Extremalprobleme – Anwendung der Differentialrechnung

Extremalprobleme – Anwendung der Differentialrechnung Übung

• Berechne die Extremwertaufgabe.

  Tipps

  Wie geht man allgemein bei Extremwertaufgaben vor?

  Durch das Zusammenfassen der Zielgröße und der Nebenbedingungen erhalten wir die Zielfunktion.

  Anschließend berechnen wir den gewünschten Extremwert, überprüfen unser Ergebnis und formulieren eine Antwort.

  Lösung

  Als Erstes stellen wir die Neben- und die Hauptbedingung auf. Du kannst anhand der Aufgabenstellung erkennen, welche Angaben die Neben- bzw. Hauptbedingung sind. Die Nebenbedingung besteht stets aus gegebenen Werten und die Hauptbedingung ist eine Größe, die maximal oder minimal bzw. möglichst groß oder klein werden soll.

  Hauptbedingung: $A(x, y)=x\cdot y $

  Nebenbedingung: $U=400=2\cdot x + 2 \cdot \frac{1}{2}\cdot \pi \cdot y=2\cdot x+\pi \cdot y$

  Anschließend formen wir die Nebenbedingung nach $y$ um und setzen den Term in die Hauptbedingung ein, um eine Zielfunktion abhängig von $x$ zu erhalten:

  $y=\frac{400-2\cdot x}{\pi}$

  $A(x)=x\cdot \frac{400-2\cdot x}{\pi}=\frac{400}{\pi}\cdot x-\frac{2}{\pi}\cdot x^2$

  Unsere Zielfunktion $A(x)$ leiten wir ab und setzen die erste Ableitung gleich Null, damit wir die Extremstellen berechnen können:

  $A'(x)=\frac{400}{\pi}-\frac{2}{\pi}\cdot 2x=\frac{400}{\pi}-\frac{4}{\pi}\cdot x$ $ \quad 0=\frac{400}{\pi}-\frac{4}{\pi}\cdot x \Leftrightarrow x=\frac{400}{\pi}\cdot \frac{\pi}{4}=100$.

  Wir fragen uns, ob $x=100$ ein relatives Maximum ist. Prüfen können wir Maxima durch das Einsetzen von $x=100$ in die zweite Ableitung.

  $A''(100)= -\frac{\pi}{4}$

  ist stets negativ und somit immer ein Maximum.

  Der Wert $100$ ist auch sinnvoll, denn die Länge $x$ ist größer als $0$ und kleiner als der Extremfall $200$.

  Durch das Einsetzen von $x=100$ in unsere Zielfunktion erhalten wir die maximale Rasenfläche:

  $A(100)=\frac{400}{\pi}\cdot 100-\frac{2}{\pi}\cdot (100)^2\approx6366$.

  Den Wert $y=63,66$ erhalten wir ebenfalls durch das Einsetzen der berechneten Werte in die Neben- oder in die Hauptbedingung.

  Wir wissen nun also, dass die Rasenfläche maximal wird für die Länge $x=100~m$ und die Breite $y=63,66~m$. Sie beträgt dann rund $6366~m^2$.

• Erkläre die folgenden Begriffe.

  Tipps

  Orientiere dich an den Beispielen aus dem Video.

  Extrema können Maxima oder Minima sein.

  Lösung

  Bei Extremalproblemen ist stets ein minimaler oder maximaler Wert einer Größe gesucht, um ein optimales Ergebnis zu erzielen.

  Die Hauptbedingung stellt die zu optimierende Größe dar, welche meist von zwei Variablen abhängt, die man wiederum als Nebenbedingung in Beziehung zueinander stellt.

  Die Differentialrechnung findet ihre Anwendung in solchen Aufgaben, weil wir Maxima oder Minima, also Extremwerte, berechnen. Dafür setzen wir die erste Ableitung der Zielfunktion mit Null gleich und setzen den errechneten Wert in die zweite Ableitung ein. Ist das Ergebnis der zweiten Ableitung positiv, so haben wir ein Minimum, ist es negativ, so haben wir an dieser Stelle ein Maximum.

• Berechne die Länge und Breite des Geheges.

  Tipps

  Beginne mit dem Aufstellen der Neben- und Hauptbedingung.

  Umfang eines Rechtecks: $U=2a+2b$

  Flächeninhalt eines Rechtecks: $A=a \cdot b$

  Extremwerte berechnet man mithilfe der ersten beiden Ableitungen:

  $f'(x)=0$ und $f''(x) \neq 0$.

  Lösung

  Der Umfang eines Rechtecks beträgt $U=2a+2b$.

  Den Flächeninhalt berechnet man durch $A=a \cdot b$.

  Also können wir die Neben- und die Hauptbedingung aufstellen:

  Nebenbedingung: $4 = 2a+2b$

  Hauptbedingung: $A=a \cdot b$

  Wir formen die Nebenbedingung nach der Variablen a um und setzen diese in die Hauptbedingung ein, um die Zielfunktion zu erhalten.

  $a= 2-b$

  $A(b)= (2-b) \cdot b= -b^2 +2b$

  Wir leiten die Zielfunktion ab und berechnen anschließend den Extremwert.

  $A'(b)=-2b +2$

  $ \begin{align*} 0 &= -2b +2 &|& -2 ~| :(-2)\\ b &= 1 \end{align*} $

  Wir prüfen mithilfe der zweiten Ableitung, ob ein Maximum vorliegt:

  $A''(1)=-2 < 0$

  Abschließend berechnen wir $a$, indem wir $b=1$ in die Nebenbedingung einsetzen.

  $a= 2-1=1$

  Das Gehege sollte $1~m$ breit und $1~m$ lang, also quadratisch sein.

• Berechne die gesuchten Zahlen.

  Tipps

  Beginne mit dem Aufstellen der Haupt- und Nebenbedingung.

  Fasse die Zielgröße und die Nebenbedingung zusammen, um die Zielfunktion zu erhalten.

  Berechne die Extremwerte der Zielfunktion und prüfe dein Ergebnis.

  Lösung

  Wir beginnen mit der Aufstellung der Neben- und Hauptbedingung:

  Nebenbedingung: $a \cdot b = 900$

  Hauptbedingung: $S(a,b)=a+b $

  Wir formen die Nebenbedingung nach der Variablen $a$ um und setzen den Term in die Hauptbedingung ein:

  $a=\frac{900}{b}$

  $S(y)=\frac{900}{b} \cdot b=900\cdot b^{-1}+b$.

  Nun bilden wir die erste Ableitung und setzen diese $0$, um die Extremwerte zu berechnen.

  $S'(b) = -900\cdot b^{-2}+1$

  $ \begin{align*} 0 &= \frac{-900}{b^2}+1 &|& -1~| :(-900) \\ \frac{1}{900} &= \frac{1}{b^2} \\ 900 &= b^2 &|& \sqrt{~~~}\\ b_1 &= 30 \\ b_2 &=-30 \end{align*} $

  Den negativen Wert können wir außer Acht lassen, da $a$ und $b$ natürliche Zahlen sein sollen. Wir überprüfen mithilfe der zweiten Ableitung, ob $b_1 = 30$ ein Minimum ist.

  $S''(30) = 1800\cdot 30^{-3}= \frac{18}{270} > 0$

  Abschließend berechnen wir die zweite gesuchte Variable $a$ durch das Einsetzen von $b=30$ in die Nebenbedingung:

  $a=\frac{900}{30}=30$.

• Gib diejenigen Sachverhalte an, die Extremalprobleme sind.

  Tipps

  Bei vielen praktischen Extremalproblemen geht es darum, ein optimales Ergebnis zu erzielen.

  Wörter wie maximal oder minimal sowie möglichst groß bzw. möglichst klein deuten auf ein Extremalproblem hin.

  Lösung

  Formulierungen wie „soll maximal bzw. minimal sein“ oder „soll möglichst klein bzw. groß sein“ sind typisch für Extremalprobleme. Schließlich ist das Ziel eines solchen Problems, ein optimales Ergebnis zu erzielen.

• Bestimme die Maße der Buchseite.

  Tipps

  Der Materialaufwand entspricht der Gesamtfläche der Buchseite.

  Beginne mit dem Aufstellen der Neben- und Hauptbedingung, um die Zielfunktion zu bilden.

  Bedenke, dass nicht $x$ und $y$ gesucht sind, sondern die gesamte Breite bzw. Länge der Seite.

  Lösung

  Wir beginnen mit der Aufstellung der Neben- und Hauptbedingung:

  Nebenbedingung: $A=162=x \cdot y$

  Hauptbedingung: $A_{Ges}=(x+2)\cdot (y+4)=xy+2y+4x+8$

  Nun setzen wir die nach $x$ umgeformte Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein und erhalten die Zielfunktion:

  $x=\frac{162}{y}$

  $A_{Ges}(y)=\frac{162}{y}\cdot y+2y + 4\cdot \frac{162}{y}+8=2y+648 y^{-1}+170$

  Um die Extremwerte zu berechnen, bilden wir die erste Ableitung von $A_{Ges}$

  $A'_{Ges}(y)=2-648 y^{-2}=2-\frac{648}{y^2}$

  und setzen diese Null:

  $ \begin{align*} 0 &= 2-\frac{648}{y^2} &|& -2 ~| :(-648) \\ \frac{1}{324} &= \frac{1}{y^2} \\ 324 &= y^2 \end{align*} $

  Nach Wurzelziehen erhalten wir $y_1 = 18$ und $y_2 =-18$. Den negativen $y$-Wert können wir außer Acht lassen, da es keine negative Seitenlänge geben kann. Mithilfe der zweiten Ableitung prüfen wir, ob $y =18$ ein Minimum ist:

  $A''_{Ges}(y)=1296 y^{-3}=\frac{1296}{y^3}$

  $A''_{Ges}(18)=\frac{1296}{18^3}=\frac{6}{27} > 0$

  Die Variable $x$ berechnen wir durch Einsetzen von $y=18$ in die Nebenbedingung:

  $x=\frac{162}{18}=9$

  Da die Buchseite jeweils links und rechts bzw. oben und unten Ränder hat, addieren wir deren Summe zu unseren berechneten Werten hinzu:

  Breite: $b= x+1~cm+1~cm = 9~cm +1~cm+1~cm= 11~cm$

  Länge: $l=y+2~cm+2~cm=18~cm+2~cm+2~cm=22~cm$

  Letztendlich können wir die Gesamtfläche berechnen:

  $A_{Ges}= b \cdot l =11~cm \cdot 22~cm= 242~cm^2$