Reaktion erster Ordnung - Logarithmische Form

Hallo liebe Chemieinteressierte. Hier ist Andrej mit dem Video "Reaktion erster Ordnung logarithmischer Formen". Das Ziel des Videos ist die Umformung der Funktion c(t) in die logarithmische Form und eine anschließende kurze Diskussion. Zu den Lernvoraussetzungen: es wäre wünschenswert, wenn Ihr die Leistungskurse Chemie und Mathematik in der Klassenstufe 12 besuchen würdet. Auf alle Fälle ist es von nutzen, wenn Ihr die Grundlagen der Analysis, Differenzialrechnung und Integralrechnung beherrscht. Auf alle Fälle wäre es schön, wenn Ihr bereits die Videos zur Reaktionskinetik, Reaktion erster Ordnung c(t) und v(t) gesehen hättet. Kommen wir somit zum ersten Teil des Videos: "Umformung der Konzentrationsfunktion in der Abhängigkeit von der Zeit". Wir haben bereits gesehen, dass die Reaktion erster Ordnung der Funktionsgleichung c=c0×e hoch-k×t genügt. Zur Erinnerung die verwendeten Symbole: "c" bedeutet Konzentration des Ausgangstoffes bei der Zeit "t". "c0" ist die Konzentration dieses Ausgangstoffes zu Beginn der Reaktion bei der Zeit "t=0". "e" bedeutet die eulersche Zahl, die ungefähr 2,718 beträgt. "k" ist die Geschwindigkeitskonstante für diese Reaktion, die nur temperaturabhängig ist. Bei "t" handelt es sich um die Zeit. Kommen wir nun zur Umformung. Als erster Schritt werden wir die Funktionsgleichung logarithmieren. Wir verwenden den natürlichen Logarithmus, das heißt die Basis "e". Um das zu symbolisieren, schreiben wir nur das Logarithmussymbol "ln" vor beide Seiten der Gleichung.

Um zu symbolisieren das sich der Logarithmus auf den gesamten Term der rechten Seite bezieht, setzen wir ihn in eine rote Klammer. Nun verwenden wir ein Logarithmusgesetz. Der Logarithmus des Produktes von a×b=Summe der Logarithmen von a und b. Auf unsere Gleichung angewendet bedeutet das lnc links bleibt erhalten und rechts lnc0+lne hoch -k×t. Als nächstes verwenden wir auf unsere Gleichung das Logarithmusgesetz für Potenzen loga hoch n=n×loga. In Anwendung auf unsere Gleichung bedeutet das die linke Seite bleibt unverändert lnc und auf der rechten Seite ergibt sich unter Anwendung dieses Gesetzes lnc0+(-k×t)×lne. Wir enden mit der Umformung unten rechts und setzen fort im abgeteilten Abschnitt oben links. Wir verwenden nun ein Logarithmen Gesetz. Wir erinnern uns lne=log von e zur Basis e. Das bedeutet aber das es sich um den Ausdruck 1 handelt. Dadurch vereinfacht sich unsere Gleichung zu lnc=lnc0-k×t. Wir stellen nun auf der rechten Seite die beiden Summanden um. Und erhalten schließlich lnc=-k×t+lnc0. Und haben damit den logarithmischen Ausdruck erzielt. Die logarithmische Form der Funktion c(t) hat große Bedeutung bei der Untersuchung chemischer Reaktion bzgl. ihrer Reaktionsgenetik auf Reaktion erster Ordnung. Das werden wir nun zeigen. Schauen wir uns die Funktion im roten Kasten einmal etwas genauer an. Für die linke Seite lnc können wir einfach schreiben "y". Und auf der rechten Seite ist es möglich für "-k" zu schreiben "m". Denn "k" ist für ein und dieselbe chemische Reaktion unter konstanten Bedingungen eine Konstante. "t" ist eine Variable und wir schreiben für sie "x". Für lnc0 können wir für ein und dieselbe chemische Reaktion lnc0, unter bestimmten konstanten Bedingungen schreiben, ist gleich "n". Somit erhalten wir y=m×x+n.

Also eine einfache lineare Funktion. Den Wert der Vorarbeit werdet Ihr nun erkennen, wenn wir die auf Linearform gebrachte Funktion grafisch darstellen. Dazu verwenden wir ein einfaches Koordinatensystem im ersten Quadranten. An der Ordinate tragen wir lnc ab und auf der Abszisse t. Eine Reaktion erster Ordnung wird experimentell untersucht. Die Messwerte mit lila Farbe könnten in etwa so in die Grafik eingetragen werden. Die Ausgleichskurve wird mit roter Farbe dargestellt. Der Schnittpunkt der Ausgleichskurve mit der Y-Achse ist dann lnc0. Das ist noch kein bewundernswertes Ergebnis. Weil bedeutsamer ist es, wenn wir die Steigung der Ausgleichskurve betrachten. Wir wählen uns 2 Stellen t1 und t2 und betrachten die entsprechenden Funktionswerte lnc1 und lnc2 dazu. Wie wir wissen, ergibt sich dann die Steigung dieser Kurve zu lnc2-lnc1/t2-t1. Das ergibt -k. Somit sind wir in der Lage die Geschwindigkeitskonstante diese Reaktion erster Ordnung experimentell zu bestimmen. Den Steigungswinkel der linearen Funktion habe ich mit brauner Farbe Alpha eingetragen. Selbstverständlich ist die Gleichung Tangenz-Alpha=-k mathematisch richtig. Es ist aber Vorsicht geboten. Aus 2 Gründen, der erste Grund ist die Skalierung und der zweite Grund sind die verwendeten Einheiten. Die ja letztendlich keine einheitslose Größe ergeben. Wenn Ihr Euch nicht ganz sicher seid, verzichtet lieber besser auf diesen Ansatz und verwendet den mit orangefarbener Farbe links unten. Das letzte Bild sollten wir noch einmal genießen. Ich finde es ist immer schön, wenn sich Mathematik, Physik und Chemie zu Höchstleistung aufschwingen und schöne Ergebnisse liefern. Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit. Vielleicht konnte ich Euch helfen. Alles Gute und tschüss.