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Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung

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André Otto
Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung
lernst du in der Oberstufe 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung

Inhalt

Henderson-Hasselbalch-Gleichung? – Chemie

Hast du schon einmal den $pH$-Wert mit der Henderson-Hasselbalch-Gleichung berechnet und dich dabei gefragt, wie dieser Zusammenhang zwischen dem $pH$-Wert und $pK_s$-Wert überhaupt zustande kommt? Der folgende Text zeigt dir, wie die Henderson-Hasselbalch-Gleichung hergeleitet wird und welche Aufgaben sie hat.

Achtung: Das Video und dieser Text sind für die Sekundarstufe II, vor allem für den Leistungskurs Chemie gedacht.

Was ist die Henderson-Hasselbalch-Gleichung? – Definition

Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung ist eine Puffergleichung, die den Zusammenhang zwischen einem $pH$-Wert und der Lage des Gleichgewichts einer Säure-Base-Reaktion zwischen einer mittelstarken Säure und ihrer korrespondierenden mittelstarken Base in einer verdünnten, wässrigen Lösung ($\pu{\le 1 mol/L}$) beschreibt. Einfach gesagt stellt sie also den Zusammenhang zwischen $pH$- und $pK_s$-Wert her.

Der Henderson-Hasselbalch-Gleichung liegt die Reaktionsgleichung zugrunde, bei der die schwache Säure ($HA$) in Wasser ($\ce{H2O}$) zu einem dazugehörigen Anion ($\ce{A-}$) und einem Wasserstoffproton ($\ce{H+}$) dissoziiert. In der Regel betrachten wir die Reaktion unter Standardbedingungen bei einer Temperatur $T$ von $\pu{298 K}$ und einem Druck $p$ von $\pu{1 bar}$.

$\ce{HA + H2O <=> A- + H+}$

Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung – Formel

Einfach erklärt hat die Henderson-Hasselbalch-Gleichung die Funktion, den $pH$-Wert einer Lösung über den $pK_s$-Wert der Säure und deren Säure- und Säureanionenkonzentration zu berechnen. Chemisch kannst du in der Gleichung die Konzentration in der Form ${c_{HA}}$ oder in eckigen Klammern $[HA]$ schreiben. Beide Schreibweisen sind in der Literatur vertreten. Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung sieht also folgendermaßen aus:

$ pH = pK_s + \lg {\frac{c_{A}^-}{c{HA}}} = pK_s + \lg {\frac{ [{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}} $

Nun wollen wir uns die Herleitung genauer anschauen.

Herleitung der Henderson-Hasselbalch-Gleichung – Beispiel

Bisher hast du die Henderson-Hasselbalch-Gleichung kennengelernt. Du kennst auch die ihr zugrunde liegende Reaktionsgleichung. Nun widmen wir uns der Herleitung der Henderson-Hasselbalch-Gleichung aus dem Massenwirkungsgesetz Schritt für Schritt.

  1. Die Reaktionsgleichung kann in Form des Massenwirkungsgesetzes formuliert werden. Dabei wird das Konzentrationsprodukt der Produkte durch das Konzentrationsprodukt der Edukte dividiert und der Gleichgewichtskonstante $K$ gleichgesetzt:

    (1) $ K = \frac{ [{\ce{A-}}] \cdot [{\ce{H+}}] }{ [{\ce{HA}}] \cdot [{\ce{H2O}}] } $

  2. Da die Säurekonstante $K_s = K \cdot [{\ce{H2O}}] $ gilt, kann die 1. Gleichung umgeformt werden, sodass man die 2. Gleichung erhält:

    (2) $ K_s = \frac{ [{\ce{A-}}] \cdot [{\ce{H+}}] }{ [{\ce{HA}}]} $

  3. Im nächsten Schritt wird die gesamte 2. Gleichung um den dekadischen Logarithmus ($\lg$) erweitert. Somit erhält man folgende 3. Gleichung und vereinfacht nach 4.:

    (3) $ \lg K_s =\lg {\frac{ [{\ce{A-}}] \cdot [{\ce{H+}}] }{ [{\ce{HA}}]}} $

    (4) $ \lg K_s = \lg {[{\ce{H+}}]} + \lg {\frac{[{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}} $

  4. Da $pH = \lg {[{\ce{H+}}]} $ und $pK_s = - \lg {K_s} $ gilt, kannst du die 4. Gleichung weiter umformen (5). Dann setzt du $pH$ für $\lg {[{\ce{H+}}]} $ und $pKs$ für $- \lg {K_s} $ ein und erhältst die 6. Gleichung:

    (5) $ - \lg K_s = - \lg {[{\ce{H+}}]} - \lg {\frac{[{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}} $

    (6) $ pK_s = pH - \lg {\frac{ [{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}} $

  5. Zuletzt kannst du die 6. Gleichung nach dem $pH$-Wert umstellen, sodass du die 7. Gleichung erhältst.

    (7) $pH = pK_s + \lg {\frac{ [{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}} $

  6. Damit im Quotienten nicht $ \frac{ [{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]} $, sondern $\frac{ [{\ce{HA}}]}{ [{\ce{A-}}]} $ steht, wird die 7. Gleichung zu der 8. Gleichung umgeformt.

    (8) $pH = pK_s - \lg {\frac{ [{\ce{HA}}]}{ [{\ce{A-}}]}} $

Zusammenhang des $pH$-Wertes und des $pK_s$-Wertes

Historisch wurde der $pH$-Wert im Jahr 1909 von Sørensen beschrieben. Der $pK_s$-Wert wurde im Jahr 1908 von Henderson veröffentlicht.

Grenzfall

Wenn die Konzentration der Säure genauso groß wie die Anionenkonzentration ist, entspricht der $pH$-Wert dem $pK_s$-Wert. Dies lässt sich leicht aus der Gleichung ableiten:

$\ce{[HA]} = \ce{[A-]} \Rightarrow \lg 1 = 0 \Rightarrow \underline{\underline{pH = pK_s}}$

Henderson-Hasselbalch-Gleichung – Zusammenfassung

Die im Jahr 1909 und 1908 beschriebenen $pH$- und $pK_s$-Werte stehen in einem Zusammenhang, der durch die Henderson-Hasselbalch-Gleichung dargestellt wird. Zugrunde liegt eine Gleichgewichtsreaktion der dissoziierenden Säure mit Wasser zu einem Wasserstoffproton und einem Säureanion. Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung kann durch das Aufstellen des Massenwirkungsgesetzes über die ablaufende Gleichgewichtsreaktion hergeleitet werden.

Das Video Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung

In diesem Video lernst du die Aufgabe und die Funktion der Henderson-Hasselbalch-Gleichung und den Zusammenhang zwischen dem $pH$-Wert und dem $pK_s$-Wert kennen. Es wird die Herleitung zur Henderson-Hasselbalch-Gleichung aus dem Massenwirkungsgesetz gezeigt.

Im Anschluss an das Video und diesen Text findest du Übungsaufgaben, um dein erlerntes Wissen zu überprüfen. Viel Spaß!

Transkript Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung

Herzlich willkommen liebe Freunde und Freundinnen der Chemie. Herzlich willkommen zu diesem weiteren Video aus der Reihe Säuren, bereits Teil 20. Der Name des heutigen Videos lautet: Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung. Vorneweg möchte ich sagen, dieses Video ist vorgesehen für die Sekundarstufe II, Leistungskurse Chemie. Liebe Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I, der 7., 8., 9.,10. Klassen, Ihr könnt Euch dieses Video anschauen, seid aber dann nicht böse mit mir, wenn Ihr nicht alles so richtig versteht. Natürlich können es sich auch Studenten und Studentinnen ansehen, der Nebenfächer sowieso, Mediziner aber auch Chemiker, wenn sie Interesse haben. Beginnen wir mit dem eigentlichen Thema. Wir haben uns unterhalten über Säuren und das Anliegen, was hinter dieser Henderson-Hasselbalch-Forschung steht. Ist die Frage, inwieweit der pH-Wert als Funktion des pks-Wertes darstellbar ist? Da hat sich Henderson zu Anfang des 20. Jahrhunderts, so 1908, gedacht, wir nehmen uns eine Säure in allgemeiner Form HA. Diese dissoziiert in wässriger Lösung in ein positiv geladenes Wasserstoffion und ein negativ geladenes Säurerestion. Wenn wir jetzt auf diese Gleichung das Massenwirkungsgesetz nach Guldberg und Waage anwenden, dann können wir dafür schreiben. Konzentration der Reaktionsprodukte [H+]×[A-] dividiert durch die Konzentration des Ausgangsstoffes [HA], der unzerfallenen Teilchen, = und das kennen wir schon aus den vorherigen Videos, die Säurekonstante Ks. Gewöhnlich, theoretisch kann man jede Temperatur nehmen, aber thermodynamisch arbeitet man gerne bei 298K, das sind 25 °Celsius und einem bar. Wie wollen wir jetzt den ph-Wert reinkriegen? Da war doch was mit dem dekadischen Logarithmus. Also machen wir Folgendes: Wir logarithmieren einfach. Logarithmiert wird einfach, ohne dass wir eine Regel kennen, indem wir das Logarithmuszeichen natürlich gleich auf beiden Seiten zur gleichen Basis, auf beiden Seiten ansetzen. Also Bruchstrich, im Zähler Konzentration [H+]×[A-] und im Nenner Konzentration [HA]=lgKs. Nun schreib ich das etwas um. Und zwar geh ich davon aus, dass ich jetzt hier auf der linken Seite, wo ich Produkt und Quotienten habe, dass da zwei Faktoren sind. Das ist der eine und das ist der andere Faktor. Und dann kehren wir nach dem Logarithmengesetz folgende Beziehungen. Wenn ich den Logarithmus eines Produktes habe, dann kann ich ihn als Summe der Logarithmen der Faktoren schreiben. Also lg[H+]+lg[A-]÷[HA]. So, auf der rechten Seite verfahr ich genauso. Da hab ich nicht viel zu tun, hier hab ich bloß lgKs. Jetzt sei noch mal an den ph-Wert erinnert. Der ph-Wert ist der negative dekadische Logarithmus der Wasserstoffionenkonzentration. Beim pKs-Wert genauso erinnert Euch. Der pKs-Wert ist der negative dekadische Logarithmus von Ks. An sich riecht das hier unten ja schon verdammt nach ph-Wert, bis auf das Vorzeichen. Die rechte Seite riecht auch schon verdammt nach pKs-Wert, bis auf das Vorzeichen. Also multiplizieren wir mit -1 und wir erhalten -lg[H+]-lg[A-]/[HA] und auf der rechten Seite ist gleich -lgKs. Dann haben wir also hier einen blitzsauberen ph-Wert. Hier auf der rechten Seite haben wir einen blitzsauberen pKs-Wert und das arme Ding hier in der Mitte, das muss bleiben. Aber das soll auch so sein, denn wir wollen ja auch ein bisschen variieren. Wir haben ja gesagt ph-Wert ist nicht pKs-Wert. Also ph-lg[A-]÷[HA]=pKs. Jetzt hätten wir gern Funktion ph=f(pKs). Pks steht schon hier, was uns jetzt noch stört, ist dieser Term, das schieben wir einfach hier nach drüben. Wie schieben wir das nach drüben? Indem wir einfach addieren. ph=pks+lg[A-]÷[AH] und das ist eigentlich schon die Henderson-Hasselbalch-Gleichung, wie man sie unter anderem in der Literatur findet. Allerdings ist es so. Wollen die nicht diesen Quotienten [A-]÷[AH] haben, die wollen das so haben. ph=pKs und die hätten jetzt gerne hinter lg[HA], die hätten nämlich gerne da stehen, wie viel Säure die da haben als Konzentration und im Nenner hätten wir dann die Konzentration der Säurerestionen [A-]. Wenn ich die beiden umtausche nach Logarithmengesetz - das werden wir aber jetzt nicht besprechen, das versucht Mal selbst nachzuvollziehen - haben wir hier minus. Zwei Bemerkungen hätte ich noch zum Ende. Die nullte Bemerkung ist, es ist erst mal wunderschön, also auf diese Idee muss man erst mal kommen. Es ist alles schön, was man so als funktionalen Zusammenhang darstellt in der Chemie. Aber Lobhudelei lassen wir mal sein. Den 1. Punkt finde ich ganz interessant. Wenn ich Konzentration von [HA] habe und die ist gleich Konzentration von [A-], daraus folgt: lg1 und der =0. Und was daraus folgt , das ist nämlich wichtig, ph=pKs. Aber nur in dem Fall, wenn die beiden Konzentrationen gleich sind. Und die zweite Sache interessiert Euch vielleicht nicht so, aber ich fand sie ganz drollig: wir hatten also Herrn Sørensen mit seinem ph-Wert, könnt Ihr Euch erinnern, datiert auf das Jahr 1909 und Henderson mit der Gleichung, die er entwickelt hat. Datiert auf das Jahr 1908. Ein bisschen komisch ist es schon, aber es ist interessant. Müsste ungefähr die gleiche Zeit gewesen sein. Vielleicht wusste man voneinander und das wurde dann später publiziert. So läuft das in der Wissenschaft. Ihr werdet die Gleichung sicher benutzen im Leistungskurs, wenn Ihr studiert sowieso. Und bevor Ihr einfach bloß diese Gleichung nehmt und verwendet, glaube ich, ist es mal ganz gut, dass Euch gezeigt wurde, wo sie eigentlich herkommt. So schwer ist es nicht. Nehmt Euch Papier und Bleistift und versucht es mal selber zu machen. Und ich sage Euch, es macht Spaß. Man versteht nicht alles gleich, aber probiert es mal. Ich wünsche Euch alles Gute. Tschüss

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Hallo Jan,

    es lässt sich der pH - Wert eines Puffers berechnen.

    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 6 Jahren
  2. Die mathematische Herleitung war klar dargestellt und die habe ich gut verstanden. Aber ich habe mich die ganze Zeit gefragt, wozu die Gleichung gut sein soll.

    Von Deleted User 381349, vor mehr als 6 Jahren
  3. Auf die Einordnung kann ich keinen Einfluss nehmen. Ich bin freier Produzent und kein Angestellter von sofatutor.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 9 Jahren
  4. Vielen Dank für diese schöne Reihe zu den Säuren, Herr Dr. Otto! Hat mir gefallen und vor allen Dingen geholfen.

    P.S.:
    Komischerweise korrespondiert die Videoreihenfolge nicht mit der eigentlichen Reihenfolge (die in den Klammern stehende).

    Von Gumpi, vor mehr als 9 Jahren
  5. Es geht tatsächlich nur um das Vorzeichen. Das ist reine Geschmackssache. Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 10 Jahren
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