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Coulomb'sches Gesetz

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Jakob Köbner
Coulomb'sches Gesetz
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung Coulomb'sches Gesetz

Inhalt

Das coulombsche Gesetz

Dir ist es vielleicht noch nicht bewusst, aber du kennst eine wichtige Aussage des coulombschen Gesetzes bereits. Es beschreibt nämlich die Kraft zwischen punktförmigen Ladungen oder kugelsymmetrischen Ladungsverteilungen und gehört damit zu den Grundlagen der Elektrostatik. Das coulombsche Gesetz besagt, einfach erklärt, dass sich gleichnamige Ladungen abstoßen und ungleichnamige Ladungen anziehen. Wir wollen uns heute etwas genauer mit diesem Gesetz beschäftigen und auch eine Formel dafür aufstellen.

Coulombsches Gesetz – Versuch

Das coulombsche Gesetz wurde schon vor über 200 Jahren von Charles Augustin de Coulomb entdeckt, als dieser mit einer sogenannten Torsionswaage experimentierte. Wir wollen uns dieses Experiment im Folgenden etwas genauer anschauen.

Die Torsionswaage

Als Torsion bezeichnet man die Verdrehung eines Körpers durch eine auf ihn wirkende Kraft. Du kannst dir das leicht vorstellen, wenn du zum Beispiel an das Kabel deiner Kopfhörer denkst. Wenn du es mit beiden Händen greifst und versuchst, es um seine Längsachse zu verdrehen, musst du dazu eine Kraft aufbringen. Man nennt diese Kraft auch Torsionskraft. Sie wird umso größer, je stärker du das Kabel verdrehst – und wenn du wieder loslässt, schnellt es in seine ursprüngliche Form zurück. In einer Torsionswaage nutzt man dieses Prinzip folgendermaßen aus: Eine Schnur hängt an einem Stativ. An ihrem unteren Ende hängt eine Hantel, an deren Enden wiederum zwei Kugeln hängen. Die Schnur ist aus einem besonderen Material, bei dem bekannt ist, welche Kraft bei einer Verdrehung um einen bestimmten Winkel wirkt. Wird die Hantel verdreht, kann man so auf die Kraft schließen, die diese Drehung verursacht.

Im Falle des Experiments zur Coulombkraft sieht der Versuchsaufbau folgendermaßen aus:

Coulombsches Gesetz Physik

Die zwei Kugeln 1 und 2 der Hantel sind aus Metall und leitfähig. Sie sind so aufgehängt, dass eine der Kugeln eine dritte, ebenfalls metallische Kugel berührt (Kugel mit Nummer 3). Nun wird eine weitere Kugel mit der Nummer 4, die zuvor (zum Beispiel durch Reibung) negativ aufgeladen wurde, an die starr befestigte Kugel 3 geführt, sodass sie sich berühren. Dadurch verteilt sich die negative Ladung gleichmäßig auf alle drei Kugeln, die sich berühren (1, 3 und 4). Die Kugeln 1 und 3 sind jetzt beide negativ geladen und stoßen sich ab – die Schnur verdreht sich und kommt in einem Winkel $\alpha$ zum Stehen.

In diesem Winkel sind die Coulombkraft $F_{Coulomb}$ und die rücktreibende Torsionskraft $F_{Torsion}$ der Schnur gerade gleich groß.

Coulombsches Gesetz – Formel

Coulomb führte dieses Experiment mehrere Male durch und verwendete immer unterschiedlich große Ladungen. Er konnte so einige wichtige Erkenntnisse zu der Kraft zwischen den Kugeln gewinnen:

  • Die Coulombkraft ist proportional zum Produkt der beiden Ladungen $Q_1$ und $Q_2$.
  • Die Coulombkraft ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes $r$, also $F \propto \frac{1}{r^{2}}$. Das bedeutet, dass die Kraft mit wachsendem Abstand zwischen den Ladungen schnell kleiner wird.
  • Bei mehr als zwei Ladungen addieren sich die Kräfte vektoriell.
  • Die Coulombkraft wirkt abstoßend zwischen gleichnamigen Ladungen und anziehend zwischen ungleichnamigen Ladungen.

Damit können wir schon fast die gesamte Formel aufschreiben:

$F_{Coulomb} = k \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^{2}}$

Im Zähler stehen die beiden Ladungen $Q_1$ und $Q_2$, die wir betrachten. Im Nenner steht der Abstand $r$ zwischen den Mittelpunkten der beiden Ladungen, allerdings im Quadrat. Wir kennen nur den Proportionalitätsfaktor $k$ noch nicht. Er enthält einerseits den Faktor $4\pi$, weil wir kugelsymmetrische Ladungsverteilungen betrachten, und die sogenannte Permittivität $\epsilon$. Das ist eine Materialkonstante, die angibt, wie gut sich elektrische Felder in Materie ausbreiten können. Damit erhalten wir:

$F_{Coulomb} = \frac{1}{4\pi \epsilon} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^{2}}$

Wie bei jeder physikalischen Kraft liefert auch das coulombsche Gesetz die Einheit Newton (N).

Vektorielle Form

Da die Coulombkraft auch eine Richtung hat, wollen wir uns zusätzlich die vektorielle Form dieser Gleichung anschauen. Das sieht dann folgendermaßen aus:

$\vec{F}_{Coulomb,1,2} = \frac{1}{4 \pi \epsilon} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{ |r|^{2}} \cdot \vec{e}_{r1,2} $

$\vec{F}_{Coulomb,1,2}$ ist die Kraft, die die Ladung $Q_2$ auf die Ladung $Q_1$ ausübt. Der Vektor $\vec{e}_{r1,2}$ ist der Einheitsverbindungsvektor zwischen beiden Ladungen. Er hat die Länge $1$ und zeigt von $Q_2$ nach $Q_1$.

Die Richtung der Kraft $\vec{F}_{Coulomb,1,2}$ wird dann durch die Vorzeichen der Ladungen bestimmt: Haben beide Ladungen dasselbe Vorzeichen, zeigt $\vec{F}_{Coul,1,2}$ in dieselbe Richtung wie $\vec{e}_{r1,2}$, also weg von $Q_2$ – die Ladungen stoßen sich ab. Haben sie unterschiedliche Vorzeichen, wirkt die Kraft anziehend.

Dieses Video

In diesem Video lernst du die Grundlagen des coulombschen Gesetzes und seine Definition. Zusätzlich zur skalaren Form wird auch die vektorielle Gleichung besprochen. Neben Text und Video findest du auch zum coulombschen Gesetz Aufgaben, in denen auch ein Beispiel berechnet werden soll.

Transkript Coulomb'sches Gesetz

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. Dieses Video gehört zum Thema "Elektrizität und Magnetismus" und beschäftigt sich mit dem Coulombschen Gesetz. Wir lernen heute, was das Coulombsche Gesetz ist. Wie es entdeckt wurde und natürlich von wem. Und wie die genaue Formel für die Coulombkraft lautet. Dann mal auf zur ersten Frage: Was ist denn nun das Coulombsche Gesetz? Das Coulombsche Gesetz beschreibt die Kraft, die zwischen zwei Kugeln bzw. punktförmigen Ladungen wirkt. Oft betrachtet man ja punktförmige Ladungen und ein Punkt ist ja immerhin nichts anderes, als eine unendlich kleine Kugel. Der Vollständigkeit halber muss aber gesagt werden, dass kugelförmig eigentlich schon ungenau gesprochen ist. Eigentlich muss es genau heißen: Die Ladungsverteilung des Körpers, den man untersucht, muss kugelsymmetrisch sein. Es klingt vielleicht auf den ersten Blick nicht so legendär, aber das Coulombsche Gesetz ist eines der wichtigsten Gesetze der Physik. Es bildet immerhin u. a. die Grundlage der gesamten Elektrostatik. So, dann mal ab in die Geschichtsecke mit uns. Wer hat es denn entdeckt, das Coulombsche Gesetz, und, wenn wir schon mal dabei sind, wie eigentlich? Wie so oft verrät es uns auch hier schon der Name. Das Coulombsche Gesetz wurde 1785 von Charles Augustin de Coulomb entdeckt. Coulomb war als Festungsbauer für das Militär tätig, seine bekanntesten Entdeckungen machte er jedoch auf anderen Gebieten. Im Bild oben seht ihr rechts neben ihm das Instrument, mit dem er das Coulombsche Gesetz entdeckte, nämlich die sogenannte Dreh- bzw. Torsionswaage. Hier seht ihr eine frühe Skizze der Coulombschen Drehwaage. Die Drehwaage wurde 1760 von John Mitchell erfunden und gebaut, der dann aber lieber erst mal an anderen Sachen weiterforschte. 1797 wurde die Drehwaage übrigens ein zweites Mal für eine wichtige Entdeckung benutzt, als Henry Cavendish mit ihrer Hilfe die Gravitationskonstante bestimmte. Aber jetzt wollen wir uns erst mal ansehen, wie das Ding funktioniert. Unsere Skizze ist zwar alt und schön, aber leider auch relativ unübersichtlich, deswegen wollen wir uns mal ansehen, was in der Torsionswaage eigentlich passiert. Das Prinzip ist einfach. In einer langen Röhre hängt eine lange Schnur, an deren unteren Ende eine Hantel mit zwei Metallkugeln befestigt ist, die gut ausbalanciert sind. Eine dritte Metallkugel, genauso groß wie die beiden anderen, wird nun so fest montiert, dass sie eine der beiden Kugeln gerade berührt. Jetzt nehme ich eine vierte Kugel, die an einem nicht leitenden Griff, zum Beispiel aus Holz, befestigt ist und lade sie negativ auf. Wenn ich nun meine beiden in Kontakt stehenden Kugeln damit berühre, verteilt sich die Ladung gleichmäßig auf alle drei Kugeln. Danach nehme ich die vierte Kugel wieder weg und was übrig bleibt, sind zwei negativ geladene Kugeln direkt nebeneinander. Vielleicht wisst ihr schon, was als Nächstes passiert. Negative Ladungen stoßen sich ab, das war eine der wichtigen Entdeckungen Coulombs. Die eine Kugel, die nicht befestigt ist, wird sich also wegdrehen. Das ist aber nicht die einzige Kraft, die hier am Werke ist. Der Faden, an dem unsere Hantel hängt, wird nicht gern verdreht. Das bedeutet, er wehrt sich, je weiter er gedreht wird, immer stärker dagegen. Deswegen wird sich unsere geladene Kugel nur so weit fortbewegen, bis die Coulombkraft gleich der Torsionskraft ist. Nun musste Coulomb also nur noch messen, wie viel Kraft man benötigt, um die ungeladene Hantel bis zur selben Auslenkung zu drehen, und er hatte einen Weg erfunden, um die Coulombkraft zu messen. Die Schlussfolgerungen, die er aus seinen Experimenten zog, waren grob zusammengefasst folgende: Die Kraft, die zwischen den beiden Ladungen wirkte, war immer proportional zu Ladung 1 × Ladung 2, wir schreiben hier Q1×Q2, denn für Ladung wird der Buchstabe Q vom lateinischen Quantum benutzt. Die Kraft war außerdem umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen den beiden Ladungen. Das heißt zum Beispiel, wenn ich den Abstand zwischen den beiden Ladungen verdopple, ist die Kraft nur noch ½², also nur noch ein viertel mal so groß. Außerdem fand er heraus, dass für mehr als zwei Ladungen, wenn man das Ganze vektoriell betrachtet, sich die Kräfte einfach aufaddieren. Das heißt, man berechnet für jedes Ladungspaar die Kraft und dann eine Vektorsumme und erhält so eine Gesamtkraft, die von allen anderen Ladungen auf eine bestimmte Ladung wirkt. So, jetzt haben wir schon mal ordentlich Hinweise gesammelt. Aber wie lautet sie denn nun genau, die Formel für die Coulombkraft? Schreiben wir mal auf, was wir bis jetzt schon wissen. Die Coulombkraft, die man oft als Fc oder Fcoul schreibt, ist also irgendeine Konstante, schreiben wir mal k, dann ist sie proportional zu Q1×Q2, also ×Q1×Q2, und dann umgekehrt proportional zu r², also das Ganze geteilt durch r². Und das ist eigentlich auch schon fast alles. Wir notieren noch: Q1 und Q2 steht für die Ladungen 1 und 2 und r steht für den Abstand zwischen den Mittelpunkten unserer beiden Ladungen. Jetzt müssen wir also nur noch genauer herausfinden, was unser k eigentlich ist. Und das ist zum Glück gar nicht so kompliziert. Da ist einmal der Faktor 1/4π, der kommt durch die Kugeloberfläche. Die Oberfläche einer Kugel mit Radius 1 ist nämlich 4π. Und als Letztes kommt noch eine Materialkonstante dazu, nämlich die sogenannte Permittivität, die angibt, wie durchlässig ein bestimmtes Material für elektrische Felder ist. Normalerweise rechnet man übrigens im Vakuum, dann schreibt man gleich statt ε ε0, nämlich die Permittivität des Vakuums, besser bekannt auch als die Dielektrizitätskonstante. Und damit haben wir auch schon die skalare Version, das heißt, die Version, die uns den Betrag der Coulombkraft angibt, fertig aufgeschrieben. Wir wollen uns aber auch die vektorielle Version ansehen. Immerhin hat unsere Kraft ja nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung. Und deswegen schreiben wir: Fcoul, 2,1 mit Vektorpfeil, das heißt, die Coulombkraft die von Ladung 2 auf Ladung 1 wirkt, ist gleich 1/(4πε)×(Q1×Q2)/r²×er21 mit Vektorpfeil. Das heißt, der Einheitsvektor, also ein Vektor der Länge 1, der von Ladung 2 zu Ladung 1 zeigt. So, dann wollen wir zum Schluss noch einmal wiederholen, was wir heute gelernt haben. Das Coulombsche Gesetz beschreibt die zwischen Ladungen wirkenden Kräfte. Es wurde 1785 von Charles Augustin de Coulomb entdeckt, mithilfe einer Drehwaage. Die Formel für die Coulombkraft in skalarer Form ist: Fcoul=1/(4πε)×(Q1×Q2)/r². Für die vektorielle Fassung muss noch der Einheitsvektor mit der Richtung zwischen Q2 und Q1 dazu. So, das war es schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen! Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

19 Kommentare

19 Kommentare
  1. Vielen Dank für die Rückmeldung.

    Wir bemühen uns, den Fehler schnellstmöglich zu korrigieren.

    Von Karsten S., vor mehr als 3 Jahren
  2. Hi Kalle
    Fehler in deiner Formel: es muss heißen r**2 und nicht r Index 2.
    Gruß Sigi

    Von Siegfried S., vor mehr als 3 Jahren
  3. @trink18,

    könnte es sein das du hier die "Permeabilität des Vakuums" mit der "Permittivität des Vakuums" verwechselst?

    \mu_Vakuum = 1
    \varepsilon _{0}\, = 8,85*10^-12 F/m²

    Von Karsten S., vor mehr als 4 Jahren
  4. In meiner Formelsamlung steht das die Permittivität vom Vakuum "1" beträgt. Ich versteh nicht wie man bei der Übugsaufgabe auf die Ziffer von "8,85*10^-12".

    Von Tmk18, vor mehr als 4 Jahren
  5. Wirklich sehr sehr gut erklärt

    Von Justin W., vor mehr als 5 Jahren
Mehr Kommentare

Coulomb'sches Gesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Coulomb'sches Gesetz kannst du es wiederholen und üben.
  • Zeige dein Wissen zum Coulombschen Gesetz.

    Tipps

    Das Coulombsche Gesetz war schon im 18. Jahrhundert bekannt.

    Lösung

    Das Coulombsche Gesetz wurde von Charles Augustin de Coulomb entdeckt und deshalb wird es Coulombsches Gesetz genannt. Er verwendete für seine Experimente zur Bestimmung des Gesetzes eine Drehwaage.

    Das Coulombsche Gesetzt beschreibt die Kraft zwischen kugel- beziehungsweise punktförmigen Ladungen. Diese Kräfte sind Teil der Elektrostatik.

  • Nenne die Ergebnisse Coulombs aus seinen Experimenten mit Ladungen und Drehwaage.

    Tipps

    Erinnere dich an die Permittivität oder elektrische Feldkonstante $\epsilon$.

    Lösung

    Coulomb führte Experimente mit einer Drehwaage durch. Aus seinen Ergebnissen konnte er folgendes schlussfolgern:

    - Die Kraft zwischen den beiden Ladungen ist proportional zum Produkt der Ladungen.

    - Die Kraft zwischen den beiden Ladungen ist antiproportional zum Abstand der Ladungen zum Quadrat.

    - Für mehr als zwei Ladungen addieren sich die Kräfte.

    Daraus ergibt sich das Coulombsche Gesetz zu:

    $F=k\frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2}$, wobei $k$ eine Konstante ist. Sie ergibt sich als

    $k=\frac{1}{4\pi \epsilon}$. $\epsilon$ ist die Permittivität oder elektrische Feldkonstante. Sie ist eine Materialkonstante und gibt an, wie gut elektrische Felder ein Material durchdringen können. Die Coulombkraft ist also abhängig vom Material.

  • Berechne die Kraft zwischen zwei kugelförmigen Ladungen.

    Tipps

    Erinnere dich an die Permittivitätskonstante. Die Permittivitätskonstante des Vakuums wird auch als Dielektrizitätskonstante oder elektrische Feldkonstante bezeichnet.

    Lösung

    Gegeben sind der Abstand der Ladungen $r=1\,m$ und die Beträge der Ladungen $Q_1=2\,C$ und $Q_2=1\,C$. Gesucht ist der Betrag der Coulombkraft. Für diesen sind die Vorzeichen der Ladungen irrelevant.

    Die Coulombgleichung lautet:

    $F=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2}$.

    Setzen wir die gegebenen Werte und die Permittivität des Vakuums $\epsilon= 8.854\cdot 10^{-12} \frac{F}{m}$ ein, ergibt sich:

    $F\approx \frac{1}{4\cdot 3,14\cdot 8.854\cdot 10^{-12} \frac{F}{m}}\frac{2\,C\cdot 1\,C}{(1\,m)^2}\approx 1,8\cdot 10^{10}\,\frac{C^2\cdot m}{F\cdot m^2}$.

    Farad ist Coulomb pro Volt und wir finden für die Einheit:

    $\frac{C^2\cdot m}{F\cdot m^2}=\frac{C\cdot V}{m}=\frac{J}{m}=N$.

    Die Kraft zwischen den beiden kugelförmigen Ladungen beträgt also:

    $F=1,8\cdot 10^{10}\,N$.

  • Bestimme die Permittivität von Petroleum.

    Tipps

    Schaue dir die Coulombgleichung genau an.

    Lösung

    Gegeben ist die Coulombkraft im Vakuum, die der Coulombkraft in Petroleum entspricht, falls $Q_3=2\cdot Q_2$ ist. Dabei ist $Q_2$ die Ladung der zweiten Kugel im Vakuum und $Q_3$ die Ladung der zweiten Kugel im Petroleum. Gesucht ist die Permittivität von Petroleum.

    Schauen wir uns die Coulombgleichung an:

    $F_V=\frac{1}{4\pi\epsilon_V}\frac{Q_1\cdot Q_2}{r^2}$

    und

    $F_P=\frac{1}{4\pi\epsilon_P}\frac{Q_1\cdot Q_3}{r^2}$,

    wobei $\epsilon_V$ die Permittivität des Vakuums und $\epsilon_P$ die Permittivität von Petroleum ist.

    Setzen wir nun $F_P$ und $F_V$ gleich, können wir viel auf beiden Seiten kürzen und erhalten:

    $\frac{Q_3}{\epsilon_P}=\frac{Q_2}{\epsilon_V}$.

    Durch Multiplizieren mit $\epsilon_P$ und Dividieren durch $\frac{Q_2}{\epsilon_V}$ auf beiden Seiten ergibt sich:

    $\epsilon_P=\frac{Q_3}{Q_2}\epsilon_V=\frac{2\cdot Q_2}{Q_2}\epsilon_V=2\cdot \epsilon_V \approx 17,708 \frac{F}{m}$.

  • Gib den Ablauf von Coulombs Experiment mit der Drehwaage wieder.

    Tipps

    Wie verhalten sich gleichnamige Ladungen?

    Was passiert, wenn ein geladenes Objekt ein leitendes Objekt berührt?

    Lösung

    Die Drehwaage ist folgendermaßen aufgebaut:

    Zwei leitende Kugeln, die über einen Stab verbunden sind, hängen an einem Band. Möchte man das Band verdrehen, spürt man einen Widerstand.

    Eine der Kugeln berührt eine weitere leitende Kugel an einem Stab aus nichtleitendem Material.

    Das Experiment zur Bestimmung des Coulombschen Gesetzes läuft nun auf folgende Weise ab:

    Mit einer weiteren leitenden Kugel werden Ladungen auf die beiden sich berührenden Kugeln gebracht. Gleichnamige Ladungen stoßen sich durch die Coulombkraft ab. Deshalb entfernen sich die Kugeln voneinander. Dadurch wird das Band verdreht, was wieder eine Drehkraft auf den Stab bewirkt, die der Coulombkraft entgegengesetzt ist. Der Stab dreht sich also so weit, bis die Drehkraft des Bands und die Coulombkraft genau gleich sind. Daraus lässt sich die Coulombkraft berechnen.

  • Berechne den Abstand aus der Torsionskraft.

    Tipps

    Die Kraft zwischen den beiden Kugeln entspricht der Coulombkraft zwischen den Ladungen.

    Lösung

    Gegeben ist die Ladung auf den beiden Kugeln $Q=2\cdot 10^{-5}\,C$ und die Kraft zwischen den Kugeln $F=50\,N$. Gesucht ist der Abstand der Kugeln.

    Die Coulombgleichung besagt für $Q_1=Q_2=Q$

    $F=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q^2}{r^2}$.

    Durch Multiplikation mit $r^2$ und Division durch $F$ auf beiden Seiten der Gleichung erhalten wir:

    $r^2=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q^2}{F}$.

    Nehmen wir auf beiden Seiten die Wurzel, finden wir für den Abstand der Kugeln:

    $r=\frac{1}{\sqrt{4\pi\epsilon\cdot F}}Q$.

    Indem wir einsetzen, finden wir:

    $r \approx \frac{1}{\sqrt{4\cdot 3,14\cdot 8,854 \cdot 10^{-12}\frac{F}{m}\cdot 50\, N}}2\cdot 10^{-5}\,C \approx 0,268\,\sqrt{\frac{m}{N\cdot F}}C$.

    Farad ist Coulomb pro Volt und Volt ist Joule pro Coulomb. Also ist Farad gleich Coulomb zum Quadrat durch Joule. Joule ist Newton mal Meter. Also ist Farad mal Newton gleich Coulomb zum Quadrat pro Meter. Also ergibt sich für die Einheit:

    $\sqrt{\frac{m}{N\cdot F}}C=\sqrt{\frac{m^2}{C^2}}C=m$

    und wir erhalten für den Abstand der Ladungen das Ergebnis:

    $r=26,8\,cm$.

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