmen an, dass sich die Wippe auf der Erde befindet, sodass wir mit Hilfe des Ortsfaktors berechnen können, welche Gewichtskraft die beiden Massen ausüben.
Es gilt: $F_\text{G}=10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}} \cdot m$
In unserem Falle gilt also:
$F_1= 10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot 80~\text{kg}=800~\text{N}$
$F_2=10~\dfrac{\text{N}}{\text{kg}}\cdot 30~\text{kg}=300~\text{N}$
Dann gilt im Gleichgewicht also:
$M_1=M_2$
$F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2$
$800~\text{N} \cdot r_1 = 300 ~\text{N} \cdot 2~\text{m}$
Wir formen nach $r_1$ um.
$800~\text{N} \cdot r_1 = 300 ~\text{N} \cdot 2~\text{m}~\vert:~800~\text{N}$
$r_1=\dfrac{300~\text{N} \cdot 2~\text{m}}{800~\text{N}}$
$r_1=0,75~\text{m}$
Der Erwachsene müsste also $75~\text{cm}$ von der Drehachse entfernt Platz nehmen.
Drehmoment – Richtungsbestimmung
Das Drehmoment ist streng genommen eine vektorielle Größe mit einer Richtung. Dieser Vektor steht senkrecht auf der Kraft und senkrecht auf dem Kraftarm, sein Betrag entspricht der Größe des Drehmoments.
Rechte-Hand-Regel
Wenn wir bei der rechten Hand Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger so halten, dass sie jeweils rechte Winkel bilden, dann entsprechen diese den physikalischen Größen nach folgendem Schema:
der Daumen: Richtung des Kraftarms (vom Drehpunkt aus)
der Zeigefinger: Richtung der Kraft
der Mittelfinger: Richtung des Drehmoments
Mathematisch wird dies durch folgenden Zusammenhang ausgedrückt:
$\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}$
Praktischerweise kann man mit der rechten Hand auch die Drehrichtung bestimmen. Wenn der Daumen der rechten Hand in Richtung des Drehmoments zeigt, zeigen die gekrümmten Finger in Drehrichtung.
Drehmoment – Messung
Die Festigkeit einer Schraubverbindung kann man mit dem Drehmoment ausdrücken. Ein Drehmoment-Schlüssel ist ein Schraubwerkzeug, bei dem das Drehmoment genau eingestellt werden kann. Zur Drehmomentmessung verwendet man einen Drehmomentsensor. Solche Sensoren werden z.B. in Akkuschraubern oder in e-Bikes verbaut.
Drehmoment – Zusammenfassung
Das Drehmoment beschreibt die Wirkung einer Kraft auf ein drehbares Objekt. Dabei ist die Wirkung umso größer, je größer die angreifende Kraft $F$ ist und je größer der Abstand $r$ zwischen Angriffspunkt und Drehachse (Hebelarm oder Kraftarm) ist.
Falls die Kraft senkrecht auf dem Hebelarm steht, gilt: $M=F \cdot r$
Die Einheit des Drehmoments ist Newtonmeter. $[M]=1~\text{Nm}$
Das Drehmoment M ist eine vektorielle Größe. $\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}$
Häufig gestellte Fragen zum Drehmoment
Transkript Drehmoment
Hallo und herzlich willkommen zu meinem Lernvideo. Ich bin Niklas und werde euch heute das Drehmoment erklären. Ich wünsche euch nun viel Spaß beim Zuschauen. Um das Drehmoment wirklich zu verstehen, ist es notwendig folgende physikalische Eigenschaften und Gesetz zu erklären. 1. Der zweiseitige Hebel. 2. Der einseitige Hebel. 3. Das daraus resultierende Hebelgesetz. Und wenn ihr das verstanden habt, sollte euch schnell klar werden, was genau das Drehmoment ist. Hebel helfen uns durch wenig Kraftaufwand viel Kraft zu erzeugen. Hier seht ihr ein paar nützliche Gegenstände, wo wir das ausnutzen. Unter einem Hebel versteht man in der Physik einen Kraftwandler, bestehend aus zwei Hebelarmen und einem gemeinsamen Drehpunkt. Der zweiseitige Hebel wird euch bestimmt von der Wippe bekannt sein. Um die Wippe im Gleichgewicht zu halten, muss dabei die schwerere Person weiter zum Drehpunkt rutschen. Oder aber die leichtere Person rutscht von diesem weg. Die Hebelarme sind nun die Abstände zwischen Drehpunkt und den angreifenden Kräften. In diesem Beispiel sind die angreifenden Kräfte die Gewichtskräfte der Personen rechts und links der Wippe. Aus der Wippe lässt sich auch ein einseitiger Hebel darstellen. Beide Personen befinden sich dazu auf derselben Seite. Die eine Person sitzt weiterhin auf der Wippe und die zweite Person hält die Wippe, sodass diese wieder im Gleichgewicht ist. Die von den Personen ausgehenden Kräfte sind nun entgegengerichtet. Also die Gewichtskraft der sitzenden Person zeigt in die entgegengesetzte Richtung der Haltekraft, die die stehende Person aufwenden muss. Aus der Wippendarstellung von einseitigem oder zweiseitigem Hebel können wir nun das Hebelgesetz formulieren. Die Gewichtskraft F1 der Person eins mal dem Hebelarm r1 ist gleich der Gewichtskraft F2 der Person zwei mal dem Hebelarm r1. Dies gilt aber nur in Gleichgewichtslage der Wippe. Soweit klar? Dann kommen wir nun endlich zur Erklärung und Definition des Drehmoments. Wer schon einmal eine Schraube in eine Wand oder ähnliches gedreht hat, wird bemerkt haben, dass zum Ende hin eine größere Kraft nötig ist, um die Schraube weiter zu drehen. Hier kann man sagen, das Drehmoment der Schraube nimmt zu. Um das Drehmoment der Schraube weiter zu vergrößern, kann man entweder mehr Kraft aufwenden und/oder einen längeren Hebelarm verwenden. Mit einem längeren Hebelarm seid ihr bei gleichem Kraftaufwand in der Lage das Drehmoment der Schraube weiter zu vergrößern und ihr erreicht somit einen festeren Sitz der Schraube in der Wand. Am Beispiel der Schraube ist gut zu erkennen, dass das Drehmoment eine Drehrichtung hat. In diesem Fall folgt die Drehrichtung dem Uhrzeigersinn. Wir können das Drehmoment mit folgender einfacher Formel nun berechnen. Das Drehmoment M ist gleich der wirkenden Kraft F am Hebelarm mal der Länge des Hebelarms r: M = Fr. Die Einheit setzt sich zusammen aus Newton mal Meter. Folglich heißt die Einheit für das Drehmoment M Newtonmeter (Nm). Wo steckt nun das Drehmoment bei der Wippe? Stellt euch nun beide Wippenseiten als getrennt vor. Im Drehpunkt, also dort, wo die Drehmomente durch die angreifenden Kräfte entstehen, ergibt sich für die linke Person eine Drehrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn und für die rechte Person eine Drehrichtung mit dem Uhrzeigersinn. Die Wippe ist genau dann im Gleichgewicht, wenn die Drehmomente, welche eine entgegengesetzte Drehrichtung haben, gleichgroß sind, sich also gerade ausgleichen. M1 ist also gleich M2 (M1 = M2. Nun hoffe ich, dass ihr folgende Definition des Drehmoments verstehen könnt. Wirkt eine Kraft F senktrecht auf einen Hebelarm r, so ergibt sich der Betrag des Drehmoments aus der Kraft F multipliziert mit dem Hebelarm r. Vielleicht ist euch ja aufgefallen, dass die Einheit des Drehmoments, Newton mal Meter, also Newtonmeter, dieselbe Einheit wie für die Energie ist, eben auch Newtonmeter. Der Unterschied ist aber, dass die Kraft beim Drehmoment senkrecht auf den Hebelarm wirkt und daher keine Arbeit verrichtet wird. Bei Energie, beziehungsweise Arbeit, zeigen Kraft und Weg in dieselbe Richtung. Wir fassen nun zusammen, was wir heute gelernt haben: Wir haben die Unterschiede zwischen einseitigem und zweiseitigem Hebel kennengelernt und wissen nun, dass es dabei lediglich auf die Anordnung der Hebelarme ankommt. Wir haben das Hebelgesetz abgeleitet, welches lautet: F1r1 = F2r2. Und natürlich haben wir das Drehmoment kennengelernt, mit der einfachen Formel: M = Fr, und der Einheit Newtonmeter (Nm). So, ich hoffe nun, ich konnte euch heute klar machen, was es mit dem Drehmoment auf sich hat. Macht es gut, euer Niklas.
Drehmoment Übung
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Fasse dein Wissen über Hebel zusammen.
TippsHier geht es um die zentralen Begriffe zum Thema Hebel und um das Hebelgesetz.
Achte auf die richtige Verwendung der Fachsprache.
LösungHebel finden sich an sehr vielen Stellen in unserem Alltag, manchmal sind sie gar nicht auf den ersten Blick zu erkennen. Sie werden verwendet, um den Kraftaufwand für bestimmte Tätigkeiten zu reduzieren, zum Beispiel beim Öffnen einer Flasche mit dem Korkenzieher, beim Transportieren schwerer Lasten mittels Schubkarre oder beim Öffnen und Schließen von Türen mit Klinke.
Hebel sind Kraftwandler, die immer aus zwei Hebelarmen mit einem gemeinsamen Drehpunkt bestehen. Bei einem einseitigen Hebel liegen die beiden Hebelarme zusammen auf einer Seite des Drehpunktes, beim zweiseitigen Hebel auf unterschiedlichen Seiten.
Das gezeigte Beispiel ist ein zweiseitiger Hebel. Die Mädchen sitzen auf unterschiedlichen Seiten der Wippe. Die Begriffe Hebelarm, Drehpunkt und Gewichtskraft sind im Lösungsbild noch einmal verdeutlicht. Da die Mädchen gleich weit vom Drehpunkt entfernt sitzen, sind beide Hebelarme gleich lang. Da sie außerdem (fast) gleich schwer sind, befindet sich die Wippe im Gleichgewicht.
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Definiere den Begriff Drehmoment.
TippsDas Drehmoment wird hier über eine Formel definiert.
Die Formelzeichen helfen dir beim Ausfüllen. Die Bedeutung von F und r kennst du von der Beschreibung des Hebels.
LösungDie Definition des Drehmomentes M basiert auf der gezeigten Formel. Die Kraft F wirkt dabei auf den Hebelarm r. Drehmomente besitzen demnach die Einheit N/m. Um ein Drehmoment zu beschreiben, musst du neben dem berechneten Wert auch die Drehrichtung angeben.
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Wende das Hebelgesetz an, um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen.
TippsHier gibt es für die rechte Seite immer nur eine passende Lösung.
Beachte die Abstände der Löcher untereinander und ihre Abstände zum Drehpunkt bei der Dreiecksspitze.
Entscheide intuitiv oder verwende das Hebelgesetz zur Lösung.
LösungA und F, B und E sowie C und D sind gleich weit vom Drehpunkt entfernt. Die einfachste Möglichkeit zur Herstellung eines Gleichgewichts ist, das gleiche Gewicht in derselben Entfernung zum Drehpunkt anzubringen wie bei Beispiel 2 und 3. Nach dem Hebelgesetz sind dann die beiden Hebelarme gleich lang. Daher muss auf beiden Seiten dieselbe Gewichtskraft wirken, um ein Gleichgewicht zu erhalten.
Liegt das passende Gegengewicht nicht vor, muss auf der rechten Seite ein anderes Gewicht in einem anderen Loch angebracht werden. Dann sind die Hebelarme unterschiedlich lang. Die Gewichtskräfte müssen dann im passenden Verhältnis wirken. Allgemein gilt: Am kürzeren Hebelarm hängt das größere Gewicht.
Ist der Hebelarm auf der linken Seite doppelt so lang wie rechts, muss das Gewicht auf der rechten Seite doppelt so groß sein wie links (Beispiel 5). Beträgt der Hebelarm auf der linken Seite nur ein Drittel des Hebelarms rechts, darf das Gewicht auf der rechten Seite nur ein Drittel des Gewichtes links betragen (Beispiel 4).
Im Beispiel 6 ist der linke Hebelarm nur $\frac {2} {3}$ so lang wie der rechte. Daher muss das rechte Gewicht $\frac {2} {3}$ des linken Gewichts betragen.
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Ermittle das passende Drehmoment, um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen.
TippsBestimme zunächst mit Hilfe der Abbildung die Hebelarme und die Gewichtskräfte von Massestück A und C. Verwende folgende Faustregel: 100 g entsprechen ungefähr einem Newton.
Bilde und addiere die Produkte aus Hebelarm und Gewichtskraft von A und C, um das Gesamtdrehmoment des linken Hebelarms zu ermitteln.
Stelle die Formel für das Drehmoment des rechten Hebelarms auf und forme sie nach der gesuchten Gewichtskraft um.
LösungSoll sich die Waage im Gleichgewicht befinden, müssen die Drehmomente von beiden Hebelseiten gleich groß sein. Die Gewichtskräfte wirken jeweils Richtung Erdboden und halten dann den zweiseitigen Hebel im Gleichgewicht.
Das Drehmoment M von der linken Seite beträgt 0,125 Nm. Es wird berechnet, indem man das Produkt aus Gewichtskraft F und Hebelarm r von beiden Massestücken addiert. Dabei gilt für den Zusammenhang zwischen Masse und Gewichtskraft, dass 100 g ungefähr einer Kraft von einem N entsprechen.
Um durch die rechte Seite ein vergleichbares Drehmoment zu erzeugen, ist eine Gewichtskraft von 1,25 N notwendig. Dieses Ergebnis erhält man durch Umformen der Gleichung für das Drehmoment, da ja die Gewichtskraft gesucht ist. Dies entspricht einem Massestück mit 125 g.
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Beschreibe die folgende Formel.
TippsWas wird mit dieser Formel berechnet?
Welche Größen benötigst für die Berechnung dieser Größe?
LösungGezeigt ist die Formel, mit deren Hilfe du die Größe des Drehmomentes M berechnen kannst. Dafür benötigst du die Größe der Kraft F, die senkrecht auf den Hebelarm r wirkt sowie die Länge des Hebelarms r. Um das wirkende Drehmoment ausreichend zu beschreiben, muss außerdem die Drehrichtung angegeben werden.
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Erkläre, wie sich das Drehmoment in Zahnradgetrieben verändert.
TippsWelche beiden Größen sind relevant zur Bestimmung des Drehmomentes? Welche spielt hingegen keine Rolle?
Die Kraft wirkt an der Kontaktstelle der beiden Zahnräder. Sie ändert sich nicht.
Wo "verstecken" sich demnach die Hebelarme der beiden Zahnräder?
LösungIm Zahnrad "versteckt" sich jeweils ein Hebel. Mit dessen Eigenschaften lässt sich auf das Drehmoment schließen. Der Hebelarm eines Zahnrads befindet sich zwischen dessen Mittelpunkt und der jeweiligen Kontaktstelle zum anderen Zahnrad an der Außenseite. Dort wirkt jeweils eine für beide Zahnräder einheitliche Kraft. Der Hebelarm ist also so groß wie der Zahnradradius. Das Drehmoment ist proportional zur Länge des Hebelarms. Je länger der Hebelarm, also je größer das Zahnrad, desto größer ist auch das wirkende Drehmoment. Greifen zwei Zahnräder ineinander, ist das Drehmoment am kleineren Zahnrad geringer als am größeren. Die Anzahl der Zähne spielt hingegen keine Rolle für die Größe des Drehmomentes.
Was ist der Impuls?
Impuls (Einführung)
Inelastischer Stoß
Zentrale und nicht zentraler elastischer Stoß
Total elastischer Stoß
Elastischer und inelastischer Stoß (Übungsvideo)
Impulserhaltungssatz
Impulserhaltung in mehreren Dimensionen
Wie funktioniert eine Rakete? Der Raketenantrieb
Raketengleichung
Drehimpuls
Drehmoment (Übungsvideo)
Drehmoment
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