Die radioaktive Zerfallsgeschwindigkeit

Hallo und herzlich willkommen. Heute geht es um das Thema "Die radioaktive Zerfallsgeschwindigkeit". Nach dem Video weißt du, wie die Geschwindigkeit radioaktiver Zerfallsprozesse beschrieben werden kann und außerdem, was die Halbwertszeit ist. Um das Video zu verstehen, solltest du allerdings bereits wissen, was Radioaktivität ist. Des Weiteren solltest du ein paar mathematische Grundkenntnisse mitbringen, zum Beispiel die Kenntnis darüber, was eine Exponentialfunktion ist. Außerdem wäre es gut, wenn du weißt, wie Masse, Stoffmenge und Teilchenzahl zusammenhängen. Zunächst einmal ist es wichtig, dass man sich vor Augen hält, dass radioaktive Zerfallsprozesse spontane Vorgänge sind. Was heißt das? Das heißt einfach nur, dass ein radioaktiver Zerfall stattfindet, ohne, dass es voraussehbar wäre, wann es genau passiert und bei welchem Atom es passiert. Man kann also nicht voraussagen, wann welches Atom zerfällt, aber wenn man eine bestimmte Menge von Atomen hat, oder von Atomkernen hat, dann kann man durchaus statistisch eine Voraussage treffen, indem man sagt "Nach so und so viel Zeit werden so und so viele Kerne voraussichtlich zerfallen sein.". Haben wir zum Beispiel ein Bröckchen Material, das aus 32 instabilen Kernen besteht, so werden wir nach einer bestimmten Zeitspanne feststellen, dass die Hälfte dieser Kerne zerfallen sein wird. Warten wir dann noch mal dieselbe Zeitspanne, dann werden wir feststellen, dass dann von den verbliebenen 50 % noch einmal 50 % zerfallen sein werden. Warten wir dann noch mal solange, dann wird wieder die Hälfte der verbliebenen Kerne zerfallen sein und nochmal die Zeitspanne wiederum die Hälfte zerfallen sein. Übrig bleiben wird sozusagen immer die Hälfte der Hälfte der Hälfte der Hälfte der Hälfte und so weiter. Man kann also sagen: Die Zahl der pro Zeiteinheit zerfallenen Kerne ist der Menge der gerade vorhandenen Kerne proportional. Und nun wird es leider etwas mathematisch. Man kann also sagen dN/dt=-λ×N. N ist dabei die Menge der vorhandenen Kerne, t ist die Zeit. Was will uns diese Gleichung sagen? dN ist die Menge der zerfallenden Kerne und dt ist die Zeitspanne. Das heißt, wie viele Kerne pro Zeiteinheit zerfallen, wird durch dN/dt ausgedrückt. Und nun hatten wir ja gesagt, dass dN/dt der Ausgangsmenge proportional ist, das heißt, wir können schreiben -λ×N, wobei Lambda der Proportionalitätsfaktor ist, den wir hier Zerfallskonstante nennen. Wie groß Lambda genau ist, hängt von dem Stoff ab, den wir betrachten. Also manche Elemente, oder manche Kernsorten zerfallen schneller, manche zerfallen langsamer. Weiterhin sollte man an dieser Stelle schon sagen, dass der Ausdruck dN/dt auch als die sogenannte Aktivität bezeichnet wird, A(t). So, nun wird es noch mathematischer, denn ich möchte euch zeigen, wie man diesen Gedanken in Form von mathematischen Formeln verwursten kann, um dann schlussendlich auf ein Gesetz zu kommen, das man das sogenannte Zerfallsgesetz nennt. Den eben beschriebenen Ausdruck dN/dt=-λ×N können wir nun als Ausgangspunkt nehmen für die Herleitung dieses Zerfallsgesetzes. Dazu multiplizieren wir auf beiden Seiten der Gleichung zunächst mit dt, also mit der Zeitspanne, die wir betrachten. Heraus kommt der Ausdruck dN=-λ×N×dt. Die Füchse unter euch werden schon erkannt haben, wir haben es hier mit einer Differenzialgleichung zu tun, die wir durch Integration lösen können. Dafür müssen wir allerdings noch durch N teilen, die Gleichung auf beiden Seiten, und erhalten dann 1/N×dN=-λ×dt. So und jetzt können wir integrieren. Auf der linken Seite integrieren wir zwischen den Grenzen N0 und Nt. N0 ist die am Anfang des betrachteten Zeitraums vorhandene Menge an Atomen und Nt ist die am Ende des betrachteten Zeitraums vorhandene Menge an Atomen oder an Atomkernen. Auf der rechten Seite integrieren wir zwischen den Grenzen 0 und t. Das heißt vom Beginn des Zeitraums bis zum Ende des betrachteten Zeitraums. Nach der Integration ergibt sich der Ausdruck ln(Nt/N0)=-λ×t. Nun machen wir aus dieser logarithmischen Gleichung eine Exponentialgleichung und erhalten den Ausdruck Nt/N0=e^-λ×t. Nun multiplizieren wir beide Seiten Der Gleichung mit N0 und kommen zum Ausdruck Nt=N0×e^-λ×t. Und damit wären wir auch schon am Ziel. Das ist das radioaktive Zerfallsgesetz. Was bedeutet in dieser Gleichung was? Nt ist die Anzahl der zum Zeitpunkt t noch nicht zerfallenen Kerne. N0 ist die Anzahl der ursprünglich vorhandenen Kerne. t ist die Zeit und λ ist immer noch die Zerfallskonstante, die stoffspezifisch ist. Und e ist die Eulersche Zahl, eine Konstante. Warum soll dieses Gesetz so wichtig sein? Nun, mit seiner Hilfe können wir zum Beispiel berechnen, wie viele Atome übrig bleiben, wenn wir eine bestimmte Ausgangsmenge haben eines bestimmten Stoffes, mit einem bestimmten Lambda und eine gewisse Zeitspanne warten. Oder wir können auch die benötigte Zeit berechnen, um aus einer bestimmten Ausgangsmenge eines bestimmten Stoffes durch radioaktiven Zerfall eine bestimmte Menge Nt zu erhalten. Natürlich wissen wir nicht immer, wie viele Kerne wir genau vor uns haben. Wer würde die schon alle zählen? Aber Teilchenzahl, Stoffmenge und Masse sind ja bekanntlich miteinander verknüpft. Teile ich das Zerfallsgesetz - wie wir es eben hingeschrieben hatten - auf beiden Seiten der Gleichung durch NA, das ist die Avogadro-Konstante, dann erhalte ich den Ausdruck nt=n0×e^-λt. n ist die Stoffmenge. Teile ich den so erhaltenen Ausdruck durch die Molmasse des betrachteten Stoffes, dann erhalte ich die Masse, also mt=m0×e^-λt. Weiß ich also, wie viel Gramm ich ursprünglich von dem Stoff habe und kenne ich das Lambda von diesem Stoff und messe die Zeit, dann kann ich ausrechnen, wieviel Gramm dieses Stoffes am Ende dieser Zeit noch übrig sind. An dieser Stelle sollte man noch einmal auf den Begriff der Aktivität zurückkommen, der sehr häufig benutzt wird. Und wir hatten ja gesagt, die Aktivität ist dN/dt, also die Ableitung der Anzahl der Teilchen nach der Zeit. Leite ich nun unser Zerfallsgesetz nach der Zeit ab, dann erhalte ich den Ausdruck A(t)=-λ×N0×e^-λt. Der Ausdruck -λ×N0 nennen wir nun A0 und schon ist das Zerfallsgesetz bezogen auf die Aktivität komplettiert, was da lautet A(t)=A0×e^λt. Nun zum Begriff der Halbwertszeit: Die Halbwertszeit ist jene Zeitspanne, in der die Hälfte der  vorhandenen Kerne zerfällt. Je nachdem mit welchem Stoff wir es zutun haben, also mit welcher Atomsorte, haben wir eine andere Halbwertszeit. Das heißt, die Halbwertszeit ist stoffspezifisch. Wir bezeichnen sie auch mit t½. Auch für die Halbwertzeit kann man einen klaren mathematischen Ausdruck herleiten, und zwar, indem man im Zerfallsgesetz Nt=N0×e^-λt durch den Ausdruck N0/2 ersetzt. Das ist deshalb sinnvoll, weil wir ja die Halbwertszeit definieren als jene Zeit, in der die Hälfte der Kerne zerfallen ist. Weiterhin ersetzen wir den Ausdruck t durch t½. Diese Exponentialgleichung lösen wir nun nach t½ auf, wobei ich jetzt nicht die einzelnen Schritte darstellen möchte, sondern nur das Ergebnis das da lautet t½=ln2/λ. Wie man sieht, hängt t½ direkt von Lambda ab, was erklärt, warum t½ sowie Lambda auch stoffspezifisch ist. So, und damit wären wir auch schon am Ende des Videos angelangt. Wir haben darin gelernt, wie die Geschwindigkeit radioaktiver Zerfallsprozesse beschrieben werden kann, nämlich durch das sogenannte Zerfallsgesetz Nt=N0×e^-λt Des Weiteren haben wir gelernt, was die Halbwertszeit bei radioaktiven Zerfallsprozessen ist, nämlich jene Zeit, die benötigt wird, um die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Kerne zerfallen zu lassen. Beschrieben wird sie durch den Ausdruck t½=ln2/λ. Ich weiß, das war alles sehr theoretisch und sehr mathematisch. Aus diesem Grunde gibt es ein Folgevideo, in dem Übungen zu diesem Thema durchgeführt werden. Vielen Dank fürs Zuschauen, tschüss und bis zum nächsten Mal!