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Drehmoment

Das Drehmoment erklärt die Wirkung eines Hebels. Das Hebelgesetz besagt, dass der Hebel im Gleichgewicht ist, wenn das Produkt aus Kraft und Hebelarm gleich ist. Das Drehmoment kann mit der Formel M = F * r berechnet werden. Es wird in Newtonmeter gemessen und ist ein Maß für die Festigkeit einer Schraube. Lerne, wie ein Drehmoment-Schlüssel und Drehmomentsensoren verwendet werden!

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Die Autor*innen
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Niklasboller
Drehmoment
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Grundlagen zum Thema Drehmoment

Drehmoment – Definition

Das Drehmoment kann man mithilfe einer Schraube erklären, die in eine Wand eingedreht wird. Das Drehmoment der Schraube ist ein Maß dafür, wie fest die Schraube in der Wand verschraubt ist.

Um die Schraube fester zu drehen, kann man entweder eine größere Kraft zum Drehen aufwenden oder einen längeren Hebelarm beim Schraubendreher nutzen. Das Drehmoment hat immer eine Drehrichtung, die sich aus der Richtung der Kraft, der Lage des Hebelarms und dem Drehpunkt ergibt.

Das Drehmoment ist definiert als Produkt aus Kraft und Hebelarm. Eine Kurzbeschreibung des Drehmoments lautet wie folgt:

Das Drehmoment $M$ ist für die Drehbewegung das, was für die geradlinige Bewegung die Kraft $F$ ist.

Der besondere Unterschied ist, dass bei der Betrachtung des Drehmoments $M$ die Kraft $F$ und der Hebelarm $r$ senkrecht zueinander stehen, während bei der geradlinigen Bewegung Kraft und Bewegungsrichtung in die gleiche Richtung zeigen, also parallel sind.

Drehmomentder Schraube

Drehmoment – einfach erklärt

Um die Bedeutung des Drehmoments zu erklären, betrachten wir zuerst zweiseitige Hebel, dann einseitige Hebel und schließlich das Hebelgesetz. Ein Hebel besteht aus zwei Kraftarmen und einem gemeinsamen Drehpunkt. Die Hebelwirkung macht man sich in vielen alltäglichen Situationen zunutze, z. B. bei einer Schubkarre oder einem Korkenzieher.

Ein Beispiel eines zweiseitigen Hebels ist die Wippe auf einem Spielplatz. Um die Wippe im Gleichgewicht zu halten, muss die schwerere Person näher am Drehpunkt sitzen als die leichtere Person. Die beiden Hebelarme sind hier die Abstände $a$ und $b$ zwischen dem Drehpunkt und den beiden Personen. Dort, wo eine Person sitzt, greift die Gewichtskraft der Person senkrecht zum jeweiligen Hebelarm an.

eine Wippe als zweiseitiger Hebel

Um mit einer Wippe einen einseitigen Hebel darzustellen, müssen beide Personen auf derselben Seite des Drehpunktes befinden. Die eine Person sitzt auf dem Arm der Wippe, die andere Person hält die Wippe auf derselben Seite fest und damit im Gleichgewicht. Hier wirken die Gewichtskraft der sitzenden Person und die Haltekraft der stehenden Person in verschiedene Richtungen. Die Haltekraft, die die stehende Person aufbringen muss, hängt von der Position der sitzenden Person (und ihrer Gewichtskraft) ab.

eine Wippe als einseitiger Hebel

Mithilfe dieser Betrachtungen können wir nun das Hebelgesetz formulieren.

Drehmoment – Hebelgesetz

Aus der Darstellung des einseitigen oder zweiseitigen Hebels mit einer Wippe lässt sich das Hebelgesetz ableiten: Die Wippe ist genau dann im Gleichgewicht, wenn das Produkt aus der Gewichtskraft $F$ und dem Hebelarm $r$ bei beiden Personen gleich ist.

Hebelgesetz Kraft Hebelarm

Das Hebelgesetz kann also mit der folgenden Formel ausgedrückt werden:

$F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2$

Drehmoment – Formel

Das Hebelgesetz hängt eng mit der Formel für das Drehmoment zusammen, denn jeder Punkt auf einem Hebelarm, der sich bewegt, hat ein Drehmoment.

Das Drehmoment $M$ ist das Produkt der senkrecht an einem Hebelarm angreifenden Kraft $F$ und der Länge $r$ des Hebelarms:

$M = F \cdot r$

Eine einfache Formulierung des Hebelgesetzes lautet damit:
Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn sich die Drehmomente aller Punkte auf den Hebelarmen ausgleichen.
Da die Balken einer Wippe üblicherweise links und rechts gleich groß und gleich schwer sind, reicht die Betrachtung der Personen bzw. ihrer Gewichtskräfte $F_1$ und $F_2$ an den jeweiligen Positionen $r_1$ und $r_2$ aus, um das Hebelgesetz einer Wippe zu formulieren. Die Drehmomente $M_1 = F_1 \cdot r_1$ und $M_2 = F_2 \cdot r_2$ müssen also gleich groß sein, damit die Wippe im Gleichgewicht ist.

Drehmoment – Einheit

Die Einheit für das Drehmoment $M$ ist das Produkt der Einheit Newton $\left( \text{N} \right)$ für die Kraft $F$ und der Einheit Meter $\left( \text{m} \right)$ für den Hebelarm $r$:

$[M]=1~\text{Nm}$

Die Einheit des Drehmomentes heißt daher Newtonmeter.

Hierzu wollen wir noch eine wichtige Betrachtung festhalten: Einerseits ist $\text{Nm}$ die Einheit des Drehmomentes $M$, andererseits ist $\text{Nm}$ auch die Einheit der (mechanischen) Arbeit $W$.
Hier müssen wir die Unterscheidung beachten, dass bei der Betrachtung des Drehmoments die Kraft $F$ senkrecht am Hebelarm $r$ ansetzt. Damit Arbeit verrichtet wird, muss eine Kraft $F$ jedoch längs eines Weges $r$ (oder $s$) wirken. Durch das Drehmoment wird also keine Arbeit verrichtet, da die Kraft nicht parallel zum Weg gerichtet ist.

Nicht-senkrechte Krafteinwirkung

Wenn die Kraft nicht exakt senkrecht zum Hebelarm wirkt, dann wirkt für das Drehmoment nur der Anteil der Kraft, der senkrecht zum Hebelarm steht.
Wenn also die Kraft $F$ zum Hebelarm $r$ in einem Winkel $\alpha$ steht und $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ gilt, dann beträgt das Drehmoment:

$M=F\cdot r \cdot \sin\alpha$

Mit dieser Formel lässt sich auch dann ein Drehmoment berechnen, wenn Kraft und Hebelarm nicht exakt senkrecht zueinander stehen.

Drehmoment berechnen

Ist eine Wippe im Gleichgewicht, so sind die beiden Drehmomente gleich groß und haben entgegengesetzte Drehrichtungen: Die Gewichtskraft der Person auf der linken Seite der Wippe erzeugt ein Drehmoment gegen den Uhrzeigersinn, die Gewichtskraft der Person rechts ein Drehmoment im Uhrzeigersinn. Die Wippe ist genau dann im Gleichgewicht, wenn beide Drehmomente einander ausgleichen. Das kann man mit der Drehmoment-Formel ausdrücken, die genau dem Hebelgesetz entspricht:

$F_1 \cdot r_1 = M_1 = M_2 = F_2 \cdot r_2$

Wir betrachten als Beispiel nun die Wippe aus den obigen Abbildungen.

Das Kind habe die Masse $m_2=30~\text{kg}$ und sitze im Abstand $r_2=2~\text{m}$ vom Drehpunkt der Wippe entfernt. Wo muss der Erwachsene der Masse $m_1= 80~\text{kg}$ sitzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?

Drehmoment – Richtungsbestimmung

Das Drehmoment ist streng genommen eine vektorielle Größe mit einer Richtung. Der Richtungsvektor steht senkrecht auf der Kraft und senkrecht auf dem Hebelarm bzw. Kraftarm. Der Betrag des Vektors entspricht der Größe des Drehmoments.

Rechte-Hand-Regel

Wenn wir bei der rechten Hand Daumen, Mittelfinger und Zeigefinger so halten, dass sie jeweils rechte Winkel bilden, dann entsprechen diese den physikalischen Größen nach folgendem Schema:

  • der Daumen: Richtung des Kraftarms (vom Drehpunkt aus)
  • der Zeigefinger: Richtung der Kraft
  • der Mittelfinger: Richtung des Drehmoments

Mathematisch wird dies durch folgenden Zusammenhang (ein Vektorprodukt) ausgedrückt:

$\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}$

Die Drehrichtung entspricht der Richtung der Kraft, also in unserer obigen Betrachtung der Richtung, in die der Zeigefinger zeigt.
Du kannst aber auch eine andere Betrachtungsweise wählen: Wenn du mit dem Daumen der rechten Hand in die Richtung des Drehmoments zeigst, zeigen die gekrümmten Finger deiner Hand in Drehrichtung.

rechte Hand Regel

Drehmoment – Messung

Die Festigkeit einer Schraubverbindung kann man mit dem Drehmoment ausdrücken. Ein Drehmoment-Schlüssel ist ein Schraubwerkzeug, bei dem das Drehmoment genau eingestellt werden kann.
Zur Drehmomentmessung verwendet man einen Drehmomentsensor. Solche Sensoren werden z. B. in Akkuschraubern oder in e-Bikes verbaut. Ein Drehmomentsensor basiert darauf, dass sich die elektrischen Eigenschaften verschiedener Materialien verändern können, wenn diese verformt werden. Wenn also ein Drehmoment eine Verformung eines solchen Materials in einem Sensor bewirkt, kann die Stärke des Drehmoments durch ein elektrischen Signal ausgedrückt werden.

Zusammenfassung des Drehmoments

  • Das Drehmoment beschreibt die Wirkung einer Kraft auf ein drehbares Objekt. Dabei ist die Wirkung umso größer, je größer die angreifende Kraft $F$ ist und je größer der Abstand $r$ zwischen Angriffspunkt und Drehachse (der Hebelarm oder auch Kraftarm) ist.
  • Wenn die Kraft senkrecht auf dem Hebelarm steht, gilt:
    $M=F \cdot r$
  • Die Einheit des Drehmoments ist Newtonmeter:
    $[M]=1~\text{Nm}$
  • Das Drehmoment M ist eine vektorielle Größe. Es gilt:
    $\vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Drehmoment

Was ist das Drehmoment?
Wofür braucht man das Drehmoment?
Wie berechnet man das Drehmoment?
Was ist die Rechte-Hand-Regel?
Was ist die Formel für das Drehmoment?
Wie berechnet man Nm (Newtonmeter)?
Wie stark ist 1 Nm?
Was sind Drehmoment und Drehzahl?
Für was steht das Drehmoment beim Auto?

Transkript Drehmoment

Hallo und herzlich willkommen zu meinem Lernvideo. Ich bin Niklas und werde euch heute das Drehmoment erklären. Ich wünsche euch nun viel Spaß beim Zuschauen. Um das Drehmoment wirklich zu verstehen, ist es notwendig folgende physikalische Eigenschaften und Gesetz zu erklären. 1. Der zweiseitige Hebel. 2. Der einseitige Hebel. 3. Das daraus resultierende Hebelgesetz. Und wenn ihr das verstanden habt, sollte euch schnell klar werden, was genau das Drehmoment ist. Hebel helfen uns durch wenig Kraftaufwand viel Kraft zu erzeugen. Hier seht ihr ein paar nützliche Gegenstände, wo wir das ausnutzen. Unter einem Hebel versteht man in der Physik einen Kraftwandler, bestehend aus zwei Hebelarmen und einem gemeinsamen Drehpunkt. Der zweiseitige Hebel wird euch bestimmt von der Wippe bekannt sein. Um die Wippe im Gleichgewicht zu halten, muss dabei die schwerere Person weiter zum Drehpunkt rutschen. Oder aber die leichtere Person rutscht von diesem weg. Die Hebelarme sind nun die Abstände zwischen Drehpunkt und den angreifenden Kräften. In diesem Beispiel sind die angreifenden Kräfte die Gewichtskräfte der Personen rechts und links der Wippe. Aus der Wippe lässt sich auch ein einseitiger Hebel darstellen. Beide Personen befinden sich dazu auf derselben Seite. Die eine Person sitzt weiterhin auf der Wippe und die zweite Person hält die Wippe, sodass diese wieder im Gleichgewicht ist. Die von den Personen ausgehenden Kräfte sind nun entgegengerichtet. Also die Gewichtskraft der sitzenden Person zeigt in die entgegengesetzte Richtung der Haltekraft, die die stehende Person aufwenden muss. Aus der Wippendarstellung von einseitigem oder zweiseitigem Hebel können wir nun das Hebelgesetz formulieren. Die Gewichtskraft F1 der Person eins mal dem Hebelarm r1 ist gleich der Gewichtskraft F2 der Person zwei mal dem Hebelarm r1. Dies gilt aber nur in Gleichgewichtslage der Wippe. Soweit klar? Dann kommen wir nun endlich zur Erklärung und Definition des Drehmoments. Wer schon einmal eine Schraube in eine Wand oder ähnliches gedreht hat, wird bemerkt haben, dass zum Ende hin eine größere Kraft nötig ist, um die Schraube weiter zu drehen. Hier kann man sagen, das Drehmoment der Schraube nimmt zu. Um das Drehmoment der Schraube weiter zu vergrößern, kann man entweder mehr Kraft aufwenden und/oder einen längeren Hebelarm verwenden. Mit einem längeren Hebelarm seid ihr bei gleichem Kraftaufwand in der Lage das Drehmoment der Schraube weiter zu vergrößern und ihr erreicht somit einen festeren Sitz der Schraube in der Wand. Am Beispiel der Schraube ist gut zu erkennen, dass das Drehmoment eine Drehrichtung hat. In diesem Fall folgt die Drehrichtung dem Uhrzeigersinn. Wir können das Drehmoment mit folgender einfacher Formel nun berechnen. Das Drehmoment M ist gleich der wirkenden Kraft F am Hebelarm mal der Länge des Hebelarms r: M = Fr. Die Einheit setzt sich zusammen aus Newton mal Meter. Folglich heißt die Einheit für das Drehmoment M Newtonmeter (Nm). Wo steckt nun das Drehmoment bei der Wippe? Stellt euch nun beide Wippenseiten als getrennt vor. Im Drehpunkt, also dort, wo die Drehmomente durch die angreifenden Kräfte entstehen, ergibt sich für die linke Person eine Drehrichtung entgegen dem Uhrzeigersinn und für die rechte Person eine Drehrichtung mit dem Uhrzeigersinn. Die Wippe ist genau dann im Gleichgewicht, wenn die Drehmomente, welche eine entgegengesetzte Drehrichtung haben, gleichgroß sind, sich also gerade ausgleichen. M1 ist also gleich M2 (M1 = M2. Nun hoffe ich, dass ihr folgende Definition des Drehmoments verstehen könnt. Wirkt eine Kraft F senktrecht auf einen Hebelarm r, so ergibt sich der Betrag des Drehmoments aus der Kraft F multipliziert mit dem Hebelarm r. Vielleicht ist euch ja aufgefallen, dass die Einheit des Drehmoments, Newton mal Meter, also Newtonmeter, dieselbe Einheit wie für die Energie ist, eben auch Newtonmeter. Der Unterschied ist aber, dass die Kraft beim Drehmoment senkrecht auf den Hebelarm wirkt und daher keine Arbeit verrichtet wird. Bei Energie, beziehungsweise Arbeit, zeigen Kraft und Weg in dieselbe Richtung. Wir fassen nun zusammen, was wir heute gelernt haben: Wir haben die Unterschiede zwischen einseitigem und zweiseitigem Hebel kennengelernt und wissen nun, dass es dabei lediglich auf die Anordnung der Hebelarme ankommt. Wir haben das Hebelgesetz abgeleitet, welches lautet: F1r1 = F2r2. Und natürlich haben wir das Drehmoment kennengelernt, mit der einfachen Formel: M = Fr, und der Einheit Newtonmeter (Nm). So, ich hoffe nun, ich konnte euch heute klar machen, was es mit dem Drehmoment auf sich hat. Macht es gut, euer Niklas.

12 Kommentare
12 Kommentare
  1. niklas ist sehr motiviert

    Von Arsin S., vor etwa 5 Jahren
  2. Test ist gerettet! Sehr gutes Video! =)

    Von Michael Z., vor etwa 9 Jahren
  3. ja

    Von Msvoss, vor etwa 9 Jahren
  4. Super Video! :))

    Von Rina22, vor mehr als 9 Jahren
  5. Super gutes Video! :)

    Von Iwana, vor etwa 10 Jahren
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Drehmoment Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Drehmoment kannst du es wiederholen und üben.
  • Fasse dein Wissen über Hebel zusammen.

    Tipps

    Hier geht es um die zentralen Begriffe zum Thema Hebel und um das Hebelgesetz.

    Achte auf die richtige Verwendung der Fachsprache.

    Lösung

    Hebel finden sich an sehr vielen Stellen in unserem Alltag, manchmal sind sie gar nicht auf den ersten Blick zu erkennen. Sie werden verwendet, um den Kraftaufwand für bestimmte Tätigkeiten zu reduzieren, zum Beispiel beim Öffnen einer Flasche mit dem Korkenzieher, beim Transportieren schwerer Lasten mittels Schubkarre oder beim Öffnen und Schließen von Türen mit Klinke.

    Hebel sind Kraftwandler, die immer aus zwei Hebelarmen mit einem gemeinsamen Drehpunkt bestehen. Bei einem einseitigen Hebel liegen die beiden Hebelarme zusammen auf einer Seite des Drehpunktes, beim zweiseitigen Hebel auf unterschiedlichen Seiten.

    Das gezeigte Beispiel ist ein zweiseitiger Hebel. Die Mädchen sitzen auf unterschiedlichen Seiten der Wippe. Die Begriffe Hebelarm, Drehpunkt und Gewichtskraft sind im Lösungsbild noch einmal verdeutlicht. Da die Mädchen gleich weit vom Drehpunkt entfernt sitzen, sind beide Hebelarme gleich lang. Da sie außerdem (fast) gleich schwer sind, befindet sich die Wippe im Gleichgewicht.

  • Definiere den Begriff Drehmoment.

    Tipps

    Das Drehmoment wird hier über eine Formel definiert.

    Die Formelzeichen helfen dir beim Ausfüllen. Die Bedeutung von F und r kennst du von der Beschreibung des Hebels.

    Lösung

    Die Definition des Drehmomentes M basiert auf der gezeigten Formel. Die Kraft F wirkt dabei auf den Hebelarm r. Drehmomente besitzen demnach die Einheit N/m. Um ein Drehmoment zu beschreiben, musst du neben dem berechneten Wert auch die Drehrichtung angeben.

  • Wende das Hebelgesetz an, um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen.

    Tipps

    Hier gibt es für die rechte Seite immer nur eine passende Lösung.

    Beachte die Abstände der Löcher untereinander und ihre Abstände zum Drehpunkt bei der Dreiecksspitze.

    Entscheide intuitiv oder verwende das Hebelgesetz zur Lösung.

    Lösung

    A und F, B und E sowie C und D sind gleich weit vom Drehpunkt entfernt. Die einfachste Möglichkeit zur Herstellung eines Gleichgewichts ist, das gleiche Gewicht in derselben Entfernung zum Drehpunkt anzubringen wie bei Beispiel 2 und 3. Nach dem Hebelgesetz sind dann die beiden Hebelarme gleich lang. Daher muss auf beiden Seiten dieselbe Gewichtskraft wirken, um ein Gleichgewicht zu erhalten.

    Liegt das passende Gegengewicht nicht vor, muss auf der rechten Seite ein anderes Gewicht in einem anderen Loch angebracht werden. Dann sind die Hebelarme unterschiedlich lang. Die Gewichtskräfte müssen dann im passenden Verhältnis wirken. Allgemein gilt: Am kürzeren Hebelarm hängt das größere Gewicht.

    Ist der Hebelarm auf der linken Seite doppelt so lang wie rechts, muss das Gewicht auf der rechten Seite doppelt so groß sein wie links (Beispiel 5). Beträgt der Hebelarm auf der linken Seite nur ein Drittel des Hebelarms rechts, darf das Gewicht auf der rechten Seite nur ein Drittel des Gewichtes links betragen (Beispiel 4).

    Im Beispiel 6 ist der linke Hebelarm nur $\frac {2} {3}$ so lang wie der rechte. Daher muss das rechte Gewicht $\frac {2} {3}$ des linken Gewichts betragen.

  • Ermittle das passende Drehmoment, um die Waage ins Gleichgewicht zu bringen.

    Tipps

    Bestimme zunächst mit Hilfe der Abbildung die Hebelarme und die Gewichtskräfte von Massestück A und C. Verwende folgende Faustregel: 100 g entsprechen ungefähr einem Newton.

    Bilde und addiere die Produkte aus Hebelarm und Gewichtskraft von A und C, um das Gesamtdrehmoment des linken Hebelarms zu ermitteln.

    Stelle die Formel für das Drehmoment des rechten Hebelarms auf und forme sie nach der gesuchten Gewichtskraft um.

    Lösung

    Soll sich die Waage im Gleichgewicht befinden, müssen die Drehmomente von beiden Hebelseiten gleich groß sein. Die Gewichtskräfte wirken jeweils Richtung Erdboden und halten dann den zweiseitigen Hebel im Gleichgewicht.

    Das Drehmoment M von der linken Seite beträgt 0,125 Nm. Es wird berechnet, indem man das Produkt aus Gewichtskraft F und Hebelarm r von beiden Massestücken addiert. Dabei gilt für den Zusammenhang zwischen Masse und Gewichtskraft, dass 100 g ungefähr einer Kraft von einem N entsprechen.

    Um durch die rechte Seite ein vergleichbares Drehmoment zu erzeugen, ist eine Gewichtskraft von 1,25 N notwendig. Dieses Ergebnis erhält man durch Umformen der Gleichung für das Drehmoment, da ja die Gewichtskraft gesucht ist. Dies entspricht einem Massestück mit 125 g.

  • Beschreibe die folgende Formel.

    Tipps

    Was wird mit dieser Formel berechnet?

    Welche Größen benötigst für die Berechnung dieser Größe?

    Lösung

    Gezeigt ist die Formel, mit deren Hilfe du die Größe des Drehmomentes M berechnen kannst. Dafür benötigst du die Größe der Kraft F, die senkrecht auf den Hebelarm r wirkt sowie die Länge des Hebelarms r. Um das wirkende Drehmoment ausreichend zu beschreiben, muss außerdem die Drehrichtung angegeben werden.

  • Erkläre, wie sich das Drehmoment in Zahnradgetrieben verändert.

    Tipps

    Welche beiden Größen sind relevant zur Bestimmung des Drehmomentes? Welche spielt hingegen keine Rolle?

    Die Kraft wirkt an der Kontaktstelle der beiden Zahnräder. Sie ändert sich nicht.

    Wo "verstecken" sich demnach die Hebelarme der beiden Zahnräder?

    Lösung

    Im Zahnrad "versteckt" sich jeweils ein Hebel. Mit dessen Eigenschaften lässt sich auf das Drehmoment schließen. Der Hebelarm eines Zahnrads befindet sich zwischen dessen Mittelpunkt und der jeweiligen Kontaktstelle zum anderen Zahnrad an der Außenseite. Dort wirkt jeweils eine für beide Zahnräder einheitliche Kraft. Der Hebelarm ist also so groß wie der Zahnradradius. Das Drehmoment ist proportional zur Länge des Hebelarms. Je länger der Hebelarm, also je größer das Zahnrad, desto größer ist auch das wirkende Drehmoment. Greifen zwei Zahnräder ineinander, ist das Drehmoment am kleineren Zahnrad geringer als am größeren. Die Anzahl der Zähne spielt hingegen keine Rolle für die Größe des Drehmomentes.