Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung

Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung in der Chemie

Hast du schon einmal den $pH$-Wert mit der Henderson-Hasselbalch-Gleichung berechnet und dich dabei gefragt, wie dieser Zusammenhang zwischen dem $pH$-Wert und $pK_\text{s}$-Wert überhaupt zustande kommt? Im folgenden Text zeigen wir, wie die Henderson-Hasselbalch-Gleichung hergeleitet wird und welche Aufgaben sie hat.

Achtung: Das Video und dieser Text sind für die Sekundarstufe II, vor allem für den Leistungskurs Chemie, gedacht.

Henderson-Hasselbalch-Gleichung – Definition

Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung ist eine Puffergleichung, die den Zusammenhang zwischen dem $pH$-Wert einer verdünnten, wässrigen Lösung und der Lage des Gleichgewichts der Säure-Base-Reaktion zwischen einer mittelstarken Säure und ihrer korrespondierenden, mittelstarken Base in Lösung $\left( \pu{\le 1 \frac{mol}{\ell}} \right)$ beschreibt. Einfach gesagt, stellt sie also den Zusammenhang zwischen dem $pH$-Wert und dem $pK_\text{s}$-Wert einer Lösung her.

Der Henderson-Hasselbalch-Gleichung liegt eine allgemein formulierte Reaktionsgleichung zugrunde, bei der die schwache Säure $\left( \text{HA} \right)$ in Wasser $\left( \ce{H2O} \right)$ zu einem dazugehörigen Anion (dem Säurerest $\ce{A-}$) und einem Proton, also einem Wasserstoffion $\left(\ce{H+} \right)$, dissoziiert. In der Regel betrachten wir die Reaktion unter Standardbedingungen bei einer Temperatur T = 298 K und einem Druck p = 1 bar = 1·10⁵ Pa.

$\ce{HA} \quad \overset{\ce{H2O}}{\ce{<=>}} \quad \ce{A- + H+}$

Henderson-Hasselbalch-Gleichung – Formel

Einfach erklärt hat die Henderson-Hasselbalch-Gleichung die Funktion, den $pH$-Wert einer Lösung über den $pK_s$-Wert der Säure und deren Säure- und Säureanionenkonzentration zu berechnen. In der Gleichung kann die Konzentration in der Form $c \left(\text{HA}\right)$ oder in der chemischen Schreibweise auch einfach in eckigen Klammern $[{\ce{HA}}]$ geschrieben werden. Beide Schreibweisen sind in der Literatur zu finden. Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung sieht demnach folgendermaßen aus:

$pH = pK_\text{s} + \log {\frac{c {\left(\text{A}\right)}^{-}}{c \left({\text{HA}}\right)}} = pK_\text{s} + \log {\frac{[{\text{A}^{-}}]}{[{\text{HA}}]}}$

Nun wollen wir uns die Herleitung genauer anschauen.

Herleitung der Henderson-Hasselbalch-Gleichung

Wir haben die Henderson-Hasselbalch-Gleichung und die allgemeine Form der Reaktionsgleichung kennengelernt, auf die sie sich bezieht. Nun widmen wir uns der Herleitung der Henderson-Hasselbalch-Gleichung aus dem Massenwirkungsgesetz Schritt für Schritt.

Die Reaktionsgleichung kann in Form des Massenwirkungsgesetzes formuliert werden. Dabei wird das Konzentrationsprodukt der Produkte durch das Konzentrationsprodukt der Edukte dividiert und der Gleichgewichtskonstante $K$ gleichgesetzt:

(1) $K = \frac{ [{\ce{A-}}] \cdot [{\ce{H+}}] }{ [{\ce{HA}}] \cdot [{\ce{H2O}}] }$

Da für die Säurekonstante $K_\text{s} = K \cdot [{\ce{H2O}}]$ gilt, kann die 1. Gleichung umgeformt werden, sodass man die 2. Gleichung erhält:

(2) $K_\text{s} = \frac{ [{\ce{A-}}] \cdot [{\ce{H+}}] }{ [{\ce{HA}}]}$

Im nächsten Schritt wird die gesamte 2. Gleichung um den dekadischen Logarithmus $\left( \log() \right)$ erweitert. Somit erhält man die folgende 3. und nach Vereinfachung die 4. Gleichung:

(3) $\log K_\text{s} =\log {\frac{ [{\ce{A-}}] \cdot [{\ce{H+}}] }{ [{\ce{HA}}]}}$

(4) $ \log K_\text{s} = \log {[{\ce{H+}}]} + \log {\frac{[{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}}$

Da $pH = \log {[{\ce{H+}}]} $ und $pK_\text{s} = - \log {K_\text{s}} $ gilt, können wir die 4. Gleichung weiter umformen und erhalten die 5. Dann setzen wir $pH$ für $\log {[{\ce{H+}}]}$ und $pK_\text{s}$ für $- \log {K_\text{s}} $ ein und erhalten die 6. Gleichung:

(5) $- \log K_s = - \log {[{\ce{H+}}]} - \log {\frac{[{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}}$

(6) $pK_\text{s} = pH - \log {\frac{ [{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}}$

Zuletzt kann die 6. Gleichung noch nach dem $pH$-Wert umgestellt werden, sodass wir die 7. Gleichung erhalten:

(7) $pH = pK_\text{s} + \log {\frac{ [{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}}$

Damit im Quotienten nicht $\frac{ [{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}$, sondern $\frac{ [{\ce{HA}}]}{ [{\ce{A-}}]} $ steht, kann die 7. Gleichung auch zur 8. Gleichung umgeformt werden.

(8) $pH = pK_\text{s} - \log {\frac{[{\ce{HA}}]}{[{\ce{A-}}]}}$

Die beiden Formen (7) und (8) der Henderson-Hasselbalch-Gleichung können gleichermaßen verwendet werden, um den $pH$-Wert einer verdünnten, wässrigen Lösung zu berechnen.

Anwendung der Henderson-Hasselbalch-Gleichung – Beispiel

In einem Beispiel wollen wir folgende Reaktion betrachten:

$\ce{HOCN} \quad \overset{\ce{H2O}}{\ce{<=>}} \quad \ce{OCN- + H+}$

Cyansäure $\left( \ce{HOCN} \right)$ dissoziiert in wässriger Lösung und bildet das Säureanion $\ce{OCN-}$. Dieses bildet mit Kaliumionen $\left( \ce{K+} \right)$die Verbindung Kaliumcyanat $\left( \text{KOCN} \right)$, was uns aber nicht weiter zu kümmern braucht, da wir uns nur für das Säure-Base-Paar $\ce{HOCN/OCN-}$ interessieren. Es soll gelten:

$c \left(\text{HOCN}\right) = [\ce{HOCN}] = \pu{1,32 \frac{mol}{\ell}}$

$c \left({\text{OCN}}^{-}\right) = [\ce{OCN-}] = \pu{0,50 \frac{mol}{\ell}}$

Der $pK_\text{s}$-Wert der Reaktion kann für die gegebenen Bedingungen in der Literatur nachgeschlagen werden. Er beträgt:

$pK_\text{s} = \pu{3,92}$

Mit diesen Angaben können wir den $pH$-Wert berechnen, der sich im chemischen Gleichgewicht einstellt:

$pH = pK_\text{s} - \log {\frac{ [{\ce{HOCN}}]}{ [{\ce{OCN-}}]}}$

$pH = \pu{3,92} - \log {\frac{\pu{1,32 \frac{mol}{\ell}}}{\pu{0,50 \frac{mol}{\ell}}}} = 3,50$

Der Zusammenhang zwischen $pH$-Wert und $pK_\text{s}$-Wert

Historisch wurde der $pH$-Wert im Jahr 1909 von Søren Sørensen beschrieben. Die Definition des $pK_s$-Wertes wurde dagegen schon im Jahr 1908 von Lawrence J. Henderson veröffentlicht.

Grenzfall:

Wenn die Konzentration der Säure genauso groß ist wie die Anionenkonzentration, entspricht der $pH$-Wert dem $pK_s$-Wert. Dies lässt sich leicht aus der Gleichung ableiten:

$pH = pK_\text{s} - \log {\frac{[{\ce{HA}}]}{[{\ce{A-}}]}}$

$\ce{[HA]} = \ce{[A-]} \Rightarrow \log {\frac{[{\ce{HA}}]}{[{\ce{A-}}]}} = \log \frac{1}{1} = \log{1} = 0 \Rightarrow \underline{\underline{pH = pK_\text{s} - 0 = pK_\text{s}}}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Henderson-Hasselbalch-Gleichung