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Zusammengesetzter Dreisatz
Erfahrt, wann der zusammengesetzte Dreisatz erforderlich ist und wie man ihn löst. Seid wie die schlauen Pinguine und nutzt Mathe für eine bessere Planung! Interessiert? Das und vieles mehr findet ihr im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Zusammengesetzter Dreisatz
Wie rechnet man mit dem zusammengesetzten Dreisatz?
Die Eiswürfelfabrik der Pinguine läuft so gut, weil die Pinguine viel in Mathe gelernt haben und nun den zusammengesetzten Dreisatz in der Planung einsetzen. Oft wird der zusammengesetzte Dreisatz auch doppelter Dreisatz genannt.
Der zusammengesetzte Dreisatz kommt zur Anwendung, wenn der einfache Dreisatz zur Berechnung des gesuchten Wertes nicht ausreicht, weil zwei Zuordnungen vorliegen. An den folgenden Beispielen wird der zusammengesetzte Dreisatz einfach erklärt. Wenn du vorher noch mal den einfachen Dreisatz wiederholen möchtest, kannst du dir das Video zu Aufgaben zum Dreisatz anschauen.
Zusammengesetzter Dreisatz – proportional und proportional
Zwei Maschinen der Fabrik produzieren in drei Stunden 98 Eiswürfel. Wie viele Eiswürfel können mit sechs Maschinen in acht Stunden produziert werden?
Für diese Berechnung setzen wir den zusammengesetzten Dreisatz ein. Zunächst stellen wir fest, dass hier zwei proportionale Zuordnungen vorliegen. Je mehr Maschinen, desto mehr Eiswürfel und je länger die Maschinen arbeiten, desto mehr Eiswürfel werden produziert. Wir berechnen zuerst, wie viele Eiswürfel sechs Maschinen in drei Stunden produzieren würden. Danach können wir auf die Stundenanzahl hochrechnen.
Wir nehmen nun das Ergebnis aus dieser ersten Berechnung und schreiben dies zusammen mit der Stundenanzahl als neue Ausgangsgröße auf:
In drei Stunden produzieren sechs Maschinen also 294 Eiswürfel. Wir teilen beide Seiten durch 3 und wissen dann, dass sechs Maschinen in einer Stunde 98 Eiswürfel produzieren. Nun multiplizieren wir wiederum beide Seiten mit 8:
In acht Stunden produzieren sechs Maschinen also 784 Eiswürfel.
Zusammengesetzter Dreisatz – antiproportional und antiproportional
Wir schauen uns nun eine weitere Übung zum doppelten Dreisatz an. Der Wassertank der Fabrik hält 48 Tage, wenn zwei Maschinen jeden Tag neun Stunden arbeiten. Wie lange würde der Wassertank halten, wenn sechs Maschinen zwölf Stunden am Tag arbeiten würden?
Auch diese Frage können wir mit dem zusammengesetzten Dreisatz lösen. Hier liegen nun allerdings zwei antiproportionale Zuordnungen vor. Je mehr Maschinen arbeiten, desto kürzer hält der Vorrat, und je länger die Maschinen pro Tag arbeiten, desto kürzer hält der Vorrat.
Wir starten mit der Berechnung der Anzahl der Tage und rechnen dann hoch auf die Anzahl der Maschinen. Wir rechnen auf der linken Seite erst auf eine Stunde runter und dann hoch auf 12 Stunden. Da wir eine antiproportionale Zuordnung vorliegen haben, müssen wir auf der anderen Seite die jeweilige Gegenoperation nehmen. Die gesamte Rechnung sieht dann wie folgt aus:
Bei einer täglichen Arbeitszeit von 12 Stunden und zwei laufenden Maschinen würde der Tank also 36 Tage reichen.
Nun müssen wir herausfinden, wie lange der Tank bei sechs laufenden Maschinen reichen würde. Hierfür nehmen wir wieder das Ergebnis aus dem ersten Dreisatz und rechnen damit weiter. Auch hier müssen wir mit den Gegenoperationen arbeiten, weil eine antiproportionale Zuordnung vorliegt.
Der Tank würde also zwölf Tage reichen, wenn sechs Maschinen pro Tag zwölf Stunden arbeiten würden.
Zusammengesetzter Dreisatz – antiproportional und proportional
Nun schauen wir uns noch eine dritte Aufgabe zum doppelten oder zusammengesetzten Dreisatz an. Die Wassertanks in der Fabrik werden mit Schläuchen aufgefüllt. Es dauert sechs Stunden, um zwei Tanks mit zwei Schläuchen aufzufüllen. Wie lange dauert es, sechs Tanks mit drei Schläuchen aufzufüllen?
Dieses Mal haben wir eine antiproportionale und eine proportionale Zuordnung vorliegen. Wir wollen zunächst herausfinden, wie lange das Auffüllen von zwei Tanks mit drei Schläuchen in sechs Stunden dauert. Dafür rechnen wir:
Dieses Ergebnis verwenden wir für den zweiten Dreisatz:
Bei drei Schläuchen würde das Auffüllen von sechs Tanks also zwölf Stunden dauern.
Zusammengesetzter Dreisatz – Zusammenfassung
Der Lösungsweg beim zusammengesetzten Dreisatz kann in drei Schritte aufgeteilt werden:
- Schritt: Zuordnungen erkennen
- Schritt: 1. Dreisatz
- Schritt: 2. Dreisatz unter Verwendung des Ergebnisses aus dem 1. Dreisatz
Es ist dabei egal, welchen Dreisatz du zuerst anwendest, es kommt immer das gleiche Ergebnis heraus.
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Die Eiswürfel-Fabrik der drei Pinguine läuft so gut wie noch nie. Und das liegt daran, dass sie für ihre Planung den doppelten Dreisatz verwenden. Oft wird dieser auch zusammengesetzter Dreisatz genannt. Man verwendet ihn, wenn der einfache Dreisatz zur Berechnung des gesuchten Wertes nicht ausreicht und zwei Zuordnungen vorliegen. Schauen wir uns dazu doch einmal ein Beispiel an: 2 Maschinen der Pinguine produzieren in 3 Stunden 98 Eiswürfel. Wie viele Eiswürfel produzieren 6 Maschinen in 8 Stunden? Zunächst berechnen wir, wie viele Eiswürfel 6 Maschinen produzieren würden und dann können wir auf die Stundenzahl hochrechnen. Wir haben hier zwei proportionale Zuordnungen. Je mehr Maschinen, desto mehr Eiswürfel. Ebenso werden mehr Eiswürfel produziert je länger die Maschinen arbeiten. 2 Maschinen produzieren 98 Eiswürfel. Teilen wir auf beiden Seiten durch 2, so sehen wir, dass eine Maschine 49 Eiswürfel in der gleichen Zeit produziert. Multiplizieren wir auf beiden Seiten mit 6 so sehen wir, dass 6 Maschinen in 3 Stunden 294 Eiswürfel produzieren. Nun müssen wir nur noch herausfinden, wie viele Eiswürfel in 8 Stunden produziert werden. Wir nehmen das Ergebnis des ersten Dreisatzes und schreiben es zusammen mit der Stundenanzahl als neue Ausgangsgröße auf. In 3 Stunden produzieren 6 Maschinen also 294 Eiswürfel. Teilen wir bei beiden Seiten durch 3 so sehen wir, dass 6 Maschinen in 1 Stunde 98 Eiswürfel produzieren. Multiplizieren wir nun beide Seiten mit 8 erhalten wir die Eiswürfelanzahl bei 6 Maschinen nach 8 Stunden. In 8 Stunden produzieren 6 Maschinen also 784 Eiswürfel. Für die Produktion der Eiswürfel verwenden die Pinguine einen Wassertank wie diesen. Der Wassertank hält 48 Tage, wenn 2 Maschinen 9 Stunden pro Tag arbeiten. Wie lange würde der Wassertank halten, wenn 6 Maschinen 12 Stunden pro Tag arbeiten würden? Auch hier können wir wieder den doppelten Dreisatz verwenden, doch dieses mal haben wir zwei antiproportionale Zuordnungen. Je mehr Maschinen arbeiten, desto kürzer hält der Vorrat. Dasselbe gilt, wenn die Maschinen pro Tag länger arbeiten. Bei einer Arbeitszeit von 9 Stunden pro Tag, reicht der Wasservorrat 48 Tage. Da wir eine antiproportionale Zuordnung haben, teilen wir auf der einen Seite durch 9 und multiplizieren auf der anderen Seite mit 9. Bei einer Arbeitszeit von 1 Stunde, reicht der Vorrat also 432 Tage. Nun multiplizieren wir auf der einen Seite mit 12 und dividieren auf der anderen Seite durch 12. Bei 2 Maschinen und einer Arbeitszeit von 12 Stunden, würde der Vorrat also 36 Tage reichen. Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, wie lange der Vorrat bei 6 Maschinen reichen würde. Dafür verwenden wir den zweiten Dreisatz mithilfe der Ergebnisse des ersten Dreisatzes. Wir teilen die eine Seite durch 2 und multiplizieren die andere Seite mit 2. Bei einer Maschine würde der Vorrat also 72 Tage halten. Nun multiplizieren wir mit 6 und dividieren durch 6. Bei einer Arbeitszeit von 12 Stunden pro Tag und 6 Maschinen würde der Vorrat also 12 Tage lang halten. Die Produktion ist immer noch voll im Gange. Ist ein Tank leer, so wird er mithilfe eines Schlauchs aufgefüllt. Das Auffüllen von zwei Tanks mit zwei Schläuchen dauert 6 Stunden. Wie lange würde das Auffüllen von 6 Tanks mit 3 Schläuchen dauern? Dieses Mal haben wir eine antiproportionale und eine proportionale Zuordnung: Je mehr Schläuche, desto weniger Zeit wird das Auffüllen benötigt. Je mehr Maschinen, desto länger dauert das Auffüllen. Wir wollen zunächst herausfinden, wie lange das Auffüllen von zwei Tanks mit 3 Schläuchen dauert. Wir teilen auf der einen Seite durch 2 und multiplizieren auf der anderen Seite mit 2. Nun rechnen wir dies für 3 Schläuche aus. 3 Schläuche brauchen also 4 Stunden um 2 Tanks aufzufüllen. Dies hilft uns nun wieder bei dem zweiten Dreisatz. Wir teilen auf beiden Seiten durch 2 und multiplizieren mit 6. Bei 6 Tanks würde das Auffüllen also 12 Stunden lang dauern. Gut, dass die Pinguine so einen Plan bei ihrer Produktion haben. Fassen wir zusammen. Hast du eine Aufgabe gegeben, bei der du den doppelten Dreisatz verwenden kannst, so ist es hilfreich zunächst die verschiedenen Zuordnungen zu erkennen. Dann berechnet man den ersten Dreisatz. Das Ergebnis hilft bei der Berechnung mit dem zweiten Dreisatz. Mit welchem der beiden Dreisätze du anfängst ist nicht wichtig, es sollte dasselbe Ergebnis herauskommen. Läuft die Produktion denn noch? Fehlt da nicht einer?
Zusammengesetzter Dreisatz Übung
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Berechne die Lösung mit einem doppelten Dreisatz.
TippsIm ersten Teil der Rechnung halten wir die Zeit, in der produziert wird, konstant. Dann berechnen wir mit einem Dreisatz die korrekte Anzahl der ersten Zuordnung zwischen Anzahl der Maschinen und Eiswürfel.
Hast du einen Dreisatz für eine der beiden Zuordnungen aufgestellt, kannst du so rechnen, wie du es für Dreisätze gewohnt bist.
LösungSo kannst du die Lösung bestimmen:
$2$ Maschinen produzieren in $3$ Stunden $98$ Eiswürfel. Um zu berechnen, wie viele Eiswürfel eine Maschine produziert, teilen wir die Zuordnung durch $2$.
Eine Maschine produziert also $98:2=49$ Eiswürfel.
Anschließend werden beide Seiten der Zuordnung mit $6$ multipliziert.
Also produzieren sechs Maschinen $49\cdot 6=294$ Eiswürfel.
Im ersten Teil der Rechnung halten wir die Zeit, in der produziert wird, konstant. Dann berechnen wir mit einem Dreisatz die korrekte Anzahl der ersten Zuordnung zwischen Anzahl der Maschinen und Eiswürfel.
Sechs Maschinen produzieren also in $3$ Stunden $294$ Eiswürfel. Um zu berechnen, wie viele Eiswürfel in einer Stunde produziert werden, teilen wir beide Seiten durch $3$.
In einer Stunde werden also $294:3=98$ Eiswürfel produziert.
Anschließend multiplizieren wir beide Seiten mit $8$.
Also produzieren $6$ Maschinen in $8$ Stunden $98\cdot 8=784$ Eiswürfel.
Im zweiten Teil halten wir die Anzahl der Maschinen konstant und rechnen nur mit der zweiten Zuordnung zwischen Zeit und Eiswürfel.
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Berechne die Lösung mit einem doppelten Dreisatz.
TippsIn der Rechnung halten wir zunächst die Anzahl der Tanks konstant und berechnen, wie lange es dauert, die zwei Wassertanks über $3$ Schläuche zu füllen.
Beachte, ob es sich bei dem jeweiligen Dreisatz um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt.
LösungIn der Rechnung halten wir zunächst die Anzahl der Tanks konstant und berechnen, wie lange es dauert, $3$ Tanks über $3$ Schläuche zu füllen. Beachte, dass es sich dabei um eine antiproportionale Zuordnung handelt. Je mehr Schläuche verwendet werden, desto kürzer dauert es.
Im zweiten Teil halten wir die Anzahl der Schläuche konstant und berechnen, wie lange es dauert, $6$ Tanks zu füllen. Beachte, dass es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung handelt. Denn je mehr Tanks gefüllt werden müssen, desto länger dauert es.
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Wende einen doppelten Dreisatz an.
TippsDie zweite Zuordnung zwischen der Anzahl der Sprayer und der benötigten Zeit ist antiproportional.
Bei einer antiproportionalen Zuordnung teilst du die zweite Größe durch diejenige Zahl, mit der du die erste Größe multiplizierst.
LösungZuerst halten wir die Anzahl der vier Personen konstant. Die Zuordnung zwischen der Anzahl der Waggons und der benötigten Zeit ist proportional.
$8$ Waggons entsprechen $12$ Stunden.
Also teilen wir beide Seiten dieser Zuordnung durch $8$.
- Sie benötigen also für einen Waggon $1,5$ Stunden.
Jetzt können wir diese Zuordnung mit der Anzahl der Waggons multiplizieren. Wir erhalten:
- Für zwei Waggons brauchen sie $3$ Stunden.
- Für zwölf Waggons brauchen sie $18$ Stunden.
- Für sechs Waggons brauchen sie $9$ Stunden.
Anschließend halten wir die Anzahl der Waggons konstant und rechnen mit der zweiten Zuordnung zwischen der Anzahl der Sprayer und der benötigten Zeit. Diese Zuordnung ist antiproportional.
$12$ Waggons: Vier Menschen brauchen $18$ Stunden.
- Also brauchen acht Menschen $9$ Stunden.
$6$ Waggons: Vier Menschen brauchen $9$ Stunden.
- Also brauchen zwei Menschen $18$ Stunden.
-
Erschließe die Lösung mit einem doppelten Dreisatz.
TippsBei einer doppelten proportionalen Zuordnung kannst du eine der Größen zunächst konstant halten, während du mit den anderen beiden Größen rechnest.
Hier kannst du zum Beispiel zuerst die Anzahl der Fische konstant halten, während du berechnest, wie eine Veränderung der Größe des Aquariums die Putzdauer verändert.
LösungWir wissen, dass Sofia für ein Aquarium mit $V=2~\text{m}^3$ und $10$ Fischen $2$ Stunden braucht.
Wollen wir wissen, wie lange sie für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $10$ Fischen benötigt, können wir die Anzahl der Fische konstant halten. Wir teilen die Zuordnung $V=2~\text{m}^3$ und $2$ Stunden durch $2$ und erhalten:
$V=1~\text{m}^3$ entspricht $1$ Stunde.
Jetzt können wir mit $4$ multiplizieren und erhalten:
$V=4~\text{m}^3$ entsprechen $4$ Stunden.
- Damit erhalten wir als erste Zuordnung, dass sie für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $10$ Fischen $4$ Stunden benötigt.
Wollen wir die Dauer für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $5$ Fischen berechnen, dann halten wir die Größe des Aquariums konstant. Wir teilen die Zuordnung $10$ Fische und $4$ Stunden durch $10$ und erhalten:
$1$ Fisch entspricht $0{,}4$ Stunden.
Multiplizieren wir mit $5$, erhalten wir:
$5$ Fische entsprechen $2$ Stunden.
- Also benötigt sie für ein Aquarium mit $V=4~\text{m}^3$ und $5$ Fischen $2$ Stunden.
Genauso erhältst du:
- Für ein Aquarium mit $V=5~\text{m}^3$ und $5$ Fischen benötigt sie $2{,}5$ Stunden.
- Für ein Aquarium mit $V=10~\text{m}^3$ und $20$ Fischen benötigt sie $20$ Stunden.
-
Bestimme die korrekten Aussagen zum doppelten Dreisatz.
TippsBei Dreisätzen wendest du nur die Rechenarten Multiplikation und Division an.
Wenn eine Größe sich vergrößert, während eine andere Größe sich verkleinert, dann kann die Zuordnung dieser Größen nicht proportional sein.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- Beim Rechnen mit Dreisätzen addierst und subtrahierst du Zahlen zu unterschiedlichen Größen, die einander zugeordnet werden können.
- Du kannst nur bei gleichartigen Zuordnungen Rechnungen mit einem doppelten Dreisatz durchführen. Hast du also eine proportionale und eine antiproportionale Zuordnung, kann hier kein doppelter Dreisatz angewandt werden.
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Erschließe, ob die Lösungen korrekt sind.
TippsErkenne zunächst, um welche Arten von Zuordnungen es sich hier handelt.
Rechne anschließend nacheinander mit beiden Zuordnungen.
LösungDiese Rechnung ist falsch:
- Zur Übung rechnet Luis alte Matheklausuren. Für $3$ Klausuren mit je $4$ Aufgaben braucht er $3$ Stunden. Dann braucht er für $2$ Klausuren mit jeweils $5$ Aufgaben $2$ Stunden.
Halten wir zunächst die Anzahl der Aufgaben ($4$) konstant, wissen wir:
$3$ Klausuren entsprechen $3$ Stunden.
Teilen wir durch $3$, erhalten wir:
$1$ Klausur entspricht $1$ Stunde.
Multiplizieren wir mit $2$:
$2$ Klausuren entsprechen $2$ Stunden.
Jetzt können wir die Anzahl der Klausuren ($2$) konstant halten:
$4$ Aufgaben entsprechen $2$ Stunden.
Teilen wir durch $4$, erhalten wir:
$1$ Aufgabe entspricht $0{,}5$ Stunde.
Multiplizieren wir mit $5$:
$5$ Aufgaben entsprechen $2{,}5$ Stunden.
Also braucht er für $2$ Klausuren mit je $5$ Aufgaben $2{,}5$ Stunden.
Rechnest du die anderen Aufgaben auf die gleiche Weise, erfährst du, dass diese Aufgaben richtig sind:
- Für eine Studie mit $20$ Teilnehmenden, in der $50$ Fragen ausgewertet werden sollen, braucht eine Wissenschaftlerin $10$ Tage. Dann braucht sie für eine Studie mit $40$ Teilnehmenden und $60$ Fragen $16$ Tage.
- $3$ Programmiererinnen schreiben in $4$ Stunden $200$ Zeilen Code. Dann schreiben $6$ Programmiererinnen in $5$ Stunden $500$ Zeilen.
- Ein Zug mit einer Geschwindigkeit von $200~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ fährt in $3$ Stunden $600$ Kilometer. Dann fährt ein Zug mit $150~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ in $4$ Stunden ebenfalls $600$ Kilometer.
Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz?
Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen
Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen – Beispiele
Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele
Dreisatz bei Textaufgaben – proportional oder antiproportional?
Zusammengesetzter Dreisatz
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Das ende 😊😀😂
Lol das ende war echt gut ( ^∀^)
Uff danke fürs Video, aber ich denke ich schaue es mir nochmal an ,dann sitzt es sicher
Bestes Ende ever :D
Danke