Ableitungen
die Steigung der Tangenten an einer Funktion
Beliebteste Videos und Übungen in Ableitungen
Beliebteste Videos in Ableitungen
Jetzt mit Spaß die Noten verbessern
und sofort Zugriff auf alle Inhalte erhalten!
30 Tage kostenlos testenAlle Themen in Ableitungen
- Änderungsrate, Differenzenquotient und mittlere Steigung
- Ableitung einer Funktion an einer Stelle: f '(xₒ)
- Ableitungsfunktion f'(x) und graphisches Ableiten
- Potenzregel, Faktorregel und Summenregel bei Ableitungen
- Produktregel
- Kettenregel
- Quotientenregel
- Exponential- und e-Funktionen ableiten
- Sinus, Cosinus, Umkehrfunktionen und Hyperbelfunktionen ableiten
Themenübersicht in Ableitungen
Steigung und Differenzenquotient
Eine Gerade ist eindeutig durch zwei Punkte festgelegt. Mit Hilfe der sogenannten Steigungsformel kannst du die Steigung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht, berechnen. Die Steigungsformel lautet:
$m = \dfrac{y_{2} - y_{1}} {x_{1} - x_{0}}$
.
Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden.
Betrachten wir nun zwei beliebige Punkte einer nicht-linearen Funktion. Die Koordinaten dieser Punkte sind $(x_{1} \vert f(x_{1}))$ und $(x_{2} \vert f(x_{2}))$. Wenn man die obige Formel auf diese beiden allgemeinen Punkten anwendet, ergibt sich der sogenannte Differenzenquotient. Dieser lautet:
$m = \dfrac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$
.
Dieser Quotient liefert die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $(x_{1} \vert f(x_{1}))$ und $(x_{2} \vert f(x_{2}))$ verläuft.
Der Differentialquotient
Wenn man allerdings an der Steigung der Tangente interessiert ist, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt, muss man den Differentialquotienten nutzen. Dieser hat große Ähnlichkeit zum Differenzenquotienten. Der Unterschied ist der, dass man zwei Punkte betrachtet die „unendlich nah“ aneinander liegen. Mathematisch wird dies mit Hilfe eines Grenzwertes $(\lim)$ ausgedrückt:
$m = \lim\limits_{x_{2}\rightarrow x_{1}} \dfrac{f(x_{2}) - f(x_{1}) } {x_{2} - x_{1}}$
.
Mit Hilfe des Differentialquotienten kann man die Steigung einer beliebigen Funktion an einem beliebigen Punkt bestimmen.
Ableitungen
Die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ gibt die Steigung einer Funktion an der Stelle $x_{0}$ an. Die erste Ableitung einer Funktion entspricht somit der Tangentensteigung. Es kann zu jedem $x$-Wert eine Tangente an den Funktionsgraphen gelegt werden, deren Steigung identisch mit der Ableitung der Funktion an dieser Stelle ist. Mit Hilfe der ersten Ableitung lässt sich neben der Steigung auch die Monotonie einer Funktion bestimmen. Die zweite Ableitung hingegen beschreibt das Krümmungsverhalten. Im nächsten Abschnitt lernst du nun, wie du ableitest.
Hinweis: Oft werden Ableitungen in der Schule rechnerisch durchgeführt. Du kannst allerdings auch graphisch ableiten.
Ableitungsregeln
Die Ableitungsregeln sind nützliche Regeln, die dir dabei helfen, Funktionen schnell abzuleiten. Als erstes schauen wir uns die Potenz-, Faktor- und Summenregeln an.
Potenzregel
Die Potenzregel besagt, dass für eine Funktion $f(x)=x^{n}$ die Ableitung $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$ ist. Das bedeutet, dass du bei der Ableitung einer Potenzfunktion den Exponenten als Faktor vorziehst und den Exponenten der Ableitung um 1 verringerst.
Faktorregel
Bei der Faktorregel gilt, dass eine Funktion $f(x)=c\cdot g(x)$ so abgeleitet wird, dass der Faktor $c$ erhalten bleibt. Es gilt $f'(x)=c\cdot g'(x)$.
Summenregel
Die Summenregel hilft dir, Summen oder Differenzen von zwei oder mehr Funktionen abzuleiten. Dabei gilt, dass du jeden einzelnen Term ableiten kannst und die Ableitungen anschließend addieren (subtrahieren) darfst. Eine Funktion $h(x) = f(x) ±g(x)$ wird abgeleitet durch:
$h'(x) = f'(x) ±g'(x)$.
Produktregel
Die nächste wichtige Regel ist die Produktregel. Diese wird angewendet, wenn die abzuleitende Funktion $f(x)$ ein Produkt aus zwei Funktionen ist, welche beide von $x$ abhängen. So wird die Funktion $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ wie folgt abgeleitet:
$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$.
Kettenregel
Die Kettenregel kommt bei verketteten Funktionen wie $f(x)=u(v(x))$ zum Einsatz. Ihre Ableitung sieht dann so aus:
$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$.
Quotientenregel
Abschließend siehst du hier noch die Quotientenregel. Diese setzt du ein, wenn die abzuleitende Funktion ein Bruch ist, wo sowohl Zähler als auch Nenner von $x$ abhängen. Allgemein haben diese Funktionen die Form $f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}$. Die erste Ableitung lautet dann wie folgt:
$f'(x)= \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^{2}}$
.
Besondere Funktionen
Nun kennst du alle wichtigen Ableitungsregeln. Allerdings gibt es besondere Funktionen bei denen diese Regeln nicht genauso anwendbar sind. Beispielsweise ist die Ableitung der Sinusfunktion die Cosinusfunktion, während die e-Funktion abgeleitet die e-Funktion ergibt.
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Was ist eine Ecke?
- Rechteck
- Was ist eine Gleichung?
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was Ist Eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Äquivalenzumformung
- Grundrechenarten Begriffe
- Größer Kleiner Zeichen
- Dreiecksarten
- Aufbau von Dreiecken
- Quader
- Satz Des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste Binomische Formel
- Kreis
- Trigonometrie
- Trigonometrische Funktionen
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen In Worten Schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich Multiplizieren
- Brüche gleichnamig machen
- Brüche Multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen Berechnen
- Brüche Addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Exponentialfunktion Beispiel