Extremwertaufgabe – Schachtel

Extremwertaufgabe – Schachtel Übung

• Gib die Formeln für die Länge $l_s$, die Breite $b_s$ und das Volumen $V$ an.

  Tipps

  Das $x$ ist die Seitenlänge des Quadrats, das an den Ecken des ursprünglichen Rechtecks abgeschnitten wird.

  Sobald du die Länge, die Breite und die Höhe in Abhängigkeit von $x$ identifiziert hast, setzt du alles in die Formel für das Volumen ein.

  Lösung

  Die Formel für das Volumen eines Quaders lautet allgemein:

  Volumen = Länge $\cdot$ Breite $\cdot$ Höhe

  Das Volumen unserer Schachtel hängt von der Länge $l_s$, der Breite $b_s$ und der Höhe $h_s$ ab. Also

  $V=l_s \cdot b_s \cdot h_s$.

  Da wir an jeder Ecke ein Quadrat mit Kantenlänge $x$ abschneiden, entfernen wir eine Länge von $2x$ von der ursprünglichen Länge. Genauso entfernen wir $2x$ von der ursprünglichen Breite. Die Länge $l_s$ lässt sich damit berechnen durch $l_s = 90 - 2x$. Und die Breite $b_s$ lässt sich berechnen durch $b_s = 48 - 2x$. Die Höhe $h_s$ ist das $x$ selbst. Wenn wir diese Größen in die Formel für das Volumen einsetzen, erhalten wir:

  $V = (90 -2x)(48 - 2x)x = 4320 x - 276 x^2 + 4 x^3$

• Beschreibe die Schritte zur Lösung eines Optimierungsproblems.

  Tipps

  Die Hauptbedingung ist der Term, der maximiert oder minimiert werden soll.

  Die Nebenbedingung(en) geben die Beziehung zwischen den Variablen an.

  Wenn wir die Nebenbedinung(en) in die Hauptbedingung einsetzen, erhalten wir die Zielfunktion. Diese enthält dann nur noch eine Variable.

  Lösung

  Um ein Extremwertproblem zu lösen, gehen wir immer in denselben Schritten vor. Die Schritte gehen wir anhand des Schachtel-Beispiels durch:

  Ein Karton mit einer Länge von $90~\text{cm}$ und einer Breite von $48~\text{cm}$ soll zu einer Schachtel gefaltet werden. Dafür werden an den Ecken Quadrate mit einer Kantenlänge $x$ ausgeschnitten und die Seiten hochgeklappt. Gesucht ist nun die Kantenlänge $x$, die die größtmögliche Schachtel erzeugt.

  1) Hauptbedingung erfassen

  Die Hauptbedingung ist derjenige Term, der maximiert oder minimiert werden soll.

  In unserem Beispiel ist das die Formel zur Berechnung des Volumens der Schachtel. Also:

  $V = \text{Länge}\ \cdot \ \text{Breite}\ \cdot \ \text{Höhe}$

  Diese Formel hängt in diesem Schritt noch von mehreren Variablen ab.

  2) Nebenbedingung(en) auswerten

  Es kann eine oder mehrere Nebenbedingungen geben. Diese stellen die Beziehung zwischen den Variablen her.

  Hier müssen wir die gegebenen Informationen benutzen und Gleichungen in Abhängigkeit der gesuchten Größe, also $x$, aufstellen. In unserem Beispiel stellen wir die Gleichungen der Länge $l_s$, Breite $b_s$ und Höhe $h_s$ der Schachtel auf, nachdem wir die Ecken herausgeschnitten haben:

  $\begin{array}{ll} l_s &= 90 - 2\cdot x \\ b_s &= 48 - 2\cdot x \\ h_s &= x \end{array}$

  3) Zielfunktion aufstellen

  Wir setzen die Nebenbedingung(en) in die Hauptbedingung ein. Das gibt uns dann die Zielfunktion. Die Zielfunktion ist eine Funktion, die nun nur eine Variable enthält.

  Wir setzen also $l_s,\ b_s$ und $h_s$ in $V$ ein:

  $V(x) = l_s \cdot b_s \cdot h_s = (90 - 2x) \cdot (48 - 2x) \cdot x$

  Um später leichter mit dieser Formel rechnen zu können, vereinfachen wir sie noch:

  $V(x) = (90 - 2x) \cdot (48 - 2x) \cdot x = 4x^3 - 276x^2 + 4320x$

  4) 1. Ableitung bilden und Nullstellen bestimmen

  Damit können wir die "Kandidaten" für die Extremstellen, also die sogenannten kritischen Stellen bestimmen. Da wir an der größtmöglichen bzw. der maximalen Lösung interessiert sind, müssen wir die Extremstellen der Zielfunktion ermitteln und das machen wir, indem wir die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen.

  Wir leiten unsere vereinfachte Volumen-Formel mithilfe der Potenzregel für Ableitungen ab und setzen sie gleich Null:

  $V'(x) = 12x^2 - 552x + 4320 = 0$

  Mithilfe der Mitternachtsformel rechnen wir die Nullstellen aus:

  $x_{1/2} = \dfrac{-(-552) \pm \sqrt{(-552)^2 - 4\cdot 12 \cdot 4320}}{2\cdot 12} \quad \implies \quad x_1 = 36,\ x_2 = 10$

  5) 2. Ableitung bilden und die Kandidaten einsetzen

  Um sicher zu stellen, dass es sich bei den gefundenen Nullstellen der ersten Ableitung um Extremstellen handelt und um den Hochpunkt ermitteln zu können, müssen wir nun die zweite Ableitung bilden und die Nullstellen der ersten Ableitung dort einsetzen. Wenn das Ergebnis negativ ist, handelt es sich um einen Hochpunkt.

  Wir bilden zuerst die zweite Ableitung:

  $V''(x) = 24x - 552$

  Und setzen $x_1$ und $x_2$ dort ein:

  $V''(36) = 24 \cdot 36 - 552 = 312 > 0$
  $V''(10) = 24 \cdot 10 - 552 = -312 < 0$

  Es handelt sich bei $x_2$ also um einen Hochpunkt.

  6) Ergebnis überprüfen und Ränder betrachten

  Als letzten Schritt muss noch überprüft werden, ob das gefundene Ergebnis sinnvoll interpretiert werden kann. Dafür setzen wir $x$ in die Zielfunktion ein und berechnen den Funktionswert.

  In unserem Beispiel ergibt das:

  $V(10) = (90 - 2 \cdot 10) \cdot (48 - 2 \cdot 10) \cdot 10 = 19600~\text{cm}^3 \approx 20~\ell$

  Wenn wir also an den Ecken Quadrate mit einer Seitenlänge von $10~\text{cm}$ heraus schneiden und die Seiten des Kartons einklappen, bekommen wir eine Schachtel mit einem Volumen von ungefähr $20$ Litern.

  Schließlich müssen in diesem Schritt noch die Ränder betrachtet werden.

  In unserem Beispiel müssten wir die Fälle betrachten, was passiert, wenn wir gar keine Ecken einschneiden und wenn wir die Seitenlänge des Quadrats genau als die Hälfte der Breite des Kartons wählen, also $48 : 2 = 24~\text{cm}$. In beiden Fällen bekommen wir ein Volumen von $0$ Litern, da der Karton in diesen Fällen nicht gefaltet werden kann.

• Berechne das maximale Volumen der Schachtel.

  Tipps

  Damit du die Hauptbedingung aufstellen kannst, musst du erst eine Formel für das Volumen angeben. Multipliziere alle Seiten miteinander.

  Damit du die Nebenbedingung aufstellen kannst, musst du verwenden, dass an beiden Seiten immer ein Stück $x$ abgeschnitten wird.

  Im letzten Schritt musst du noch die Einheit umwandeln. Es gilt:

  $1000~\text{cm}^3 = 1~\ell$

  Lösung

  1. Aufstellen der Hauptbedingung:

  Wir bezeichnen die Kanten der gewünschten Box folgendermaßen:

  • Länge der Box: $l_B$
  • Breite der Box: $b_B$
  • Höhe der Box: $h_B$

  
  

  Das Volumen einer Box, also eines Quaders, lässt sich ausrechnen, indem alle Seiten (Länge, Breite, Höhe) miteinander multipliziert werden:

  $V = l_B \cdot b_B \cdot h_B$

  2. Aufstellen der Nebenbedingungen:

  An jeder Ecke wird ein Quadrat mit der Seitenlänge $x$ herausgeschnitten, was von der ursprünglichen Länge und Breite noch abgezogen werden muss. Mit den eingeklappten Seiten hat die Box dann eine Höhe von $x$:

  $l_B = 40 - 2x$

  $b_B = 25 - 2x$

  $h_B = x$

  3. Zielfunktion aufstellen und vereinfachen:

  Wir setzen die Formeln für die Nebenbedingungen in die Hauptbedingung ein und klammern aus:

  $V(x) = (40 - 2x) \cdot (25 - 2x) \cdot x$

  $\qquad = 4x^3 - 130x^2 + 1000x$

  4. Erste Ableitung bilden und Nullstellen bestimmen:

  Die erste Ableitung bilden wir mithilfe der Potenzregel für Ableitungen und setzen diese gleich Null

  $V'(x) = 12x^2 - 260x + 1000 = 0$

  $\implies x_1 \approx 16{,}667 \quad$ und $\quad x_2 = 5$

  5. Zweite Ableitung bilden und Nullstellen einsetzen:

  Wir bilden die zweite Ableitung wieder mithilfe der Potenzregel und setzen die gefundenen Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. Dann überprüfen wir, ob die Ergebnisse größer oder kleiner Null sind, um unseren Hochpunkt zu finden.

  $V''(x) = 24x - 260$

  $V''(x_1) \approx 140{,}008 > 0$

  $V''(x_2) = -140 < 0$

  6. Ergebnis interpretieren:

  Da es sich bei $x_2 = 5$ um einen Wert kleiner Null handelt, hat die Funktion $V$ dort einen Hochpunkt. Um den Funktionswert an dieser Stelle herauszufinden, setzen wir $x_2$ in die Ausgangsfunktion ein:

  $V(5) = 2250$

  Antwortsatz: Kayas Box fasst maximal $2250~\text{cm}^3$. Das sind $2{,}25~\ell$.

• Bestimme das maximale Volumen der Schachtel.

  Tipps

  Stelle zuerst eine Gleichung für das Volumen auf.

  Um das maximale Volumen eines Quaders zu berechnen, musst du die Extremstellen der Volumengleichung bestimmen.

  Achte auf die Einheiten. Die Maße der Schachtel sind in $\text{cm}$ angegeben, aber es wird nach Litern gefragt.

  Lösung

  1. Aufstellen der Hauptbedingung:

  Wir bezeichnen die Kanten der gewünschten Schachtel folgendermaßen:

  • Länge der Box: $l_S$
  • Breite der Box: $b_S$
  • Höhe der Box: $h_S$

  
  

  Das Volumen einer Schachtel, also eines Quaders, lässt sich ausrechnen, indem alle Seiten (Länge, Breite, Höhe) miteinander multipliziert werden:

  $V = l_S \cdot b_S \cdot h_S$

  2. Aufstellen der Nebenbedingungen:

  An jeder Ecke wird ein Quadrat mit der Seitenlänge $x$ herausgeschnitten, was von der ursprünglichen Länge und Breite noch abgezogen werden muss. Mit den eingeklappten Seiten hat die Schachtel dann eine Höhe von $x$:

  $l_B = 80 - 2x$

  $b_B = 50 - 2x$

  $h_B = x$

  3. Zielfunktion aufstellen und vereinfachen:

  Wir setzen die Formeln für die Nebenbedingungen in die Hauptbedingung ein und klammern aus:

  $V(x) = (80 - 2x) \cdot (50 - 2x) \cdot x$

  $\qquad = 4x^3 - 260x^2 + 4000x$

  4. Erste Ableitung bilden und Nullstellen bestimmen:

  Die erste Ableitung bilden wir mithilfe der Potenzregel für Ableitungen und setzen diese gleich Null

  $V'(x) = 12x^2 - 520x + 4000 = 0$

  $\implies x_1 \approx 33{,}33 \quad$ und $\quad x_2 = 10$

  5. Zweite Ableitung bilden und Nullstellen einsetzen:

  Wir bilden die zweite Ableitung wieder mithilfe der Potenzregel und setzen die gefundenen Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. Dann überprüfen wir, ob die Ergebnisse größer oder kleiner Null sind, um unseren Hochpunkt zu finden.

  $V''(x) = 24x - 520$

  $V''(x_1) \approx 279{,}92 > 0$

  $V''(x_2) = -280 < 0$

  6. Ergebnis interpretieren:

  Da es sich bei $x_2 = 10$ um einen Wert kleiner Null handelt, hat die Funktion $V$ dort einen Hochpunkt. Um den Funktionswert an dieser Stelle herauszufinden, setzen wir $x_2$ in die Ausgangsfunktion ein:

  $V(10) = 18\,000$

  Antwortsatz: Die Schachtel fasst maximal $18\,000~\text{cm}^3$. Das sind $18~\ell$.

• Bestimme die Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Die Potenzregel für Ableitungen lautet:

  $f(x) = a\cdot x^n \rightarrow f'(x) = a\cdot n \cdot x^{n-1}$

  Die Ableitung einer Konstanten ist $0$. Das heißt, sie fallen beim Ableiten weg.

  Beispiel:

  $f(x) = 8x^2 \rightarrow f'(x) = 16x$

  Lösung

  Um die Ableitung zu bestimmen, wenden wir hier die Potenzregel für Ableitungen an. Diese lautet:

  $f(x) = a\cdot x^n \rightarrow f'(x) = a\cdot n \cdot x^{n-1}$

  Damit leiten wir jeden Summanden der Funktion

  $f(x) = 5x^4 + 3x^3 + 10x + 1$

  ab und erhalten die erste Ableitung:

  $f'(x) = 20x^3 + 9x^2 + 10$

  Diese können wir nun noch einmal ableiten, um die zweite Ableitung zu erhalten:

  $f''(x) = 60x^2 + 18x$.

• Ermittle die Hauptbedingung und die Nebenbedingung.

  Tipps

  Überlege, welche Bedingung maximiert oder minimiert werden muss.

  Wenn begrenztes Material oder eine begrenzte Fläche zur Verfügung steht, müssen wir diese Information benutzen, um die gesuchte Größe zu ermitteln.

  Beispiel: Wir versuchen das größtmögliche Rechteck in einen Kreis zu legen. Dabei passen alle Rechtecke in einen Kreis, dessen Diagonale kleiner oder gleich des Durchmessers des Kreises ist. Alle Ecken des Rechtecks müssen also auf der Kreislinie liegen, um das größtmögliche Rechteck zu konstruieren.

  Lösung

  1. Beispiel: Kaya möchte mit seinem $60~\text{cm}$ langen Seil ein Rechteck mit der größtmöglichen Fläche umranden.

  Hier muss die Fläche eines Rechtecks maximiert werden. Unsere Hauptbedingung muss also die Flächenformel eines Rechtecks sein. Als Nebenbedingung müssen wir den Umfang des Rechtecks betrachten, da wir nur $60~\text{cm}$ Seil gegeben haben.

  2. Beispiel: Atiya sucht einen rechteckigen Teppich mit der größtmöglichen Fläche für sein dreieckiges Zimmer.

  Gesucht ist die größtmögliche Fläche eines Rechtecks. Das ist die Größe, die maximiert werden soll, also unsere Hauptbedingung. Der Teppich kann aber nicht größer als das Zimmer sein, welche eine dreieckige Form besitzt. Das heißt, beim Maximieren müssen wir die Nebenbedingung betrachten, dass das Zimmer dreieckig ist. Die Ecken des Rechtecks (Teppich) müssen also auf den Seiten des Dreiecks (Zimmer) liegen.

  3. Beispiel: Eine zylinderförmige Shampooflasche soll $200~\text{ml}$ Flüssigkeit beinhalten und dabei so wenig Material wie möglich verwenden.

  In diesem Beispiel soll das Material einer Shampooflasche so wenig wie möglich sein, das heißt, hier muss die Oberfläche des Zylinders minimiert werden. Dabei ist die Nebenbedingung zu beachten, dass das Zylinder ein Volumen von $200~\text{ml}$ fassen muss.

  4. Beispiel: In einem Ort soll ein Tunnel mit einer parabelförmigen Decke durch einen Berg gebaut werden. Dafür soll die Höhe der größtmöglichen Transportmittel, die durch diesen Tunnel passen, ermittelt werden.

  Die Höhe des Transportmittels ist zu maximieren. Deshalb ist diese unsere Hauptbedingung. Dabei muss das Transportmittel durch den parabelförmigen Tunnel durchkommen. Die Parabelförmigkeit des Tunnels ist also unsere Nebenbedingung. Vereinfacht können wir die Transportmittel als Rechtecke skizzieren. Gesucht ist also die größtmögliche Höhe des Rechtecks, das in eine nach unten geöffnete Parabel passt.