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Kumulierte Häufigkeiten
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Grundlagen zum Thema Kumulierte Häufigkeiten
Was ist kumulierte Häufigkeit?
Eine kumulierte Häufigkeit, auch Summenhäufigkeit, gibt die Häufigkeit an, dass ein Merkmal kleiner gleich einem bestimmten Wert $k$ ist. Es handelt sich also um die Summe aus der Häufigkeit dieses Werts mit den Häufigkeiten aller Werte darunter.
Wir können kumulierte Häufigkeiten nutzen, wenn uns zum Beispiel nicht nur interessiert, wie viele Schüler in der letzten Arbeit eine ganz bestimmte Note hatten, sondern wie viele Schüler die Note $3$ oder besser erreicht haben. Das kann besonders dann interessant sein, wenn es sehr viele verschiedene Ausprägungen des Merkmals gibt. Wenn wir zum Beispiel die Akkulaufzeiten von Smartphones in Minuten messen, dann kann man so bestimmen, wie viele Geräte eine Akkulaufzeit unter einem bestimmten Grenzwert haben.
Kumulierte Häufigkeit – Definition
Der Begriff kumuliert kommt vom lateinischen Wort cumulare, was „anhäufen“ bedeutet. Bei der kumulativen Häufigkeit werden die Häufigkeiten aller Werte addiert, die kleiner oder gleich einem bestimmten Wert $k$ sind. Eine Voraussetzung ist dabei, dass die Daten geordnet sind, also in kleiner oder gleich bzw. größer $k$ unterteilt werden können.
Wir unterscheiden zwischen kumulierter absoluter Häufigkeit, kumulierter relativer Häufigkeit und kumulierter prozentualer Häufigkeit. Dabei werden jeweils die Werte der entsprechenden Häufigkeiten bis $k$ zusammengerechnet.
Kumulierte Häufigkeiten berechnen
Wir wissen bereits, dass sich die kumulierten Häufigkeiten als Summe der Häufigkeiten ergeben, für die die Ausprägung eines Merkmals kleiner oder gleich $k$ ist. In der folgenden Tabelle sind
$k$ | $h_k$ | $hc_k$ |
---|---|---|
$1$ | $3$ | $3$ |
$2$ | $12$ | $15$ |
$3$ | $22$ | $37$ |
$4$ | $7$ | $44$ |
$5$ | $6$ | $50$ |
Aus der Tabelle sehen wir zum Beispiel, dass die absolute Häufigkeit $h_3$ für $k = 3$ bei $22$ liegt. Das bedeutet: $22$ Schülerinnen und Schüler haben bei dem Test genau die Note $3$ erhalten. Die kumulierte Häufigkeit $hc_3 = 37 $ für $k = 3$ können wir ebenfalls ablesen. Dieser Wert besagt, dass $37$ Schülerinnen die Note $3$ oder eine bessere Note bekommen haben. Berechnen lässt sich der Wert $hc_3$, indem wir die absoluten Häufigkeiten für $h_1$, $h_2$ und $h_3$ addieren: $hc_3 = h_1 + h_2 + h_3 = 3 + 12 + 22 = 37$
Nach demselben Prinzip lassen sich auch die Werte für die kumulierten relativen und die kumulierten prozentualen Häufigkeiten berechnen. Es werden jeweils die Werte der entsprechenden Häufigkeiten addiert. Beispielsweise ergibt sich der Wert für $pc_2 = 30$ aus der unteren Tabelle auch, wenn wir $p_1 + p_2 = 6 + 24 = 30$ rechnen.
$k$ | $h_k$ | $f_k$ | $p_k$ | $hc_k$ | $fc_k$ | $pc_k$ |
---|---|---|---|---|---|---|
$1$ | $3$ | $0,06$ | $6$ | $3$ | $0,06$ | $6$ |
$2$ | $12$ | $0,24$ | $24$ | $15$ | $0,3$ | $30$ |
$3$ | $22$ | $0,44$ | $44$ | $37$ | $0,74$ | $74$ |
$4$ | $7$ | $0,14$ | $14$ | $44$ | $0,88$ | $88$ |
$5$ | $6$ | $0,12$ | $12$ | $50$ | $1$ | $100$ |
Kumulierte Häufigkeit – Eigenschaften
Hier siehst du zwei Säulendiagramme, die die prozentuale Häufigkeit $p_k$ und die kumulierte prozentuale Häufigkeit $pc_k$ aus der Tabelle von oben zeigen. Daran können wir zwei Eigenschaften von kumulierten Häufigkeiten erkennen:
- Die kumulierte prozentuale Häufigkeit nimmt nach rechts, also für größere Werte von $k$, immer weiter zu. Im Vergleich dazu hat die prozentuale Häufigkeit bei $k = 3$ ein Maximum und sinkt danach wieder.
- Die letzte Säule hat den Wert $100$, repräsentiert also $100\%$ der Daten. Diese Säule steht immer für alle Daten, da sie den höchsten möglichen Wert und alle kleineren Werte beinhaltet.
Diese beiden Eigenschaften gelten auch für die kumulierte absolute und die kumulierte relative Häufigkeit. Das kannst du auch in der Tabelle oben ablesen:
- Bei $hc_k$, $fc_k$ und $pc_k$ werden die Werte mit jeder Zeile größer, da wir etwas addieren.
- In der letzten Zeile steht jeweils der Wert, den alle Daten zusammen ergeben. Bei $hc_k$ ist das immer die Anzahl der Datenwerte $n$, bei $fc_k$ ist es $1$ und bei $pc_k$ entsprechend $100$.
Kumulierte Häufigkeit – Zusammenfassung
In diesem Video erfährst du, was kumulierte Häufigkeiten sind und wie du sie bestimmen und interpretieren kannst. Wir unterscheiden dabei zwischen kumulierter absoluter, kumulierter relativer und kumulierter prozentualer Häufigkeit.
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Auch wenn es nicht jedermanns Lieblingstätigkeit ist, hin und wieder muss man einfach mal wieder klar Schiff in der Bude machen! Die einen machen das schön gründlich und die anderen sind da eher flott unterwegs. Statistiken zu dem Thema können wir uns prima mit "kumulierten Häufigkeiten" in einer Häufigkeitstabelle anschauen. Fünfzig Personen wurden nach der Zeit gefragt, die sie durchschnittlich pro Woche für's Saubermachen aufbringen. Die Ergebnisse sind in dieser Häufigkeitstabelle zusammengefasst. In dieser Spalte können wir die absoluten Häufigkeiten ablesen. Sechs der befragten Personen putzen also normalerweise höchstens eine Stunde pro Woche, vierzehn nehmen sich ungefähr ein bis zwei Stunden, und so weiter. HIER stehen die relativen Häufigkeiten, die wir berechnen, indem wir die ABSOLUTEN Häufigkeiten durch die Gesamtzahl aller befragten Personen (sprich fünfzig) teilen, und in DIESER Spalte ist dann jeweils noch der prozentuale Anteil eingetragen. So weit, so gut. Wie sieht es jetzt aber mit den KUMULIERTEN Häufigkeiten aus? Kumulierte Häufigkeiten anzugeben, ist immer dann sinnvoll, wenn wir das betrachtete Merkmal (in unserem Fall die wöchentliche Putzdauer) in eine sinnvolle Rangordnung bringen können. Wir betrachten eine Rangordnung von "kurz" nach "lang". Die Idee ist jetzt folgende: Anstatt die Häufigkeiten von jeder Merkmalsausprägung einzeln zu betrachten, summieren wir die Häufigkeiten von der ersten Ausprägung bis zu einer bestimmten Ausprägung auf. Im ersten Fall ist die kumulierte absolute Häufigkeit einfach gleich der absoluten Häufigkeit für diese Ausprägung. Interessant wird es ab der nächsten Stufe: Um die kumulierte Häufigkeit für die zweite Merkmalsausprägung, also wöchentlichen Putzdauern von BIS ZU zwei Stunden, zu bestimmen, addieren wir die Häufigkeiten der ersten Ausprägung mit der der zweiten Ausprägung. Insgesamt zwanzig Personen putzen also zwei Stunden ODER WENIGER pro Woche. Um als nächstes die Anzahl an Personen zu bestimmen, die maximal drei Stunden putzt, addieren wir zu diesen zwanzig Personen weitere neun und kommen so schon auf neunundzwanzig. Dieses Prinzip setzen wir jetzt weiter fort, bis wir schließlich bei der letzten Merkmalsausprägung alle fünfzig teilnehmenden Personen der Befragung abgedeckt haben. Kumulierte RELATIVE Häufigkeiten beziehungsweise kumulierte Prozentangaben funktionieren nach derselben Grundidee. Um zum Beispiel die kumulierte relative Häufigkeit für Personen zu bestimmen, die maximal vier Stunden pro Woche putzen, addieren wir die relativen Häufigkeiten der ersten vier Merkmalsausprägungen. Am Ende kommen wir bei diesen Spalten somit immer zur Eins beziehungsweise zu einhundert Prozent, weil ja alle Häufigkeiten aufsummiert wieder die Grundgesamtheit ergeben müssen. Wir schauen uns die kumulierten Häufigkeiten auch nochmal kurz am Säulendiagramm an. In diesem Diagramm siehst du die absoluten Häufigkeiten. Um die KUMULIERTEN absoluten Häufigkeiten in einem Säulendiagramm einzutragen, müssen wir jetzt nur noch Säule für Säule übereinanderstapeln, anstatt sie ALLEIN nebeneinander stehen zu lassen. Bei unserem Diagramm für KUMULIERTE Häufigkeiten setzt sich also die zweite Säule aus den ersten beiden Säulen des linken Diagramms zusammen. Die dritte Säule dann aus den ersten drei Säulen und so weiter. Für relative Häufigkeiten sieht der Spaß dann genauso aus, nur, dass wir die y-Achse dafür anders beschriften. Bei kumulierten Häufigkeiten werden die Säulen also von Ausprägung zu Ausprägung immer höher, da ja alle Häufigkeiten der vorangegangenen Säulen in der nächsten Säule enthalten sind. Alles klar, wir fassen nochmal kurz und knapp zusammen, was du dir zu kumulierten Häufigkeiten merken solltest. Kumulierte Häufigkeiten geben an, wie häufig eine bestimmte Merkmalsausprägung und alle niedrigeren Ausprägungen eines Merkmals beobachtet wurden. Damit man kumulierte Häufigkeiten angeben kann, muss das betrachtete Merkmal daher in eine sinnvolle Rangordnung gebracht werden können. Dann summiert man einfach alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung auf. So setzt sich dann zum Beispiel die Häufigkeit der vierten Merkmalsausprägung aus der Summe der ersten vier Häufigkeiten zusammen. Das gilt sowohl für ABSOLUTE, als auch RELATIVE kumulierte Häufigkeiten und funktioniert auch bei prozentualen Angaben nach diesem Prinzip! Und wann hast du das letzte Mal dein Zimmer aufgeräumt? Naja, es hieß ja auch 4 Stunden ODER WENIGER!
Kumulierte Häufigkeiten Übung
-
Bestimme die kumulierten Häufigkeiten.
TippsUm die kumulierten absoluten Häufigkeiten zu berechnen, summieren wir alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung auf.
Alle kumulierten Häufigkeiten steigen mit zunehmender Putzzeit an.
Die kumulierte relative Häufigkeit der letzten Merkmalsausprägung ist immer $1$.
LösungKumulierte Häufigkeiten geben an, wie oft eine bestimmte Merkmalsausprägung und alle niedrigeren Ausprägungen eines Merkmals beobachtet wurden. Damit man kumulierte Häufigkeiten angeben kann, muss das betrachtete Merkmal daher in eine sinnvolle Rangordnung gebracht werden können.
Dies ist in unserem Beispiel zu den Putzzeiten schon der Fall.Um die kumulierten absoluten Häufigkeiten zu berechnen, summieren wir alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung auf:
- Die erste Merkmalsausprägung $(0~\text{bis}~1~\text{h})$ bleibt stehen: $6$.
- Um die kumulierte Häufigkeit für die zweite Merkmalsausprägung $(1~\text{bis}~2~\text{h})$ zu berechnen, addieren wir die Häufigkeiten der ersten Ausprägung $(0~\text{bis}~1~\text{h})$ mit der der zweiten Ausprägung: $6+14=20$.
- Um die kumulierte Häufigkeit für die dritte Merkmalsausprägung $(2~\text{bis}~3~\text{h})$ zu berechnen, addieren wir die Häufigkeiten der ersten, zweiten und dritten Ausprägung: $6+14+9=29$.
- Dieses Prinzip setzen wir weiter fort, bis wir schließlich bei der letzten Merkmalsausprägung alle $50$ teilnehmenden Personen der Befragung abgedeckt haben.
Kumulierte relative Häufigkeiten funktionieren nach demselben Prinzip: Wir addieren die relativen Häufigkeiten aller vorangegangenen Merkmalsausprägungen auf. Bei der letzten Merkmalsausprägung erhalten wir dann als Summe aller relativen Häufigkeiten immer $1$.
Auch kumulierte Prozentangaben funktionieren so: Wir addieren die Prozentangaben aller vorangegangenen Merkmalsausprägungen auf. Bei der letzten Merkmalsausprägung erhalten wir dann immer $100\,\%$.
Insgesamt ergibt sich damit die folgende Tabelle:
$\begin{array}{l|c|c} \text{Putzzeit pro Woche} & \text{kumulierte abs. Häufigkeit} & \text{kumulierte rel. Häufigkeit}\\ \hline 0~\text{bis}~1~\text{h}& 6 & 0,\!12 \\ \hline 1~\text{bis}~2~\text{h}& 20 & 0,\!40 \\ \hline 2~\text{bis}~3~\text{h}& 29 & 0,\!58 \\ \hline 3~\text{bis}~4~\text{h}& 37 & 0,\!74 \\ \hline \text{mehr als}~4~\text{h}& 50 & 1 \\ \end{array}$
$\begin{array}{l|c} \text{Putzzeit pro Woche} & \text{kumulierter prozentualer Anteil} \\ \hline 0~\text{bis}~1~\text{h} & 12\,\%\\ \hline 1~\text{bis}~2~\text{h}& 40\,\%\\ \hline 2~\text{bis}~3~\text{h} & 58\,\%\\ \hline 3~\text{bis}~4~\text{h} & 74\,\%\\ \hline \text{mehr als}~4~\text{h}& 100\,\%\\ \end{array}$
Du kannst nun auch gut erkennen, dass alle Werte mit zunehmender Merkmalsausprägung ansteigen.
-
Gib an, ob in dem Beispiel kumulierte Häufigkeiten angegeben werden können.
TippsKumulierte Häufigkeiten können immer dann angegeben werden, wenn das betrachtete Merkmal in eine sinnvolle Rangordnung gebracht werden kann.
Kumulierte Häufigkeiten können sowohl aus absoluten als auch aus relativen Häufigkeiten gebildet werden.
Überlege jeweils, ob sich Häufigkeiten zu „mindestens ...“ oder „höchstens ...“ bilden lassen.
LösungKumulierte Häufigkeiten können immer dann angegeben werden, wenn das betrachtete Merkmal in eine sinnvolle Rangordnung gebracht werden kann. Die kumulierten Häufigkeiten geben dann an, wie oft eine bestimmte Merkmalsausprägung und alle niedrigeren Ausprägungen eines Merkmals beobachtet wurden. Kumulierte Häufigkeiten können sowohl aus absoluten als auch aus relativen Häufigkeiten gebildet werden.
Wir betrachten die gegebenen Beispiele:
Schrittlängen im Kollegium:
$\begin{array}{l|c} \text{Schrittlänge} & \text{absolute Häufigkeit} \\ \hline 0~\text{bis}~0,\!5~\text{m}& 12 \\ \hline 0,\!5~\text{bis}~0,\!7~\text{m}& 88 \\ \hline 0,\!7~\text{bis}~0,\!9~\text{m}& 72 \\ \hline \text{mehr als}~ 0,\!9~\text{m}& 2 \\ \end{array}$
Die Schrittlängen können der Größe nach geordnet werden. Es kann beispielsweise betrachtet werden, wie viele Kollegen und Kolleginnen eine Schrittlänge von $0,\!7$ Meter oder weniger haben. Damit werden die ersten beiden Ausprägungen betrachtet.
$\quad \Rightarrow $ Beispiel zu kumulierten HäufigkeitenLieblingsfarben in Klasse 9a:
$\begin{array}{l|c} \text{Lieblingsfarbe} & \text{absolute Häufigkeit} \\ \hline \text{rot}& 6 \\ \hline \text{blau}& 8 \\ \hline \text{gelb}& 12 \\ \hline \text{grün}& 10 \\ \end{array}$
Die Farben können in keine sinnvolle Rangordnung gebracht werden. Somit können bei diesem Beispiel keine kumulierten Häufigkeiten betrachtet werden.
$\quad \Rightarrow$ kein Beispiel zu kumulierten HäufigkeitenGeschwisteranzahl in Klasse 8b:
$\begin{array}{l|c} \text{Anzahl Geschwister} & \text{relative Häufigkeit} \\ \hline 0& 0,\!3 \\ \hline 1& 0,\!4 \\ \hline 2& 0,\!2 \\ \hline \text{mehr als } 2& 0,\!1 \\ \end{array}$
Die Anzahl der Geschwister kann in eine sinnvolle Rangordnung gebracht werden. Es kann beispielsweise betrachtet werden, wie viele Klassenmitglieder maximal $2$ Geschwister haben. Damit werden die ersten drei Ausprägungen betrachtet und deren Häufigkeiten aufsummiert.
$\quad \Rightarrow$ Beispiel zu kumulierten HäufigkeitenSitzplatzverteilung in Wagen C:
$\begin{array}{l|c} \text{Abteilnummer} & \text{relative Häufigkeit} \\ \hline 6 & 0,\!25 \\ \hline 7 & 0,\!25 \\ \hline 8 & 0,\!25 \\ \hline 9& 0,\!25 \\ \end{array}$
Die Abteilnummern werden zufällig vergeben und können in keine sinnvolle Rangordnung gebracht werden. Somit können bei diesem Beispiel keine kumulierten Häufigkeiten betrachtet werden.
$\quad \Rightarrow$ kein Beispiel zu kumulierten Häufigkeiten -
Berechne die kumulierten Häufigkeiten.
TippsUm kumulierte Häufigkeiten zu berechnen, summieren wir alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung auf.
Du kannst die kumulierten relativen Häufigkeiten berechnen, indem du die kumulierten absoluten Häufigkeiten durch die Grundmenge teilst.
Die Grundmenge sind die $32$ Mitglieder der Jugendmannschaft.
LösungUm kumulierte Häufigkeiten zu berechnen, summieren wir alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung auf.
Bei den kumulierten absoluten Häufigkeiten können wir die absoluten Häufigkeiten aus der gegebenen Tabelle verwenden. Es ergibt sich:
- $12$-Jährige: $4$
- $13$-Jährige: $4+11=15$
- $14$-Jährige: $4+11+8=23$
- $15$-Jährige: $4+11+8+9=32$
Kumulierte relative Häufigkeiten funktionieren nach demselben Prinzip. Wir können sie berechnen, indem wir die kumulierten absoluten Häufigkeiten durch die Grundmenge, also $32$ Mitglieder, teilen:
- $12$-Jährige: $4:32 = 0,\!125$
- $13$-Jährige: $15:32 \approx 0,\!469$
- $14$-Jährige: $23:32 \approx 0,\!719$
- $15$-Jährige: $32:32 = 1$
Insgesamt ergibt sich damit die folgende Tabelle:
$\begin{array}{l|c|c} \text{Alter} & \text{kumulierte absolute Häufigkeit} & \text{kumulierte relative Häufigkeit} \\ \hline 12& 4 & 0,\!125\\ \hline 13& 15 & 0,\!469\\ \hline 14& 23 & 0,\!719\\ \hline 15& 32 & 1\\ \end{array}$
-
Leite aus dem Diagramm die geforderten Informationen ab.
TippsUm herauszufinden, wie viele Personen an der Umfrage teilgenommen haben, musst du dir die letzte Säule anschauen.
An weniger als fünf Tagen bedeutet an maximal vier Tagen.
LösungBei dem Diagramm handelt es sich um ein Diagramm zu kumulierten absoluten Häufigkeiten. Das bedeutet, es wurden jeweils alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Tagesanzahl aufsummiert. Anschaulich können wir uns dies so vorstellen, dass die Säulen übereinandergestapelt wurden. In einem Diagramm zu kumulierten Häufigkeiten werden die Säulen von links nach rechts daher immer höher.
Wir betrachten nun die Aussagen:
Aussage 1:
Um herauszufinden, wie viele Personen an der Umfrage teilgenommen haben, müssen wir uns die letzte Säule anschauen, da hierfür alle Personen aufaddiert wurden:
$\Rightarrow$ $110$ Personen haben an der Umfrage teilgenommen.Aussage 2:
Um zu ermitteln, wie viele Personen gar keinen Sport treiben, müssen wir die Säule für $0$ Sporttage betrachten:
$\Rightarrow$ $10$ Personen treiben gar keinen Sport.Aussage 3:
Um zu bestimmen, wie viele Personen an maximal drei Tagen pro Woche Sport treiben, müssen wir die Säule für $3$ Sporttage betrachten, weil hierbei die Personenanzahlen für $0$, $1$, $2$ und $3$ Tage aufsummiert wurden:
$\Rightarrow$ $81$ Personen treiben an maximal drei Tagen pro Woche Sport.Aussage 4:
Um herauszufinden, wie viele Personen an weniger als fünf Tagen pro Woche Sport treiben, müssen wir die Säule für $4$ Sporttage betrachten. Weniger als fünf Tage bedeutet nämlich an maximal vier Tagen:
$\Rightarrow$ $93$ Personen treiben an weniger als fünf Tagen pro Woche Sport.Aussage 5:
Um ermitteln, wie viele Personen jeden Tag der Woche Sport treiben, müssen wir bestimmen, wie groß die Differenz der Säulen $6$ und $7$ ist. Da sich hier die Personenanzahl nicht verändert, gilt:
$\Rightarrow$ $0$ Personen treiben jeden Tag der Woche Sport. -
Bestimme zu den absoluten Häufigkeiten die zugehörigen relativen Häufigkeiten.
TippsBestimme zunächst die Grundmenge, also die Gesamtzahl der Jugendlichen in der Jugendgruppe, indem du die absoluten Häufigkeiten addierst.
Du kannst nun die relative Häufigkeit berechnen, indem du die absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilst.
Je größer die absolute Häufigkeit in einem Beispiel ist, umso größer ist auch die relative Häufigkeit.
LösungWir unterscheiden die absolute und die relative Häufigkeit wie folgt:
- Die absolute Häufigkeit ist die genaue Anzahl, mit der ein Ereignis auftritt.
- Die relative Häufigkeit gibt das Verhältnis zwischen absoluter Häufigkeit und Grundmenge an.
Man kann also die relative Häufigkeit berechnen, indem man die absolute Häufigkeit durch die Grundmenge teilt.
In unserem Beispiel bestimmen wir die Grundmenge, also die Gesamtanzahl der Jugendlichen in der Jugendgruppe, indem wir die absoluten Häufigkeiten addieren:
$12+18+8+2 = 40$
Insgesamt sind also $40$ Jugendliche in der Gruppe.
Wir bestimmen nun die relativen Häufigkeiten:
- keine Haustiere: $\quad 18 : 40 = 0,\!3$
- ein Haustier: $\quad 12 : 40 = 0,\!45$
- zwei Haustiere: $\quad 8 : 40 = 0,\!2$
- mindestens drei Haustiere: $\quad 2 : 40 = 0,\!05$
Übrigens:
Absolute Häufigkeiten sind natürliche Zahlen zwischen $0$ und der Gesamtzahl in der Grundmenge.
Relative Häufigkeiten sind Dezimal- oder Prozentzahlen zwischen $0$ und $1$ bzw. $0\,\%$ und $100\,\%$. -
Leite die Antworten aus den kumulierten Häufigkeiten ab.
TippsDu kannst mithilfe der Tabelle der kumulierten Häufigkeiten eine Tabelle mit „normalen“ Häufigkeiten erstellen.
Um aus den kumulierten absoluten Häufigkeiten die absoluten Häufigkeiten zu berechnen, musst du subtrahieren.
Überlege, welche Häufigkeit jeweils gesucht ist.
Wir können also die absolute Häufigkeit für die Sprungweite $2,\!5~\text{bis}~3,\!0~\text{m}$ berechnen, indem wir subtrahieren:
$7-2=5$
LösungWir betrachten die Tabelle zu den kumulierten Häufigkeiten:
$\begin{array}{l|c|c} \text{Sprungweite} & \text{kumulierte absolute Häufigkeit} & \text{kumulierte relative Häufigkeit} \\ \hline 0~\text{bis}~2,\!5~\text{m}& 2 & 0,\!08 \\ \hline 2,\!5~\text{bis}~3,\!0~\text{m}& 7 & 0,\!28 \\ \hline 3,\!0~\text{bis}~3,\!5~\text{m}& 19 & 0,\!76 \\ \hline 3,\!5~\text{bis}~4,\!0~\text{m}& 23 & 0,\!92 \\ \hline \text{mehr als}~4~\text{m}& 25 & 1 \\ \end{array}$
Für die kumulierten Häufigkeiten wurden alle Häufigkeiten bis zu der betrachteten Merkmalsausprägung aufsummiert. Dabei ist die kumulierte Häufigkeit der ersten Merkmalsausprägung (Sprungweite $0~\text{bis}~2,\!5~\text{m}$) gleich der „normalen“ Häufigkeit.
Wir können also die absolute Häufigkeit für die Sprungweite $2,\!5~\text{bis}~3,\!0~\text{m}$ berechnen, indem wir subtrahieren:
$7-2=5$
$\quad \Rightarrow$ $\mathbf{5}$ Kinder sind zwischen $\mathbf{2,\!5}$ und $\mathbf{3,\!0}$ Meter weit gesprungen.
Um die absolute Häufigkeit für die Sprungweite $3,\!0$ und $3,\!5$ Meter zu berechnen, subtrahieren wir die kumulierten Häufigkeiten von $3,\!0~\text{bis}~3,\!5$ Meter und $2,\!5~\text{bis}~3,\!0$ Meter:
$19-7=12$
$\quad \Rightarrow$ $\mathbf{12}$ Kinder sind zwischen $\mathbf{3,\!0}$ und $\mathbf{3,\!5}$ Meter weit gesprungen.
Genauso gehen wir für Sprungweiten für $3,\!5$ und $4,\!0$ vor. Hierbei verwenden wir die relativen Häufigkeiten und wandeln diese in Prozent um:
$0,\!92 - 0,\!76 = 0,\!16 = 16\,\%$
$\quad \Rightarrow$ $\mathbf{16}\,\%$ der Kinder sind zwischen $\mathbf{3,\!5}$ und $\mathbf{4,\!0}$ Meter weit gesprungen.
Um zu bestimmen, wie viele Kinder mehr als $3,\!5$ Meter weit gesprungen sind, subtrahieren wir von der Gesamtzahl der Kinder ($25$) die kumulierte absolute Häufigkeit für $3,\!0~\text{bis}~3,\!5$ Meter:
$25-19=6$
$\quad \Rightarrow$ $\mathbf{6}$ Kinder sind mehr als $\mathbf{3,\!5}$ Meter weit gesprungen.
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