Reaktion erster Ordnung - Halbwertszeit

Liebe Chemiefreundinnen und -freunde, hier ist Andre.

Ich begrüße Euch ganz herzlich zum Video "Reaktion 1. Ordnung - Halbwertszeit".

Eine Reaktion 1. Ordnung wird durch eine kinetische Gleichung V=-k×c beschrieben. V ist dabei die Reaktionsgeschwindigkeit des Zerfalls des Eduktes und k ist die Geschwindigkeitskonstante. Man erhält als Funktion c(t): c=c0×e^-k×t.

Und noch einmal alle verwendeten Symbole in der Übersicht: V ist die Reaktionsgeschwindigkeit des Zerfalls des Eduktes, k ist die Geschwindigkeitskonstante, t ist die Zeit der chemischen Reaktion, c ist die Konzentration des Edukts und c0 die Konzentration des Edukts bei t=0. e ist die eulerische Zahl, eine irrationale Zahl, die etwa den Wert von 2,718 hat.

Welche Voraussetzungen solltet ihr wünschenswerterweise besitzen, um euch dieses Video anzuschauen? Es wäre schön, wenn ihr die Leistungskurse in Mathematik und Chemie in der 12. Klasse besetzen würdet. Sollte dies nicht der Fall sein, so ist es aber unabdingliche Voraussetzung, dass ihr die Logarithmen- und Potenzgesetze gut beherrscht.

Nun zum Begriff der Halbwertszeit: Bei der Halbwertszeit handelt es sich um die Zeit, die notwendig ist, damit die Hälfte der Teilchen der chemischen Reaktion 1. Ordnung zerfallen. Der Pfeil und das Sternchen bedeuten hier, dass es eine vollwertige Analogie zum radioaktiven Zerfall gibt.

Nun wollen wir versuchen, die Halbwertszeit T½ durch k auszudrücken. Dazu formulieren wir 2 Gleichungen. Beide beziehen sich auf die Gleichung, die wir erhalten haben, in der die Abhängigkeit der Konzentration von der Zeit oben in der Mitte dargestellt ist.

Somit ergibt sich: Gleichung 1: c=c0×e^-k×t. Gleichung 2: ½c=c0×e^-k(t+T½).

Gleichung 2 ergibt sich aus der Definition der Halbwertszeit. Die Hälfte der Konzentration ist nur noch vorhanden, also links ½c, und dafür war die Zeit T½ notwendig. Wir starten also bei t und addieren dazu T½, siehe die rechte Seite der Gleichung 2. Wir vereinigen beide Gleichungen, indem wir 1/2 dividieren. Wir erhalten für Links c/½c und rechts im Zähler c0×e^-k×t und im Nenner c0×e^-k(t+T½). Durch diesen Klugschritt kürzen sich sowohl c als auch c0 gegenseitig heraus.

Wir schreiben die erhaltene Gleichung rechts in der Mitte der Tafel noch einmal auf. Wir formen äquivalent um. Darunter auf der linken Seite 1/½, ergibt sich 2. Und auf der rechten Seite wird der Nenner in den Zähler gebracht, indem der Exponent mit -1 multipliziert wird, siehe Potenzgesetz. Die 1 im Nenner habe ich weggelassen.

Von der 2. zur 3. Zeile auf der rechten Seite der Tafel kommen wir über ein Potenzgesetz. Man kann Potenzen miteinander multiplizieren, wenn sie gleiche Basen haben. Dann bleibt die gemeinsame Basis erhalten und die Exponenten werden addiert. Wir machen weiter in der Tafelmitte, links.

Die linke Seite der Gleichung bleibt erhalten. Auf der rechten Seite multiplizieren wir den rechten Teil des Exponenten aus. Wir erhalten: e^{-k×t+k×t+k×T½}. -kt+kt heben sich gegenseitig auf und wir erhalten darunter in der nächsten Zeile: 2=e^k×T½. Nun logarithmieren wir zur Basis e mit dem natürlichen Logarithmus.

1. Zeile: Wir schreiben zunächst nur das Logarithmuszeichen vor die entsprechenden Ausdrücke links und rechts.

2. Zeile, links unten: Wir verwenden das Logarithmengesetz lna^b=b×lna. Das ergibt ln2=k×T½×lne. Wir erinnern uns, lne ist der Logarithmus zur Basis e, also loge(e).

Jetzt noch rechts weggewischt und wir können fortfahren. Wir erinnern uns: Logarithmus zur Basis e=1. Damit ergibt sich für unsere Gleichung ln2=k×T½.

1. Zeile rechts: Wir dividieren nunmehr die erhaltene Gleichung durch k und vertauschen die Seiten und erhalten das gewünschte Endergebnis: T½, die Halbwertzeit, =ln2/k, die Geschwindigkeitskonstante.

Die physikalische Bedeutung der Halbwertszeit können wir noch einmal grafisch darstellen. Wir sehen, wenn sich die Anfangskonzentration c0 um die Hälfte vermindert, wir erhalten ½c0, muss eine Zeit vergangen sein, die der Halbwertszeit T½ entspricht. Und weiter: Wenn ½c0 wieder halbiert wird, wir also ¼c0 erhalten, ist wieder eine Zeit vergangen, die gleich der Halbwertszeit ist.

Zum Abschluss noch 2 wichtige Bemerkungen: Die Halbwertszeit ist bei n=1, in der Reaktion 1. Ordnung, ein Maß für k, die Reaktionsgeschwindigkeit. Für n=1 hängt T½ nur von k ab.

Die Zeit vergeht schnell, wenn man nett miteinander plaudert. Das wars schon wieder für heute.

Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!