Teilbarkeitsregeln – Endziffernregeln (1)
Was sind die Endziffernregeln? Die Endziffernregeln überprüfen die Teilbarkeit von Zahlen anhand ihrer letzten Ziffer. Lerne, wie man Zahlen durch $2$, $5$ und $10$ teilt und entdecke dazu Beispiele! Interessiert? Dann findest du dies und vieles mehr im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Teilbarkeitsregeln – Endziffernregeln (1)
Was ist eine Endziffernregel?
Es gibt verschiedene Regeln, mit deren Hilfe du die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen überprüfen kannst. Bei den sogenannten Endziffernregeln betrachtest du dazu immer die letzte Ziffer der Zahl, die Endziffer. Die Definition umfasst auch Regeln, bei denen du die letzten beiden oder die letzten drei Stellen einer Zahl verwendest, um die Teilbarkeit zu prüfen. Wichtig ist, dass die Entscheidung auf den Ziffern am Ende der Zahl beruht.
Wir wollen uns die Regeln für die Teilbarkeit durch $2$, $5$ und $10$ genauer anschauen.
Endziffernregeln einfach erklärt
Um Teilbarkeitsregeln zu finden, schreiben wir uns einige Vielfache der Zahl auf, die uns interessiert. Dabei sollten auch größere Vielfache berücksichtigt werden, da die Regel auch für große Zahlen gelten soll. Hier siehst du, wie das zum Beispiel für die Zahl $2$ aussehen kann:
Wir können erkennen, dass alle Vielfachen von $2$ auf einer $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ enden. Es gilt also, dass jede Zahl, die durch $2$ teilbar ist, eine der Endziffern $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ hat. Auch die Umkehrung dieser Aussage ist richtig und formuliert unsere Endziffernregel für die Zahl $2$:
Jede Zahl, deren Endziffer eine $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ ist, ist durch $2$ teilbar.
Gehen wir bei den Zahlen $5$ und $10$ nach demselben Prinzip vor, dann stellen wir fest, dass alle Vielfachen der $5$ auf $0$ oder $5$ enden und alle Vielfachen der $10$ auf $0$.
Zusammengefasst ergeben sich die folgenden Endziffernregeln für die Zahlen $2$, $5$ und $10$:
- Eine natürliche Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn ihre Endziffer $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ ist.
- Eine natürliche Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn ihre Endziffer $0$ oder $5$ ist.
- Eine natürliche Zahl ist durch $10$ teilbar, wenn ihre Endziffer $0$ ist.
Endziffernregeln – Beispiele
Wollen wir zum Beispiel wissen, ob die Zahl $235$ durch $2$, $5$ oder $10$ teilbar ist, dann betrachten wir die letzte Stelle, die $5$:
- Wir stellen fest, dass $235$ nicht durch $2$ teilbar ist, denn die Endziffer ist weder eine $0$ noch eine $2$, $4$, $6$ oder $8$.
- $235$ ist durch $5$ teilbar, denn die Endziffer ist eine $5$.
- Durch $10$ ist $235$ ebenfalls nicht teilbar, da die Endziffer keine $0$ ist.
In der folgenden Tabelle findest du weitere Beispiele:
| Zahl | Endziffer | Durch 2 teilbar? | Durch 5 teilbar? | Durch 10 teilbar? |
|---|---|---|---|---|
| $9000$ | $0$ | ja | ja | ja |
| $6458$ | $8$ | ja | nein | nein |
| $11\,216$ | $6$ | ja | nein | nein |
| $80\,135$ | $5$ | nein | ja | nein |
In diesem Video zu Endziffernregeln ...
… wird erklärt, unter welchen Voraussetzungen eine natürliche Zahl ohne Rest durch $2$, $5$ oder $10$ teilbar ist. Du erfährst, warum diese Regeln Endziffernregeln heißen, und wirst die Regeln für die Teilbarkeit durch $2$, $5$ und $10$ an verschiedenen Beispielen überprüfen. Im Anschluss bekommst du Übungen dazu.
Transkript Teilbarkeitsregeln – Endziffernregeln (1)
Hallo, da bin ich wieder, eure Sabine Blumenthal. Mit diesem Video lernst du einige Regeln für die Teilbarkeit natürlicher Zahlen kennen. Ganz genau geht es heute um den ersten Teil der Endziffernregeln. Du erfährst, warum diese Regeln Endziffernregeln heißen und lernst die Regeln für die Teilbarkeit durch Zwei, Fünf und Zehn. Natürlich gibt es zu jeder Teilbarkeitsregel ein paar Beispiele und ganz zum Schluss gibt es dann auch noch einige Übungen. Damit du alles gut verstehen kannst, solltest du die Grundbegriffe zur Teilbarkeit natürlicher Zahlen kennen, insbesondere die Begriffe „Teiler‟, „teilbar‟, „Vielfaches‟ und „Vielfachenmenge‟. Wenn du dich damit noch nicht befasst hast, dann sieh dir als Vorbereitung am besten die beiden Videos zur Einführung in die Teilbarkeit natürlicher Zahlen an.
Warum heißen nun einige Teilbarkeitsregeln Endziffernregeln? Na, sicher kannst du dir das denken! Diese Regeln haben etwas mit den Endziffern, also den Ziffern, die am Ende einer Zahl stehen, zu tun. Meist ist damit tatsächlich nur die letzte Ziffer einer Zahl gemeint. Also bei der 54 die vier oder bei der 8413 die Ziffer drei. Manchmal müssen auch die letzten zwei oder sogar drei Ziffern einer Zahl betrachtet werden, doch das erkläre ich dir genauer im nächsten Video. Für die Teilbarkeitsregeln in diesem Video betrachten wir nur die wirklich letzte Ziffer einer Zahl.
Beginnen wir also mit der Teilbarkeit durch zwei. Wann ist eine Zahl durch zwei teilbar? Du kannst die Malfolge der zwei? Was für eine Frage! Natürlich beherrschen wir die Zweierfolge alle problemlos. Kannst du auch erklären, wie die Zahlen der Zweiermalfolge sozusagen entstehen? Richtig, die zwei wird der Reihe nach mit allen natürlichen Zahlen multipliziert. Alle diese Zahlen sind also Vielfache der Zahl zwei und wir können sie auch in einer Vielfachenmenge schreiben. Also, mit unserer Mathevokabel V2 ist gleich zwei, vier, sechs, acht und so weiter. Wenn du nun sehr viele Vielfache der zwei und auch sehr große Vielfache aufschreibst, dann kannst du untersuchen, ob diese Vielfachen vielleicht irgendetwas gemeinsam haben. Da es in diesem Video ja um Endziffernregeln geht, gucken wir uns also mal jeweils die Endziffer aller Vielfachen der zwei etwas genauer an. Und da fällt was auf: Alle Vielfachen der Zahl zwei haben als Endziffer entweder eine null, eine zwei, eine vier, eine sechs oder eine acht. Aus der Einführung in die Teilbarkeit weißt du noch, dass alle Vielfachen der Zahl zwei natürlich auch durch Zwei teilbar sind, weil sie sich als Produkt einer natürlichen Zahl mit zwei schreiben lassen. Hier siehst du noch einmal ein paar Beispiele solcher Produkte. Wir haben nun die Gemeinsamkeiten der Vielfache der Zahl zwei herausgefunden und daraus ergibt sich die Teilbarkeitsregel für die Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch zwei. Eine natürliche Zahl ist durch Zwei Teilbar, wenn ihre Endziffer eine null, zwei, vier, sechs oder acht ist. Für diesen Satz gilt auch die Umkehrung: Wenn eine natürliche Zahl als Endziffer eine null, zwei, vier, sechs oder acht hat, dann ist sie durch zwei teilbar. Alle durch zwei teilbaren Zahlen heißen gerade Zahlen.
An zwei Beispielen sehen wir uns nun an, wie man die Teilbarkeitsregel anwendet. Ist 428 durch zwei teilbar? Ja, 428 ist durch zwei teilbar, denn die Endziffer ist eine acht.
75397 dagegen ist nicht durch zwei teilbar, denn die Endziffer ist weder eine null, noch eine zwei, vier, sechs oder acht.
Auch bei der Teilbarkeit durch fünf schauen wir uns die Vielfachen der fünf an und gucken, ob wir bei diesen Vielfachen Gemeinsamkeiten finden. Wir schreiben also die Vielfachenmenge der fünf auf und schreiben darin sehr viele Vielfache der fünf und auch sehr große Vielfache der fünf. Kannst du eine Gemeinsamkeit erkennen? Wenn wir die Endziffern betrachten, fällt auf, dass alle Vielfachen der fünf als Endziffer eine null oder eine fünf haben. Daraus leiten wir die Teilbarkeitsregeln für die Teilbarkeit durch fünf ab. Eine natürliche Zahl ist durch fünf teilbar, wenn ihre Endziffer eine null oder eine fünf ist. Auch bei diesem Satz gilt die Umkehrung: Wenn eine natürliche Zahl die Endziffer null oder fünf hat, dann ist sie durch fünf teilbar. Also, egal wie groß eine Zahl ist, ein Blick auf die letzte Ziffer und du weißt, ob sie durch fünf teilbar ist oder auch nicht.
Die 325 zum Beispiel, ist durch fünf teilbar, denn die Endziffer ist eine fünf.
Wie sieht es mit der Zahl 79203 aus? Ein Blick auf die letzte Ziffer und dir ist klar, 79203 ist nicht durch fünf teilbar, denn die Endziffer ist weder eine null noch eine fünf.
Kommen wir nun zur Teilbarkeit durch zehn. Wieder bilden wir die Vielfachenmenge. Wir schreiben also möglichst viele und auch sehr große Vielfache der zehn auf. Und, fällt dir auf, was alle Vielfachen der zehn gemeinsam haben? Na klar! Alle Vielfachen von zehn haben als Endziffer eine null. Aus dieser Gemeinsamkeit der Vielfachen ergibt sich wieder unsere Teilbarkeitsregel. Eine natürliche Zahl ist durch zehn teilbar, wenn ihre Endziffer eine null ist. Auch bei dieser Teilbarkeitsregel gilt die Umkehrung. Wenn eine natürliche Zahl als Endziffer eine null hat, dann ist sie durch zehn teilbar.
Und auch für diese Teilbarkeitsregel noch zwei Beispiele: 3240 ist durch zehn teilbar, denn die Endziffer ist eine null.
Und 45122? Nun, diese Zahl ist nicht durch zehn teilbar, denn die Endziffer ist in diesem Fall keine null.
Nachdem du die Teilbarkeitsregeln für die zwei, fünf und zehn kennengelernt hast, wollen wir nun einmal schauen, ob du diese Regeln auch anwenden kannst. Die Teilbarkeitsregeln sollen dir ja helfen möglichst schnell und einfach zu prüfen, ob eine natürliche Zahl ohne Rest teilbar ist. Machen wir also jetzt ein paar Übungen zur Teilbarkeit durch zwei, fünf und zehn. Du hast folgende Aufgabe:
Prüfe folgende Zahlen der Reihe nach auf ihre Teilbarkeit durch zwei, fünf und zehn.
9000, 80135, 6430, 315402, 720, 427 und 11216. Um den Überblick nicht zu verlieren, solltest du dir hier eine Tabelle anfertigen. In die erste Spalte der Tabelle kommt die zu untersuchende Zahl. In die nächsten Spalten schreibst du, was du prüfen möchtest. Also, ist die Zahl teilbar durch zwei, durch fünf oder durch zehn.
Beginnen wir mit der 9000. 9000 ist teilbar durch zwei, ist auch teilbar durch fünf, denn sie hat ja die Endziffer null. Deshalb ist sie auch teilbar durch zehn.
Auch die 6430 hat als Endziffer eine null. Sie ist deshalb durch zwei teilbar, durch fünf teilbar und auch durch zehn teilbar.
Sehen wir uns nun die 11216 an. Sie hat eine sechs als Endziffer. Die Frage, teilbar durch zwei, können wir also mit ‚ja‘ beantworten. Bei teilbar durch fünf antworten wir mit ‚nein‘ und auch bei teilbar durch zehn lautet die Antwort ‚nein‘.
Die nächste Zahl ist die 427. Sie hat als Endziffer eine sieben. Wenn du an die Teilbarkeitsregeln denkst, dann fällt es dir leicht, hier die richtigen Antworten in die Tabelle zu schreiben.
Mit den nächsten drei Zahlen kannst du anhand der erlernten Teilbarkeitsregeln einmal selbst überprüfen, ob diese Zahlen durch zwei, durch fünf oder auch durch zehn teilbar sind. Halte dazu den Film einfach mal kurz an und beantworte die Fragen für dich. Wenn du damit fertig bist, dann lass den Film weiterlaufen und schau, ob deine Antworten richtig sind.
Na, das ging doch schon ganz gut oder?
Zum Schluss gibt es wie immer eine ganz kurze Zusammenfassung. Du hast heute Teilbarkeitsregeln kennengelernt, bei denen die Endziffer einer Zahl die Bedingung dafür ist, ob diese Zahl teilbar ist. Bei der Teilbarkeit durch zwei prüfst du, ob deine Zahl als Endziffer eine null, zwei, vier, sechs oder acht hat. Bei der Teilbarkeit durch fünf sollte deine Zahl die Endziffer null oder fünf haben. Und wenn du dich fragst, ob eine Zahl durch zehn teilbar ist, dann musst du nur schauen, ob die Endziffer eine null ist.
Damit bin ich für heute am Ende. Ich hoffe, du hast alles verstanden. Tschüss dann, bis zum nächsten Mal!
Teilbarkeitsregeln – Endziffernregeln (1) Übung
-
Vervollständige die Endziffernregeln.
TippsHier siehst du durch $2$ teilbare Zahlen:
$412; 568; 500$.
Hier siehst du Zahlen, die nicht durch $2$ teilbar sind:
$453; 17; 521$.
Die $10$-er Malfolge lautet:
- $1\cdot 10=10$
- $2\cdot 10=20$
- $3\cdot 10=30$
- $4\cdot 10=40$
- ...
Es gibt übrigens auch Zahlen, die sowohl durch $5$ als auch durch $2$ teilbar sind. Diese Zahlen haben immer eine $0$ am Ende.
Jede Zahl, die durch $10$ teilbar ist, ist auch durch $2$ und durch $5$ teilbar.
LösungWann ist eine Zahl durch $2$ teilbar?
Schau dir die $2$-er Malfolge an:
- $1\cdot 2=2$
- $2\cdot 2=4$
- $3\cdot 2=6$
- $4\cdot 2=8$
- $5\cdot 2=10$
- ...
$V_2=\{2;4;6;8;10;...;112;114;116;...\}$
Jede dieser Zahlen endet mit einer $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$. Zahlen, die durch $2$ teilbar sind, werden auch gerade Zahlen genannt.
Ebenso kannst du dir die anderen beiden Endziffernregeln vor Augen führen.
Wann ist eine Zahl durch $5$ teilbar?
Hier siehst du die $5$er-Malfolge:
- $1\cdot 5=5$
- $2\cdot 5=10$
- $3\cdot 5=15$
- $4\cdot 5=20$
- ...
Wann ist eine Zahl durch $10$ teilbar?
Die $10$-er Malfolge lautet:
- $1\cdot 10=10$
- $2\cdot 10=20$
- $3\cdot 10=30$
- $4\cdot 10=40$
- ...
-
Gib an, ob die gegebene Zahl durch $2$, $5$ oder $10$ teilbar ist.
TippsDu kannst die Teilbarkeit durch $2$, $5$ bzw. $10$ immer an der letzten Ziffer (Endziffer) erkennen. Betrachte dazu die jeweiligen Malreihen.
Jede Zahl, die auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet, ist durch $2$ teilbar.
Jede Zahl, die eine $0$ als letzte Ziffer hat, ist durch $10$ teilbar.
LösungIn dieser Aufgabe geht es um die Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch $2$, $5$ bzw. $10$.
Hier siehst du die zugehörigen Endziffernregeln:
- Jede Zahl, die auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet, ist durch $2$ teilbar.
- Jede Zahl, die auf $0$ oder $5$ endet, ist durch $5$ teilbar.
- Jede Zahl, die auf $0$ endet, ist durch $10$ teilbar.
- $428$ endet auf $8$, ist also durch $2$ teilbar.
- $75397$ endet auf $7$. Diese Zahl ist nicht durch $2$ teilbar.
- $325$ endet auf $5$ und ist somit durch $5$ teilbar.
- Da $79203$ auf $3$ und damit nicht auf $5$ oder $0$ endet, ist sie nicht durch $5$ teilbar.
- $3240$ hat eine $0$ am Ende und ist also durch $10$ teilbar.
- Da die $45122$ nicht auf $0$ endet, ist sie auch nicht durch $10$ teilbar.
-
Prüfe die Zahlen auf ihre Teilbarkeit.
TippsEine Zahl kann durch alle drei Zahlen teilbar sein.
Beispielsweise ist $20$ durch $2$, $5$ und $10$ teilbar.
- Eine Zahl kann durch $2$ und weder durch $5$ noch durch $10$ teilbar sein.
- Eine Zahl kann durch $5$ und weder durch $2$ noch durch $10$ teilbar sein.
Eine Zahl, die durch $10$ teilbar ist, ist auch durch $2$ und durch $5$ teilbar.
LösungWenn du mehrere Zahlen auf Teilbarkeit untersuchen willst, kannst du dies mit Hilfe einer Tabelle machen.
In der ersten Zeile schreibst du von links nach rechts Zahl und anschließend die Zahlen, auf deren Teilbarkeit du prüfen willst.
In die erste Spalte schreibst du dann jeweils eine Zahl, die du untersuchen möchtest. In die anschließenden Felder schreibst du dann ja bzw. nein.
Hier siehst du noch ein paar Regeln, die die Inhalte der Tabelle erklären:
- Jede Zahl, die auf $0$ endet, ist durch $10$ teilbar. Eine solche Zahl ist auch durch $2$ und durch $5$ teilbar. Zum Beispiel gilt dies für $6430$.
- Eine Zahl kann durch $2$ und weder durch $5$ noch durch $10$ teilbar sein. Das siehst du am Beispiel der Zahl $31414$. Dies gilt für alle Zahlen mit den Endziffern $2$,$4$,$6$ und $8$.
- Eine Zahl kann auch durch $5$, allerdings weder durch $2$ noch durch $10$ teilbar sein. Beispiele hierfür sind die verbleibenden drei Zahlen $725$, $80135$ und $12345$.
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Entscheide, welche der Zahlen durch $2$, $5$ oder $10$ teilbar ist.
TippsDie Endziffer ist die Einerstelle einer Zahl.
- Ist die Endziffer eine $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$, so ist die Zahl durch $2$ teilbar.
- Ist die Endziffer eine $5$ oder $0$, so ist die Zahl durch $5$ teilbar.
- Ist die Endziffer eine $0$, so ist die Zahl durch $10$ teilbar.
LösungIn dieser Aufgabe sollst du selbstständig die (größte) der drei Zahlen $2$, $5$ bzw. $10$ eintragen, durch die die jeweilige Zahl teilbar ist.
Ist die Zahl durch keine der drei genannten Zahlen teilbar, so trägst du ein Minuszeichen $(-)$ ein.
- Die Zahl $3452$ hat die Endziffer $2$ und ist somit durch $2$ teilbar. Sie ist nicht durch $5$ oder $10$ teilbar.
- Die Zahl $4523$ hat die Endziffer $3$. Diese Zahl ist weder durch $2$ noch durch $5$ oder $10$ teilbar. Diese Zahl ist übrigens eine Primzahl. Primzahlen sind solche Zahlen, die genau zwei Teiler haben. Diese sind die $1$ und die Zahl selbst.
- Die Zahl $2345$ hat die Endziffer $5$ und ist somit durch $5$ teilbar.
- Die Zahl $4520$ endet auf $0$. Diese kann durch $2$, $5$ und $10$ geteilt werden. Die größte dieser Zahlen ist die $10$.
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Gib an, was eine Endziffer ist.
TippsDu kannst direkt vom Namen der Regel auf die Bedeutung schließen.
Die Endziffer ist die Einerstelle einer Zahl.
Die Endziffer von $54$ ist die $4$.
LösungDie Teilbarkeit von natürlichen Zahlen kann oft mit den sogenannten Endziffernregeln bestimmt werden.
Eine Endziffer ist, wie du bereits am Namen erkennen kannst, die letzte Ziffer einer Zahl.
Hinweis: Es gibt auch Regeln, bei denen nicht nur die letzte Ziffer betrachtet wird.
Hier siehst du zwei Beispiele:
- Die Endziffer von $54$ ist die $4$.
- Die Endziffer von $8413$ ist die $3$.
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Leite weitere Teilbarkeitsregeln her.
TippsWenn du glaubst, dass eine Aussage falsch ist, kannst du dir ein Gegenbeispiel einfallen lassen.
Was bedeutet „zweimal durch $2$ teilbar“?
Schau dir dies an dem Beispiel $216$ an.
- $216$ ist einmal durch $2$ teilbar, da die Endziffer eine $2$ ist. Es ist $216:2=108$.
- Da auch die $108$ durch $2$ teilbar ist, ist $216$ zweimal durch $2$ teilbar. Es ist $108:2=54$.
$256$ ist sogar dreimal durch $2$ teilbar:
- $256:2=128$
- $128:2=64$
- $64:2=32$
LösungEs gibt noch viele weitere Teilbarkeitsregeln. Einen Teil davon kannst du dir aus bereits bekannten Regeln herleiten.
Teilbarkeit durch $4$
Wenn eine Zahl zweimal durch $2$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $4$ teilbar. Du kannst auch hier eine Endziffernregel angeben. Wenn die letzten beiden Stellen der Zahl durch $4$ teilbar sind, ist auch die Zahl durch $4$ teilbar.
Das schauen wir uns am Beispiel $148$ an.
- Die beiden letzten Stellen sind $48$. Es ist $48:4=12$, also ist $48$ durch $4$ teilbar. Auch $148$ ist durch $4$ teilbar.
- Wende nun die Teilbarkeit durch $2$ an. $148$ ist durch $2$ teilbar, da die Endziffer eine $8$ ist. Rechne $148:2=74$. Auch $74$ ist durch $2$ teilbar. Rechne $74:2=37$.
Teilbarkeit durch $8$
Ist eine Zahl dreimal durch $2$ teilbar, so ist sie auch durch $8$ teilbar. Du kannst auch hier eine Endziffernregel angeben: Wenn die letzten drei Stellen der Zahl durch $8$ teilbar sind, ist auch die Zahl durch $8$ teilbar.
Das schauen wir uns ebenfalls an einem Beispiel an. Betrachte die Zahl $1008$.
- Die letzten drei Stellen sind $008$. Es ist $008:8=8:8=1$, also ist $008$ durch $8$ teilbar. Auch $1008$ ist durch $8$ teilbar.
- Verwende die Teilbarkeit durch $2$: $1008$ ist durch $2$ teilbar, da die Endziffer eine $8$ ist. Rechne $1008:2=504$. Diese Zahl ist wieder durch $2$ teilbar, denn $504:2=252$. Noch einmal kannst du durch $2$ teilen $252:2=126$. Du kannst also dreimal durch $2$ teilen.
Teilbarkeit durch $100$
Hier siehst du die Vielfachen von $100$. Die letzten beiden Ziffern sind immer $00$:
- $1\cdot 100=100$
- $2\cdot 100=200$
- $3\cdot 100=300$
- ...
Hier schaust du dir die Vielfachenmenge von $25$ an: $V_{25}=\{25;50;75;100;125;150;175;200;...\}$.
Du siehst, jede der Zahlen endet auf $00$, $25$, $50$ oder $75$. Eine einzelne $0$ am Ende genügt nicht, wie zum Beispiel $60$ zeigt. $60$ ist sicher nicht durch $25$ teilbar.
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Hallo ich fand das Video sehr hilfreich.
DANKE!😁
:D
sehr hilfreich danke
Hallo Florence,
direkt unter der Titel des Videos siehst du zwei Buttons: „Das Video“ und „Die Übung“. Klickst du auf die Übung, kannst du direkt mit unseren interaktiven Aufgaben starten.
Liebe Grüße aus der Redaktion
mega nice aber ich finde die aufgaben nicht