Besondere Dreiecke mit Vektoren bestimmen
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Grundlagen zum Thema Besondere Dreiecke mit Vektoren bestimmen
Du kennst doch sicher rechtwinklige Dreiecke. Den Nachweis für das Vorhandensein eines rechten Winkels kannst du entweder über praktisches Nachmessen oder Sinus und Kosinus oder den Satz des Pythagoras erbringen. Du kennst auch gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke. Um deren Eigenschaften nachzuweisen, musst du die Dreieckseiten abmessen und schon hast du den entsprechenden Nachweis erbracht. In diesem Video zeige ich dir, wie du mit Hilfe von Vektoren und der Vektorrechnung diese Nachweise führen kannst. Darüber hinaus sind dies sehr beliebte Teilaufgaben im Bereich der analytischen Geometrie in der Abiturprüfung. Ich hoffe, du kannst alles gut verstehen und freue mich natürlich über Fragen und Anregungen von dir. Bis zum nächsten Mal und viel Spaß von Frank.
Transkript Besondere Dreiecke mit Vektoren bestimmen
Hallo, mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich dir zeigen, wie du die besonderen Eigenschaften von Dreiecken mit Hilfe von Vektoren nachweisen kannst. Und welche besonderen Dreiecke gibt es? Es gibt rechtwinklige Dreiecke, das heißt, in einem der drei Punkte liegt ein rechter Winkel vor, oder gleichschenklige Dreiecke, das heißt, dass zwei Seiten gleich lang wären, oder gleichseitige Dreiecke, das heißt, dass alle drei Seiten dieses Dreiecks gleich lang wären. Das kennst du sicherlich schon. Und das könntest du zum Beispiel nachweisen, indem du das Dreieck zeichnest. Und dann misst du die Seiten oder die Winkel, oder du berechnest die Winkel mit Sinus, Kosinus oder Sinussatz und Kosinussatz. Und in diesem Video werde ich dir zeigen, wie du bei gegebenen Punkten im Raum R³ mit Hilfe von Vektoren diese Eigenschaften nachweisen kannst. So, also jetzt komme ich zu dem Nachweis besonderer Dreiecke. Und das brauchst du zum Beispiel recht häufig in Abituraufgaben, das sind so Teilaufgaben, die in der Geometrie gestellt werden, auch vorkommt. Das Vorwissen, das wir brauchen, habe ich hier schon einmal aufgeschrieben. Ein Punkt im Raum ist gegeben durch seine xyz-Koordinate, also a1, a2, a3. Der Ortsvektor des Punktes ist der Verbindungsvektor vom Koordinatenursprung zu dem Punkt, ist dann die Vektorschreibweise a1, a2, a3. Der Verbindungsvektor zweier Punkte AB ist die Differenz des Endvektors und des Ausgangsvektors, also b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3. Und dann brauchen wir auch noch das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist erklärt als die Summe der Produkte der Koordinaten, also a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3. Über das Skalarprodukt ist die Länge eines Vektors erklärt. Und das ist gerade die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Und auch die Orthogonalität ist darüber erklärt. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss 0 sein. Und das brauchen wir zum Beispiel bei einem rechtwinkligen Dreieck. Und ich fange jetzt einmal an mit einem ersten Beispiel, ich untersuche, ob dieses Dreieck ABC mit den Punkten (1 1 2), (3 1 3) und (0 4 4) ein rechtwinkliges Dreieck ist. Dafür brauche ich erst einmal die Verbindungsvektoren AB, und das ist 3 - 1 ist 2, 1 - 1 ist 0, 3 - 2 ist 1. Dann AC, ich weiß ja nicht, wo der rechte Winkel liegt, also bestimme ich einfach einmal alle drei Verbindungsvektoren AC 0 - 1 ist -1, 4 - 1 ist 3, 4 - 2 ist 2. Und dann zu guter Letzt noch den Verbindungsvektor BC 0 - 3 ist -3, 4 - 1 ist 3, 4 - 3 ist 1. Und ich schaue jetzt einmal das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren an, also AB * AC. Das wäre AB * AC, wäre das Produkt der Koordinaten, also 2 * -1 ist -2. Und diese Produkte werde addiert 0 * 3 ist 0, 1 * 2 ist 2 und -2 + 0 + 2 ist 0. Und damit sehen wir schon, okay, da liegt ein rechter Winkel vor. Und der ist genau in Punkt A. Das kannst du jetzt hier an dem Bild sehen. Die Punkte sind im Koordinatensystem gezeichnet. Und du kannst jetzt hier auch den rechten Winkel sehen, der sich im Punkt A befindet. Das war mein erstes Beispiel. Ich tu das einmal hier oben hin und komme jetzt folgend dazu zu überprüfen, ob ein Dreieck mit gegebenen Eckpunkten ein gleichschenkliges Dreieck ist. Dafür müssten zwei Seiten gleich lang sein. Das wäre das zweite Beispiel. Und die Punkte wären A(3 1 1), B(2 2 2) und C(4 1 0). Auch da wieder, ich schaue mir die Verbindungsvektoren an, also AB wäre gerade 2 - 3 ist -1, 2 - 1 ist 1, 2 - 1 ist 1. AC wäre der Vektor 4 - 3 ist 1, 1 - 1 ist 0, 0 - 1 ist -1 und BC, also auch hier, ich brauche alle drei Vektoren, weil zwei von diesen müssten die gleiche Länge haben, damit wir ein gleichschenkliges Dreieck haben, BC 4 - 2 ist 2, 1 - 2 ist -1, 0 - 2 ist -2. Und bei Gleichschenkligkeit überprüfe ich die Länge dieser Vektoren, also mache ich hier jeweils die Betragsstriche darum, weil ich ja die Länge dieser Vektoren brauche. Die Definition ist da das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und daraus die Wurzel 1 + 1 + 1 ist 3. Also (-1)² ist 1, 1² ist 1, 0² ist 0, (-1)² ist 1. Also stimmen hier Wurzel 2 und hier 2² = 4, (-1)² = 1, (-2)² = 4. Wenn ich die addiere, kommt 9 heraus, also Wurzel(9), und das wäre gerade 3. Und du kannst erkennen, da sind keine zwei Seiten, die gleich lang sind. Also hätten wir in diesem Fall nachgewiesen, dass es kein gleichschenkliges Dreieck ist. Und das Bild kannst du jetzt auch noch einmal hier sehen. Erst einmal dieses Dreieck und dann die drei Seiten in verschiedenen Farben markiert, um anzudeuten, dass die Seiten nicht gleich lang sind. Und auch das verkleinere ich einmal und lass das einmal hier. Im Folgenden werde ich dir noch ein drittes Beispiel zeigen, und zwar ein Dreieck, das gleichseitig ist. So, abschließend komme ich noch zu einem gleichseitigen Dreieck. Und da habe ich schon einmal die Punkte hier stehen dieses Dreiecks. Das wären die Punkte A(2 0 0), B(0 2 0), C(0 0 2). Und beim gleichseitigen Dreieck müssen alle Seiten gleich lang sein, das heißt, ich brauche wieder die Verbindungsvektoren AB, das wäre 0 - 2 ist -2, 2 - 0 ist 2, 0 - 0 ist 0, dann AC, das wäre 0 - 2 ist -2, 0 - 0 ist 0, 2 - 0 ist 2 und dann noch BC. BC ist 0 - 0 ist 0, 0 - 2 ist -2, 2 - 0 ist 2. Und wenn ich die Gleichseitigkeit untersuche, brauche ich wieder die Länge dieser Vektoren. Und die Länge ist ja nichts anderes als die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. (-2)² ist 4, 2² ist 4, 0² ist 0, 4 + 4 ist 8, also Wurzel(8). Und du kannst erkennen, die Komponenten, die Koordinaten sind alle gleich, sie sind halt nur an verschiedenen Stellen. Es kommt also tatsächlich jedes Mal Wurzel 8 heraus. Und klar, das kannst du auch sehen, die Längen sind alle gleich, das heißt, wir haben ein gleichseitiges Dreieck. Und das Bild zu dem gleichseitigen Dreieck kannst du hier noch einmal sehen. Und die Seiten sind alle grün markiert. Die sind alle gleich lang. Gut, ich tue das auch noch einmal hier darunter. Dann hast du die Dreiecke immer, also zu jedem Beispiel auch noch einmal dieses Dreieck dann da. Ich fasse noch einmal kurz zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe: Ich habe dir gezeigt, wie du besondere Eigenschaften von Dreiecken mit Vektoren nachweisen kannst. Wie gesagt, das sind Aufgabenstellungen, die gerne im Abitur drankommen. Dafür brauchst du ein bisschen Vorwissen zu Vektoren. Und das Ganze habe ich gemacht, einmal mit einem rechtwinkligen Dreieck. Dann musste ich nachweisen, dass zwei Vektoren einen rechten Winkel einschließen, dann mit einem gleichschenkligen Dreieck, in dem Beispiel war es nicht gleichschenklig. Ich müsste da nachweisen, dass zwei Seiten gleich lang sind. Und das letzte Beispiel hier, das siehst du hier noch einmal, da habe ich dann nachgewiesen, dass alle drei Seiten gleich lang sind. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.
Besondere Dreiecke mit Vektoren bestimmen Übung
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Vervollständige den Nachweis der Rechtwinkligkeit des Dreiecks mit den Punkten $A(1|1|2)$, $B(3|1|3)$ und $C(0|4|4)$.
TippsDu erhältst den Verbindungsvektor zweier Punkte, indem du von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes subtrahierst.
Du musst nachweisen, dass zwei der drei Verbindungsvektoren $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ oder $\vec{BC}$ senkrecht aufeinander stehen.
Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ stehen senkrecht aufeinander, in Zeichen $\vec u\perp\vec v$, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec u\cdot \vec v=0$ ist.
LösungWenn drei Punkte gegeben sind und geprüft werden soll, ob diese ein rechtwinkliges Dreieck bilden, muss man zunächst alle (drei!) Verbindungsvektoren bestimmen. Das Skalarprodukt zweier dieser Verbindungsvektoren muss $0$ sein. Dann weiß man, dass diese beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Das bedeutet, dass ein rechter Winkel vorliegt.
Den Verbindungsvektor zweier Punkte erhält man, indem man von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes subtrahiert. Dies ist hier exemplarisch für $\vec{AB}$ zu sehen:
$\vec{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}$
Ebenso können die beiden anderen Verbindungsvektoren bestimmt werden:
$\vec{AC}=\begin{pmatrix} -1 \\ 3\\2 \end{pmatrix}$
und
$\vec{BC}=\begin{pmatrix} -3 \\ 3\\1 \end{pmatrix}$
Nun kann das Skalarprodukt von $\vec{AC}$ sowie $\vec{AB}$ berechnet werden.
$\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3\\2 \end{pmatrix}=-2+0+2=0$.
Diese beiden Vektoren stehen senkrecht. Es liegt also ein rechter Winkel in $A$ vor. Warum in $A$? Weil beide Vektoren den Punkt $A$ als End- oder Anfangspunkt haben.
-
Gib an, welches besondere Dreieck bei den Punkten $A(2|0|0)$, $B(0|2|0)$ und $C(0|0|2)$ vorliegt.
TippsDu musst auf jedem Fall die Verbindungsvektoren der drei Punkte bestimmen.
Der Verbindungsvektor zweier Punkte ist die Differenz des Ortsvektors des Endpunktes und dem des Anfangspunktes.
- Entweder stehen zwei Vektoren senkrecht, dann liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor,
- oder zwei Seiten sind gleich lang, also zwei Verbindungsvektoren, dann liegt ein gleichschenkliges Dreieck vor,
- oder drei Seiten sind gleich lang, also alle drei Verbindungsvektoren, dann liegt ein gleichseitiges Dreieck vor.
Du erhältst die Länge eines Vektors, indem du jede Koordinate quadrierst, die Quadrate addierst und aus der Summe die Wurzel ziehst.
LösungWelche möglichen besonderen Dreiecke gibt es?
- Rechtwinklige Dreiecke: Diese haben einen rechten Winkel.
- Gleichschenklige Dreiecke: Diese haben zwei gleich lange Seiten.
- Gleichseitige Dreiecke: Diese haben drei gleich lange Seiten.
$\vec{AB}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\0 \end{pmatrix}$
$\vec{AC}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0\\2 \end{pmatrix}$
$\vec{BC}=\begin{pmatrix} 0 \\ -2\\2 \end{pmatrix}$
Natürlich könnte man jetzt prüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Da jedoch alle drei Verbindungsvektoren die gleichen Koordinaten (nur in verschiedener Reihenfolge) haben, sind die Längen dieser Vektoren gleich:
$\left|\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\0 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=\sqrt{4+0+4}=\sqrt8$.
-
Prüfe, welches besondere Dreieck mit den Punkten $A(3|1|1)$, $B(7|4|-1)$ und $C(5|1|3)$ vorliegt.
TippsDie Länge eines Vektors berechnet man, indem man jede Koordinate des Vektors quadriert, die Quadrate addiert und zuletzt die Wurzel aus der Summe zieht.
Achte darauf, Klammern beim Quadrieren von negativen Zahlen zu verwenden, denn
- $(-2)^2=4$
- aber $-2^2=-4$.
Wenn zwei (drei) Vektoren gleich lang sind, so handelt es sich um eine gleichschenkliges (gleichseitiges) Dreieck.
LösungBei der Untersuchung besonderer Dreiecke muss man immer zunächst die Verbindungsvektoren der drei Punkte bestimmen. Diese sind bei den Punkten $A(3|1|1)$, $B(7|4|-1)$ und $C(5|1|3)$:
$\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3\\-2 \end{pmatrix}$
$\vec{AC}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\2 \end{pmatrix}$
$\vec{BC}=\begin{pmatrix} -2 \\ -3\\4 \end{pmatrix}$
Dann kann man die Länge jedes dieser drei Vektoren berechnen:
$\left| \begin{pmatrix} 4 \\ 3\\-2 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{4^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{29}$
$\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\2 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{2^2+0^2+2^2}=\sqrt{8}$
$\left| \begin{pmatrix} -2 \\ -3\\4 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{29}$
Gegebenenenfalls könnte das Dreieck auch noch rechtwinklig sein:
- $\vec{AB}\cdot \vec{AC}=8-4=4$
- $\vec{AB}\cdot \vec{BC}=-8-9-8=-25$
- $\vec{AC}\cdot \vec{BC}=-4+8=4$
-
Entscheide, wie der dritte Punkt des Dreiecks mit $A(3|3|3)$ und $B(6|0|3)$ für die jeweilige Eigenschaft gewählt werden muss.
TippsBerechne jeweils die Verbindungsvektoren von $A$, beziehungsweise $B$, zu dem dritten Punkt.
Achte darauf, bei zwei gleich langen Seiten auch noch zu überprüfen, ob gegebenenfalls noch ein rechter Winkel vorliegen kann.
Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ sind senkrecht zueinander, $\vec u\perp\vec v$, wenn $\vec u\cdot \vec v=0$ ist.
LösungDer Verbindungsvektor dieser beiden Vektoren ist
$\vec{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\0 \end{pmatrix}$
Die Länge dieses Vektors ist
$\left|\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\0 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{18}$.
Wir starten mit dem Punkt $C(6|6|3)$:
$\vec{AC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$ und $\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\0 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}$.
Zusätzlich ist $\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}=9-9=0$.
Das Dreieck $\Delta_{ABC}$ ist rechtwinklig und gleichschenklig.
$D(6|3|3)$:
$\vec{AD}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix}$ und $\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{3^2}=3$.
$\vec{BD}=\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$ und $\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\0 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{3^2}=3$.
Zusätzlich ist $\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3\\0 \end{pmatrix}=0$.
Auch das Dreieck $\Delta_{ABD}$ ist rechtwinklig und gleichschenklig.
$E(7|1|4)$:
$\vec{AE}=\begin{pmatrix} 4 \\ -2\\1 \end{pmatrix}$ und $\left|\begin{pmatrix} 4 \\ -2\\1 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{4^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{21}$.
$\vec{BE}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}$ und $\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix} \right|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3$.
Die Längen stimmen also nicht überein.
Es ist jedoch $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -3\\0 \end{pmatrix}=3-3=0$.
Somit ist das Dreieck $\Delta_{ABE}$ rechtwinklig.
-
Beschreibe die Besonderheit des jeweiligen Dreiecks.
TippsDie Summe der drei Innenwinkel in jedem Dreieck beträgt immer $180^\circ$.
Ein $90^\circ$ Winkel wird als rechter Winkel bezeichnet.
Oben rechts siehst du ein allgemeines Dreieck.
Das grüne Dreieck ist gleichseitig und das orange gleichschenklig.
Das rote Dreieck ist rechtwinklig.
LösungOben rechts ist ein allgemeines Dreieck zu sehen; dieses ist mit Eckpunkten versehen, welche üblicherweise entgegen dem Uhrzeigersinn beschriftet sind.
Was sollte man über Dreiecke wissen?
- Der Flächeninhalt lässt sich berechnen als die Hälfte des Produktes einer beliebigen Seite und der zugehörigen Höhe.
- Der Umfang ist die Summe der drei Seiten.
- Die Summe der drei Innenwinkel beträgt $180^\circ$.
Das orange Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Dies ist ein gleichschenkliges Dreieck. Übrigens sind die beiden den gleich langen Seiten gegenüberliegenden Winkel ebenfalls gleich groß. Es gibt rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke.
In dem grünen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Dies ist ein gleichseitiges Dreieck. Da alle Seiten gleich lang sind, sind auch alle Winkel gleich groß. Da die Summe aller Innenwinkel immer $180^\circ$ beträgt, ist jeder Winkel also $60^\circ$ groß.
-
Bestimme den jeweiligen Parameter so, dass das Dreieck die angegebene Besonderheit besitzt.
TippsAlle Lösungen sind ganzzahlig.
Stelle zunächst die (drei!) Verbindungsvektoren auf.
Dann musst du Folgendes untersuchen:
- Sind alle Vektoren gleich lang, dann ist das Dreieck gleichseitig.
- Sind zwei Vektoren gleich lang, dann ist das Dreieck gleichschenklig.
- Schließen zwei Vektoren einen rechten Winkel ein, dann ist das Dreieck rechtwinklig.
LösungIn dieser Aufgabe geht es darum, freie Koordinaten von Punkten so zu bestimmen, dass das resultierende Dreieck die vorgegebenen Eigenschaften besitzt.
In jedem der drei möglichen Fälle, Gleichseitigkeit, Gleichschenkligkeit und Rechtwinkligkeit, können zunächst die Verbindungsvektoren aufgestellt werden:Bei dem ersten Dreieck ergeben sich
$\vec{AB}=\begin{pmatrix} -3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$; $~~~$$\vec{AC}=\begin{pmatrix} -3 \\ 0\\c \end{pmatrix}$; $~~~$$\vec{BC}=\begin{pmatrix} 0 \\ -3\\c \end{pmatrix}$Die Länge des Vektors $\vec{AB}$ beträgt $\sqrt{18}$. Damit das resultierende Dreieck gleichseitig ist, muss auch die Länge der beiden anderen Vektoren $\sqrt{18}$ sein. Dies führt zu $\sqrt{9+c^2}=\sqrt{18}$. Wenn man diese Gleichung auf beiden Seiten quadriert, gelangt man zu $9+c^2=18$. Subtraktion von $9$ führt zu $c^2=9$. Nun kann die Wurzel gezogen werden. Das gesuchte $c$ ist entweder $3$ oder $-3$.
Die Verbindungsvektoren bei dem zweiten Dreieck sind
$\vec{AB}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\0 \end{pmatrix}$; $~~~$$\vec{AC}=\begin{pmatrix} 4 \\ b-2\\0 \end{pmatrix}$; $~~~$$\vec{BC}=\begin{pmatrix} 4 \\ b-4\\0 \end{pmatrix}$Dieses Dreieck soll rechtwinklig sein. Dies führt zu den folgenden Gleichungen:
- $2(b-2)=0$, was äquivalent ist zu $b=2$.
- $2(b+4)=0$. Dies ist äquivalent zu $b=4$.
- $16+(b-2)(b-4)=0$. Dies führt zu der quadratischen Gleichung $b^2-6b+24=0$, welche keine Lösung hat.
$\vec{AB}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\-2 \end{pmatrix}$; $~~~$$\vec{AC}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\\c-3 \end{pmatrix}$Dieses Dreieck soll gleichschenklig sein, wobei die beiden gleich langen Schenkel den Punkt $A$ enthalten. Deshalb ist $\vec{BC}$ nicht von Interesse.
Es ist $|\vec{AB}|=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$. Deshalb muss $c$ so gewählt werden, dass auch der Vektoren $\vec{AC}$ die Länge $3$ besitzt:
$|\vec{AC}|=\sqrt{1+4+(c-3)^2}=\sqrt{5+(c-3)^2}$. Durch Quadrieren sowie Subtraktion von $5$ gelangt man zu $(c-3)^2=4$, also, nun wird die Wurzel gezogen, $c-3=\pm2$. Dies führt zu $c=2+3=5$ oder $c=-2+3=1$.
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Tolles Video danke !!
Ich wollte fragen ob es geht das man seine Profilbilder auch aus dem Internet holen kann.
Hallo Jasnapopovic86,
danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten beständig an der Produktion neuer Videos. Über Rückmeldungen, welche Themen gewünscht sind, freuen wir uns sehr. Natürlich streben wir eine möglichst hohe Abdeckung an.
Liebe Grüße aus der Redaktion
Könnt ihr vielleicht ein Video mit besserem sound und besser (z.b. zeichnerisch) erklärt😊 und für die 7.Klasse, denn wir machen Vektoren anders (leichter)🙏🏻?
Könnt ihr vielleicht ein Video mit besserem sound und besser (z.b. zeichnerisch) erklärt😊?