Spurgeraden von Ebenen
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Grundlagen zum Thema Spurgeraden von Ebenen
Hallo. Wie kannst du die Lage einer Ebene im Raum (IR³) erkennen? Wenn die Ebene in der Koordinatenform bzw. Koordinatengleichung gegeben ist, so lassen sich alle Schnittpunkte dieser Ebene mit den Koordinatenachsen, die sogenannten Achsenabschnittspunkte, berechnen. Falls die Ebene schräg im Raum liegt, also drei Achsenabschnittspunkte besitzt, so wird ein Spurdreieck gebildet. Die Verbindung von jeweils zwei dieser Achsenabschnittspunkte ergibt eine Gerade und diese Gerade nennt man Spurgerade. Falls du Fragen oder Anregungen hast, freue ich mich über Kommentare von dir. Bis bald, Frank.
Transkript Spurgeraden von Ebenen
Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich dir zeigen und erklären, was Spurgeraden von Ebenen im Raum sind. Die entsprechenden Definitionen siehst du hier rechts schon mal angeschrieben. Und die werde ich mir jetzt mal anschauen. Hier links kannst du im Koordinatensystem eine Ebene sehen, die schräg im Raum liegt. Und wenn die schräg im Raum liegt, dann schneidet sie jede der drei Koordinatenachsen, also die x-Achse, die y-Achse und die z-Achse in jeweils einem Punkt. Das kannst du in dem Bild hier schon mal sehen. Und das sind die sogenannten Achsenabschnittpunkte, abgekürzt mit AAP. Das sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen. Und diese bezeichne ich im Folgenden mit Sx, den Schnittpunkt mit der x-Achse, Sy und Sz entsprechend den anderen Achsen. Und wenn du dir jetzt die beiden Schnittpunkte Sx und Sy in dem Bild anschaust, dann ist die Verbindung dieser beiden Punkte eine Gerade. Und diese Gerade, ich habe sie jetzt im Bild mit gxy bezeichnet, ist gerade die Schnittgerade der Ebene mit der xy-Koordinatenebene. Und eine solche Schnittgerade nennt man Spurgerade, also die Schnittgerade mit den Koordinatenebenen. Davon gibt es in dem Fall hier, das kannst du jetzt hier auch nochmal sehen, drei, nämlich die Schnittgerade mit der xy-Ebene, also Spurgerade, mit der xz-Ebene und der yz-Ebene. Und das kannst du hier auch sehen. Und das wäre die Definition der Spurgeraden. Und zu guter Letzt, wenn wir uns die drei Punkte, die drei Achsenabschnittpunkte anschauen, dann bilden die ein Dreieck. Und dieses von den Achsenabschnittpunkten gebildete Dreieck nennt man Spurdreieck. Auch das kannst du jetzt hier links nochmal sehen. Und das Sinnvolle an dem Spurdreieck ist, dass wenn du die Achsenabschnittpunkte kennst, kannst du dieses Dreieck zeichnen und hast dann so ein Schrägbild der entsprechenden Ebene. Gut, das wäre jetzt erstmal nur die Definition Achsenabschnittpunkte, Spurgerade und Spurdreieck. Und im Folgenden werde ich dir zeigen, ob es immer drei Achsenabschnittpunkte gibt und wie viel Spurgeraden es geben muss. So, nachdem ich dir zuerst mal den Fall gezeigt habe einer Ebene, die schräg im Raum liegt. Das Bild kannst du hier nochmal sehen mit drei Achsenschnittpunkten Sx, Sy und Sz. Und dann auch drei Spurgeraden und einem Spurdreieck, schaue ich mir jetzt mal an, ob dieser Fall immer vorliegen muss. Also wenn ich so frage, ist natürlich klar, dass dieser Fall nicht immer vorliegen muss, weil diese Ebene muss nicht schräg im Raum liegen. Sie könnte zum Beispiel auch parallel zu einer Koordinatenachse liegen. Und das kannst du jetzt hier schon mal sehen. Ich habe das exemplarisch mal mit der z-Achse gemacht. Also das heißt, die Ebene könnte entweder parallel zur z-Achse liegen, was du hier im Bild sehen kannst oder aber sie könnte die z-Achse auch beinhalten. Und in dem Fall gibt es tatsächlich also bei Parallelität nur zwei Achsenschnittpunkte. In dem Bild jetzt Sx und Sy. Und entsprechend mit diesen beiden Achsenschnittpunkten kannst du auch die entsprechende Gerade betrachten, also gxy, die du ihr auch sehen kannst. Die Spurgerade mit der xy Ebene und die Spurgerade mit der xz-Ebene wäre die Parallele zur Z-Achse. Also gxz kannst du da sehen. Und in der yz-Ebene wäre gyz auch parallel zur z-Achse. Wenn du jetzt dir vorstellst, du würdest diese Ebene so weit schieben, bis die z-Achse drinnen liegt, dann würden die beiden Spurgeraden gxz und gyz zusammenfallen zur z-Achse. Dann gibt es unendlich viele Achsenabschnittpunkte und immer noch drei Spurgeraden, wobei zwei von den beiden identisch sind. Das wäre der Fall, dass die Ebene parallel zu einer Achse ist oder aber die Achse enthält. Und nun könnte auch noch der Fall vorliegen, den du jetzt hier siehst, dass die Ebene parallel zu einer Koordinatenebene liegt oder aber identisch mit dieser Koordinatenebene ist. Und wie du hier sehen kannst, gibt es in dem Beispiel Parallelität zur xy-Ebene, nur einen Achsenabschnittpunkt, nämlich den mit der z-Achse Sz. Und in dem Fall gibt es auch tatsächlich nur zwei Spurgeraden, nämlich gxz und gyz, die du auch eingezeichnet siehst. Und wenn du das Ganze jetzt nach unten schieben würdest, wären die Spurgeraden die x-Achse und die y-Achse und es gäbe unendlich viele Achsenabschnittpunkte. Damit hätte ich jetzt die Sonderfälle, also Parallelität zur Achse oder zur Ebene. Und im Folgenden werde ich mir dann auch anschauen, wie das konkret aussieht am Beispiel einer Ebene, die schräg im Raum liegt, wie du diese Spurgeraden berechnen kannst. Nachdem ich die Definitionen für Achsenabschnittpunkte, Spurgeraden und Spurdreieck fertig habe und auch schon diese beiden Sonderfälle betrachtet habe, die habe ich jetzt hier nochmal angeschrieben, dass die Ebene entweder parallel zu einer Koordinatenachse ist oder aber diese enthält oder aber der Sonderfall zwei, die Ebene ist parallel zu einer Koordinatenebene oder enthält diese, möchte ich dir jetzt mal anhand eines Beispiels zeigen, wie du Spurgeraden, in dem Beispiel werde ich genau eine Spurgerade bestimmen, berechnen kannst. Und da kann ich dir auch nochmal zeigen, woran du sehen kannst, welche der beiden Sonderfälle vorliegen. Aber ich habe hier ein Beispiel vorbereitet, diese Ebene 2x + 2y - 3z = 6 in Koordinatenform. Ich könnte das Ganze auch mit einer ebenen Parameterform rechnen. Das läuft recht analog. Aber ich mache es jetzt in dem Beispiel mit einer Koordinatenform. Hier links im Koordinatensystem kannst du diese Ebene schon mal sehen. Diese Ebene liegt schräg im Raum, heißt, sie schneidet die Koordinatenachsen tatsächlich in drei Punkten Sx, Sy und Sz. Exemplarisch kannst du hier schon mal Sx und Sy sehen. Und woran erkenne ich das? Hier steht in der Koordinatengleichung 2x + 2y - 3z, also jede der drei Koordinaten ist vorhanden in der Koordinatengleichung. Wenn eine fehlen würde, zum Beispiel diese hier, dann stünde hier 2x + 2y, dann siehst du daran: okay, das ist der Sonderfall eins, liegt parallel zu einer Koordinatenachse, in dem Fall zur z-Achse. Wenn jetzt zusätzlich noch auf der rechten Seite 0 stünde, würde die Ebene die Koordinatenachse enthalten. Und den Sonderfall zwei erkennst du daran, dass zwei Koordinaten fehlen. Also zum Beispiel x und y würden fehlen. Dann würde diese Ebene parallel zur xy-Ebene liegen. Und wenn hier wieder 0 stünde, würde sie diese Ebene enthalten. Das wären die Sonderfälle nochmal. Liegen beide hier nicht vor. Also schaue ich mir im ersten Schritt an, wie ich die Achsenabschnittpunkte, mit AAP abgekürzt, berechnen kann. Und da beginne ich mit dem Achsenabschnittpunkt mit der x-Achse, also Sx. Und jeder Punkt auf der x-Achse lautet (x 0 0), das heißt, y und z sind 0. Das führt also hier zu der Gleichung 2x = 6. Und auf beiden Seiten durch 2 teilen, liefert x = 3. Also haben wir den Achsenabschnittpunkt mit der x-Achse (3 0 0). Den kannst du hier links schon sehen (3 0 0). Analog dazu bestimme ich den Achsenabschnittpunkt mit der y-Achse Sy. Dafür muss x und z 0 sein. Und dann steht da die Gleichung 2y = 6. Also auch hier wieder durch 2 teilen, auch y ist 3. Und wir haben den y Achsenschnittpunkt Sy (0 3 0). Und auch diesen Achsenabschnittpunkt kannst du im Koordinatensystem sehen. Jetzt habe ich also die beiden Achsenabschnittpunkte und kann, wie ich vorhin schon beschrieben habe, aus der Gerade, die durch die beiden Punkte geht, die entsprechende Spurgerade bestimmen. Und das geht jetzt wie folgt. Also die Spurgerade in dem Fall mit der xy Ebene ist gegeben durch... Ich brauche einen Stützvektor. Ich nehme einen der beiden Punkte hier also (3 0 0) + r mal einen Richtungsvektor. Und das ist gerade der Verbindungsvektor der beiden und das wäre Sx nach Sy (-3 3 0). Und ich nehme dazu kollinear einen Vektor also (-1 1 0). Und so kannst du eine Spurgerade bestimmen, zum Beispiel indem du entsprechende Achsenabschnittpunkte bestimmst. Die Spurgerade kannst du hier wieder im Koordinatensystem sehen. So, dann fasse ich mal kurz zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe: Ich habe dir zuerst erklärt, was überhaupt Spurgeraden von Ebenen sind. Die Definition kannst du hier noch sehen. Unter einer Spurgeraden versteht man die Schnittgerade einer Ebene mit den Koordinatenebenen, oder mit einer Koordinatenebene natürlich, also in dem letzten Beispiel gxy ist die Spurgerade mit Gerade mit der xy-Ebene. Es gibt verschiedene Fälle. Die Ebene könnte schräg liegen, sie könnte aber auch einen dieser Sonderfälle, parallel zu einer Achse oder zu einer Ebene respektive diese enthalten. Zu guter Letzt habe ich dir an einem Beispiel gezeigt, wie du eine Spurgerade berechnen kannst. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.
Spurgeraden von Ebenen Übung
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Bestimme die Achsenabschnittpunkte der Ebene $E: 2x+2y-3z=6$.
TippsAchsenabschnittpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen.
Ein beliebiger Punkt
- der x-Achse lautet $S_x(x|0|0)$,
- der y-Achse $S_y(0|y|0)$ und
- der z-Achse $S_z(0|0|z)$.
Setze die jeweiligen Koordinaten in der obigen Ebenengleichung gleich $0$ und löse die resultierende Gleichung.
LösungUm die Achsenabschnittpunkte einer Ebene zu berechnen, setzt man in der Koordinatengleichung jeweils zwei Koordinaten gleich $0$.
- Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der x-Achse lautet $S_x(?|0|0)$. Das bedeutet, das $y=0$ und $z=0$ sind. Dies führt zu der Gleichung $2x=6$. Division durch $2$ führt zu $x=3$ und somit $S_x(3|0|0)$.
- Ebenso können die beiden anderen Achsenabschnittpunkte berechnet werden: $S_y(0|?|0)$ führt zu der Gleichung $2y=6$, also $y=3$. Damit ist $S_y(0|3|0)$.
- $S_z(0|0|?)$ führt zu $-3z=6$. Nun wird durch $-3$ dividiert zu $z=-2$, also $S_z(0|0|-2)$.
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Gib die Spurgerade $g_{xy}$ der Ebene $E$ an.
TippsDie Spurgerade $g_{xy}$ liegt in der x-y-Koordinatenebene. Die z-Koordinate muss dann $0$ sein.
Wenn zwei Punkte $P$ und $Q$ einer Geraden gegeben sind, kann die Gleichung der Geraden, welche durch die beiden Punkte verläuft, wie folgt angegeben werden:
$g:\vec x=\vec{OP}+r\cdot \vec{PQ}$.
Dabei ist
- $\vec{OP}$ der zu dem Punkt $P$ gehörende Ortsvektor und
- $\vec{PQ}$ der Verbindungsvektor von $P$ nach $Q$.
Um den Verbindungsvektor zweier Punkte zu erhalten, ziehst du von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes ab.
LösungVon der Geraden $g_{xy}$ sind bereits zwei Punkte bekannt, nämlich die Achsenabschnittpunkte $S_x$ sowie $S_y$. Mit Hilfe dieser beiden Punkte kann eine Zweipunktgleichung der Geraden aufgestellt werden:
$g_{xy}: \vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \left(\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$.
Üblicherweise wird der Richtungsvektor so weit wie möglich vereinfacht. Der vereinfachte Richtungsvektor ist natürlich kollinear:
$g_{xy}: \vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1\\0 \end{pmatrix}$.
Natürlich hätte man auch den Ortsvektor zu $S_y$ als Stützvektor der Geraden verwenden können. Die formale Darstellung einer Geraden ist nicht eindeutig. Anders ausgedrückt: Zu einer Geraden existieren unendlich viele Geradengleichungen.
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Leite die unvereinfachten Gleichungen der Spurgeraden $g_{xy}$ und $g_{yz}$ her.
TippsDie Gerade $g_{xz}$ verläuft durch die Achsenabschnittpunkte $S_x$ sowie $S_z$.
Verwende die Zweipunktdarstellung einer Geraden.
Wenn zwei Punkte $P$ und $Q$ einer Geraden gegeben sind, kann die Gleichung der Geraden, welche durch die beiden Punkte verläuft, wie folgt angegeben werden:
$g:\vec x=\vec{OP}+r\cdot \vec{PQ}$.
Dabei ist
- $\vec{OP}$ der zu dem Punkt $P$ gehörende Ortsvektor und
- $\vec{PQ}$ der Verbindungsvektor von $P$ nach $Q$.
LösungVon der Geraden $g_{xy}$ sind bereits die Punkte $S_x$ sowie $S_y$ bekannt. Nun kann eine Zweipunktgleichung der Geraden aufgestellt werden:
$g_{xy}: \vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$.
Ebenso kann die Spurgerade $g_{yz}$, welche durch die Punkte $S_y$ sowie $S_z$ verläuft, bestimmt werden:
$g_{yz}: \vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-2 \end{pmatrix}$.
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Gib die Anzahl der Achsenabschnittpunkte mit der Ebene $E: 3x-z=9$ sowie die Spurgerade $g_{xz}$ an.
TippsSetze zur Bestimmung eines Achsenabschnittpunktes die entsprechend beiden anderen Koordinaten gleich $0$ und löse die so erhaltene Gleichung.
Wenn eine Gerade durch zwei Punkte verläuft, dann ist der Ortsvektor des einen der beiden Punkte der Stützvektor der Geraden und der Verbindungsvektor der beiden Punkte der Richtungsvektor.
Schaue dir das Beispiel der Ebene $F:2y+z=4$ an.
Es ist $S_y(0|2|0)$ und $S_z(0|0|4)$. Es existiert kein Achsenschnittpunkt mit der x-Achse, weil $0\neq 4$ ist. Wenn in der Koordinatengleichung auf der rechten Seite $0$ stünde, gäbe es unendlich viele Achsenabschnittpunkte auf der x-Achse.
Achte auf das Vorzeichen.
LösungUm die Achsenabschnittpunkte einer Ebene zu berechnen, setzt man in der Koordinatengleichung jeweils zwei Koordinaten gleich $0$: In diesem Beispiel führt das jedoch für $x=z=0$ zu $0=9$, also einem Widerspruch. Das bedeutet, dass es keinen Schnittpunkt dieser Ebene mit der y-Ebene geben kann.
- $x=y=0$ führt zu $-z=9$, also $S_z(0|0|-9)$.
- $y=z=0$ führt zu $3x=9$ und somit, durch Division durch $3$, zu $S_x(3|0|0)$.
$g_{xz}:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0\\-9 \end{pmatrix}$.
Diese kann noch vereinfacht werden zu
$g_{xz}:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\3 \end{pmatrix}$.
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Beschreibe, wie man die Spurgerade einer Ebene bestimmen kann.
TippsEine Koordinatenachse kann man auch als Gerade verstehen. Wenn zwei Geraden sich schneiden, dann in einem Punkt.
Der Schnittpunkt einer Ebene mit einer Koordinatenachse wird als Achsenabschnittpunkt bezeichnet.
Jeder Punkt in der x-y-Ebene hat die z-Koordinate $0$.
LösungEine Spurgerade einer Ebene ist die Schnittgerade dieser Ebene mit einer Koordinatenebene.
Eine solche Spurgerade muss nicht immer existieren: Wenn zum Beispiel eine Ebene $E$ parallel zu der x-y-Ebene verläuft, mit dieser allerdings nicht identisch ist, existiert keine Spurgerade der Ebene $E$ mit der x-y-Ebene.
Zur Bezeichnung der Spurgeraden (sofern vorhanden):
- Die Spurgerade einer Ebene mit der x-y-Ebene wird mit $g_{xy}$,
- die mit der x-z-Ebene mit $g_{xz}$ und
- die mit der y-z-Ebene mit $g_{yz}$ bezeichnet.
-
Leite die Gleichungen der Spurgeraden zu der Ebene $E: y+z=5$ her.
TippsPunkte auf den Koordinatenachsen sehen wie folgt aus:
- $S_x(x|0|0)$ auf der x-Achse,
- $S_y(0|y|0)$ auf der x-Achse sowie
- $S_z(0|0|z)$ auf der x-Achse.
Wenn eine Spurgerade durch zwei Achsenschnittpunkt geht, stellst du die Zweipunktgleichung der Geraden auf.
Eine der drei Spurgeraden verläuft durch zwei Achsenabschnittpunkte und die beiden anderen jeweils durch einen Achsenabschnittpunkt.
Zwei der drei Spurgeraden verlaufen parallel zueinander.
LösungZunächst wollen wir die Achsenabschnittpunkte berechnen:
- $x=y=0$ führt zu $z=5$, also ist $S_z(0|0|5)$.
- $x=z=0$ führt zu $y=5$, also ist $S_y(0|5|0)$.
- $y=z=0$ führt zu $0=5$. Dies ist ein Widerspruch. Es gibt also nur zwei Achsenabschnittpunkte.
$\begin{pmatrix} 0 \\ 5\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1\\1 \end{pmatrix}$.
Der Richtungsvektor ist bereits vereinfacht.
Die beiden verbleibenden Spurgeraden verlaufen parallel zur x-Achse. Somit ist
$\vec v=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$
ein möglicher Richtungsvektor dieser Geraden. Die Stützvektoren sind die Ortsvektoren des entsprechenden Achsenabschnittpunktes:
$g_{xy}:\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 5\\ 0 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$
sowie
$g_{xz}:\vec x=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 5 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$.
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