Potenzen mit negativen Exponenten - Erklärung 1 07:40 min

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Transkript Potenzen mit negativen Exponenten - Erklärung 1

Hallo, wenn du weißt was Potenzen mit positiven Exponenten sind, dann können wir uns jetzt mal ansehen wie wir Potenzen mit negativen Exponenten definieren können. Wir wiederholen kurz die grundlegenden Begriffe zu den Potenzen und schauen uns dann an einem konkreten Fall an, wie wir beispielsweise 2-3 definieren können. Wir haben 2³ = 2 * 2 * 2 = 8. Die Zahl hier oben ist der Exponent. Diese Zahl hier unten ist die Basis. Und das ganze hier ist die Potenz. Und dann haben wir noch hier hinten den Potenzwert. Und bei uns geht es jetzt darum, was passiert, wenn der Exponent nicht drei, sondern minus drei ist. Wenn also 2³ bedeutet, dass die zwei dreimal mit sich selbst multipliziert wird, dann haben wir ein Problem mit 2-3, denn wir können die zwei ja nicht minus dreimal mit sich selbst multiplizieren. Und wenn das halt so nicht geht, dann definieren wir 2-3 anders, und zwar mit Algen. Stellen wir uns mal eine große Wasserfläche vor. Die Wasserfläche eines Sees zum Beispiel. Und die könnte zum Teil mit Algen bedeckt sein, die grüne Fläche hier ist die Fläche, die mit Algen bedeckt ist, das ist die Fläche F. Nun vermehren sich die Algen und nach einer bestimmten Zeit, sagen wir vielleicht nach einer Woche, ist die Fläche, die mit Algen bedeckt ist doppelt so groß. Das können wir ausrechnen wie groß das ist, das ist nämlich F * 2. Und das ist, haben wir gesagt, nach einer Woche. Nach einer weiteren Woche ist die Fläche wieder doppelt so groß und wir rechnen dann F * 2². Das ist also nach zwei Wochen und das bedeutet F * 2 * 2. Ja, und so ließe sich das jetzt zumindest in der Vorstellung immer weiter führen, nach noch einer Woche ist die Fläche wieder doppelt so groß. Und das ist dann nach drei Wochen, wir rechnen F * 2³ und das bedeutet F * 2 * 2 * 2. Wenn wir uns jetzt dafür interessieren, was jetzt hier noch so an Potenzen hinkommen könnte, dann können wir diese Liste mal von oben nach unten durchgehen. Also wir haben mit drei potenziert, nach drei Wochen. Wir haben mit zwei potenziert nach zwei Wochen. Dann könnten wir hier ja sagen wir potenzieren mit eins nach einer Woche. Dann haben wir das also 21 = 2, also das ist nichts Neues. Was ist aber hier? Nach null Wochen, könnten wir jetzt sagen okay, dann müssen wir mit null potenzieren, denn wir haben ja gar nicht mit zwei multipliziert. Dementsprechend muss dann 20 = 1 sein, denn vorher stand ja nur F und nur F mal eins ist auch gleich F. So und jetzt kommt der große Moment, wir fragen uns, was war denn vor einer Woche? Da war die mit Algen bedeckte Fläche halb so groß. Wie wir das rechnen ist wohl kein Geheimnis nehme ich an. Wir nehmen die Fläche von heute, und multiplizieren sie mit 1/2. Das ist also zum Zeitpunkt minus eins, also vor einer Woche. Und wenn wir das jetzt hier auch weiterführen wollen, dass wir sagen die Zahl, die hier steht, die steht auch immer im Exponenten, dann steht hier auch diese Zahl im Exponenten und das ist minus eins. Man kann sich das auch so vorstellen, hier haben wir immer mit zwei multipliziert und in der Gegenrichtung machen wir auch das Gegenteil, wir teilen nämlich durch zwei, so wie hier. Und dann kann man sagen, okay, wir teilen durch 21. Und was war jetzt eine Woche davor? Da war die Fläche wieder halb so groß wie vorher. Das ist der Zeitpunkt minus zwei, da müssen wir diese Fläche hier nochmal durch zwei teilen, also mit 1/2² multiplizieren. Und dieser Tradition folgend ist das dann F * 2-2. Und jetzt brauchen wir noch die allgemeine Definition, so sieht sie aus: a-n = 1/an und das gilt für alle a Element aus R{0}, das heißt a ist eine reelle Zahl aber nicht die null. Und n Element N, das heißt n ist eine natürliche Zahl. Ja und jetzt denkst du dir vielleicht: „Ja Moment, ähm, kann man sich denn Mathematik einfach so ausdenken, ist Mathematik nicht so wie sie ist?“ Nun, teils teils. Es gibt Dinge in der Mathematik da stehen wir Menschen einfach vor und sagen „boah, krass“, zum Beispiel die Zahl π ist so. Und es gibt auch Dinge, die denken wir Menschen uns aus, zum Beispiel Potenzen, die gehören eindeutig dazu. Und wenn Menschen sich ausdenken was Potenzen sind, können sie sich auch ausdenken, was Potenzen mit negativen Exponenten sind. Das ist übrigens ein Prozess der weiter läuft, es denken sich weiterhin Menschen mathematische Inhalte aus, denken sich Definitionen aus und vielleicht bist du ja auch irgendwann mal dabei. Vielleicht denkst du dir was aus wo Menschen sagen: „da kann man ja toll mit rechnen“ oder „das bringt irgendwas, das gefällt uns“. Und dann wird diese Definition möglicherweise nach dir benannt und du wirst reich und berühmt. Warum nicht. Viel Spaß damit, tschüss!

2 Kommentare
  1. Default

    Shr gut erklärt, danke! Nur die Übung dazu ist etwas verwirrend.

    Von Ti Buongrazio, vor 7 Monaten
  2. Default

    Toll erklärt, mir hilft es immer wenn etwas visuell dargestellt wird, danke.

    Von Kristof Klever 1, vor 8 Monaten

Potenzen mit negativen Exponenten - Erklärung 1 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzen mit negativen Exponenten - Erklärung 1 kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne die Kenngrößen der Rechnung mit negativen Potenzen.

    Tipps

    Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.

    Der Exponent wird auch als „Hochzahl“, also als „hochgestellte Zahl“ bezeichnet.

    Lösung

    Schauen wir uns die Bestandteile unseres Beispiels genauer an.

    • Der Term $2^{-3}$ wird als Potenz bezeichnet. Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für eine Multiplikation, bei der die Basis so oft mit sich selbst multipliziert wird, wie der Betrag des Exponenten groß ist.
    • Die Anzahl, wie oft der Faktor vorkommt, steht in der Potenz oben. Sie wird als Exponent bezeichnet. Für eine Potenz mit negativen Exponenten gilt $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$. Im Beispiel hat $n$ den Wert $3$.
    • Die Variable $a$ ist die sogenannte Basis. Also die Zahl, welche mit sich selbst multipliziert wird. Die Basis steht in der Potenz unten. Hat die Potenz einen negativen Exponenten darf die Basis nicht Null sein. In unserem Beispiel ist $2$ die Basis.
    • Die Faktoren sind auf Grund des negativen Exponenten nicht gleich der Basis $2$, sondern entsprechen dem zugehörigen Kehrwert $\frac {1}{2}$.
    • Der Potenzwert gibt das Ergebnis einer Potenz an. Rechnest du die gegebene Potenz aus, ergibt sich $2^{-3}= \frac{1}{2\cdot 2\cdot 2} =\frac{1}{8}$.
  • Beschreibe die Größe der Algenfläche mit Hilfe von Potenzen.

    Tipps

    Je mehr Zeit vergeht, desto größer wird der Exponent der $2$ vor dem $F$.

    Die Algenfläche war eine Woche bevor Herr Grünbaum aus dem Urlaub gekommen ist, kleiner als bei seiner Ankunft.

    Erinner dich an die Potenzschreibweise. Es gilt zum Beispiel:

    $2^4 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16$.

    Du hast die $2$ also $4$-mal miteinander multipliziert.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um die Darstellung von Wachstum mit Hilfe von Potenzen. Eine Potenz ist dabei ein Ausdruck der Form $a^b$. Dabei gilt für diese Aufgabe $a=2$.

    Bei der ersten Beobachtung der Algen entscheidet sich Herr Gründaum dazu, die Größe dieser Fläche mit $F$ zu bezeichnen.

    Nach einer Woche ist die Fläche doppelt so groß. Dies hält Herr Gründaum mathematisch mit $F + F$ bzw. $2\cdot F$ fest. Zusätzlich notiert er den Potenzausdruck $2^1\cdot F$.

    Da auch in der nächsten Woche eine Verdopplung stattfindet schreibt Herr Gründaum $F+F+F+F$ bzw. $4\cdot F$. auf seinen Notizzettel. Zusätzlich schreibt er den Potenzausdruck $2^2\cdot F$ auf. Dieser ist gleich $4\cdot F$, da $2^2 = 2\cdot 2 = 4$ gilt.

    Im letzten Schritt der Aufgabe überlegt Herr Gründaum wie groß die Fläche wohl eine Woche vor dem Beobachtungsbeginn gewesen ist. Da sich die Fläche innerhalb von einer Woche immer verdoppelt, schließt Herr Gründaum darauf, dass die Fläche eine Woche vor Beobachtungsbeginn halb so groß war. Mathematisch ausgedrückt:

    $\frac{1}{2}\cdot F$

    Zusatz: Auch die beiden Ausdrücke, die in dieser Aufgabe nicht als Potenz geschrieben wurden, kann man als Potenz ausdrücken. Für den Beobachtungsbeginn gilt $F = 2^0 \cdot F$, da $2^0 = 1$ gilt. Der Exponent der $2$ ist in dieser Aufgabe also immer der aktuelle Beobachtungszeitpunkt in Wochen.

    Auf diese Weise muss $\frac{1}{2} F = 2^{-1}\cdot F$ gelten. Daraus folgt $2^{-1} = \frac{1}{2}$.

  • Berechne den Inhalt der Algenfläche abhängig vom Zeitpunkt mit Hilfe von Potenzen.

    Tipps

    Die Basis beträgt $2$, da sich die Fläche laut Herr Grundaums Beobachtungen immer verdoppelt hat.

    Die Formel zur allgemeine Berechnung der Algenfläche ist:

    $F(t)=2^{t}\cdot 2$

    Für Potenzen mit negativen Exponenten gilt:

    $a^ {-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$

    Lösung

    Die Formel zur Flächenberechnung der Algen in Abhängigkeit zum Zeitpunkt $t$ ist:

    $F(t)=2^{t}\cdot \text{Anfangsfl}\ddot{\text{a}}\text{che}$

    Da du bereits weißt, dass nach vier Wochen ($t=4$) eine Größe von $32\text{m}^2$ erreicht ist, gilt:

    $F(4) = 2^4 \cdot \text{Anfangsfl}\ddot{\text{a}}\text{che} = 32$

    Die Anfangsfläche hat also die Größe $2$.

    Die allgemeine Formel in Abhängigkeit von $t$ lautet also:

    $F(t)=2^{t}\cdot 2$

    Mit dieser erhältst du für die Größe vor acht Wochen ($t=-4$):

    $F(-4) = 2^{-4} \cdot 2 = \dfrac{1}{2^4} \cdot 2 = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8} = 0,125$

  • Bestimme die passenden Terme mit Hilfe von Potenzen.

    Tipps

    Eine Potenz $a^b$ besteht aus der Basis $a$ und dem Exponenten $b$. Bei der Berechnung der Potenz müssen wir aufpassen:

    Ist $b$ positiv? Dann gilt:

    $\quad a^b = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a \cdot a}_{b\text{-mal}} \quad$

    Ist $b$ gleich Null, so gilt immer:

    $\quad a^b = a^0 = 1$

    Ist $b$ aber negativ (und $a\neq 0$)? Dann gilt:

    $\quad \underbrace{\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}}_{b\text{-mal}} \quad$

    Beispiel für einen positiven Exponenten:

    $2^4 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 16$

    Beispiel für Null im Exponenten:

    $5\cdot 2^0 = 5 \cdot 1 = 5$

    Beispiel für einen negativen Exponenten:

    $2^{-4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$

    Der Exponent beschreibt hier stets die Wochenanzahl seit dem Beobachtungsbeginn.

    • Dabei ergibt „nach zwei Wochen“ den positiven Exponenten $2$.
    • „Vor zwei Wochen“ hingegen ergibt den negativen Exponenten ${-2}$.
    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um Potenzausdrücke und ihre Aussage im Bezug auf das Wachstum einer Algenfläche.

    Für den Beginn der Beobachtung wird die Größe der Algenfläche mit $F$ bezeichnet. Wir gehen von folgendem Wachstum aus: Pro Woche verdoppelt sich die Algenfläche.

    Wir verwenden nun

    • die Wochenanzahl $t$ seit dem Beobachtungsbeginn,
    • die Ausgangsfläche $F$
    • und die Verdopplung der Fläche, was uns zu dem Faktor $2$ führt.
    Mit jeder verstrichenen Woche kommt ein weiterer Faktor $2$ hinzu. So kommen wir zu der Formel:

    $\text{Fl}\ddot{\text{a}}\text{chengr}\ddot{\text{o}}$ß$\text{e}=2^t \cdot F$

    Hier siehst du nun die Flächengröße zur jeweiligen Wochenanzahl $t$ seit dem Beobachtungsbeginn. Dabei wird die dritte Aufgabe exemplarisch ausführlich erklärt:

    $\begin{array}{l|l} \text{Zum Beginn der Beobachtung (} t=0 \text{):}& 2^0 \cdot F = 1\cdot F = F \\[1.5ex] \hline \text{Nach drei Wochen (} t=3 \text{):}& 2^3 \cdot F = 8 \cdot F \\[1.5ex]\hline \text{Vor zwei Wochen (} t=-2 \text{):}& 2^{-2} \cdot F = \frac{1}{2^2}\cdot F = \frac{1}{4}\cdot F \\[1.5ex]\hline \text{Vor einer Woche (} t=-1 \text{):}& 2^{-1} \cdot F = \frac{1}{2^1}\cdot F = \frac{1}{2} \cdot F \end{array}$

    Erklärung zur dritten Aufgabe:

    Du weißt, dass die Fläche zum Zeitpunkt $t=0$ die Größe $F$ hat. Vor einer Woche war die Fläche also halb so groß. Vor einer weiteren Woche war die Fläche ein Viertel so groß wie $F$. Es gilt also für $t=-2$ der Term $\dfrac{1}{4}\cdot F$. Außerdem gilt:

    $ \frac{1}{4}\cdot F=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot F= \frac{1}{2^2}\cdot F=2^{-2} \cdot F $

  • Wende die Potenzgesetze für Potenzen mit negativen Exponenten an.

    Tipps

    Es gilt:

    • $5^{1}=5$
    • $5^{-1}=\frac{1}{5}$

    Es gilt:

    $3^{-5}\neq 3^{\frac{1}{5}}$

    Ein weiteres Beispiel für Potenzen mit negativen Exponenten:

    $(\frac{1}{6})^{-2}= (1:\frac{1}{6}) \cdot (1 : \frac{1}{6})=6 \cdot 6=36$

    Lösung

    Für Potenzen mit negativen Exponenten gilt $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}=\underbrace{\dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{1}{a} \cdot \ldots \cdot \dfrac{1}{a}}_{ n-mal}$.

    Mit Hilfe dieser allgemeinen Formel werden nun die konkreten Beispiele bestimmt:

    • $3^{-3} = \dfrac{1}{3^{3}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{27}$
    • $b^{-c} = \dfrac{1}{b}\cdot \dfrac{1}{b}\cdot \ldots \cdot \dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{b^{c}}$
    • $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-1} = 1: \dfrac{1}{4^{1}}= 1 :\dfrac{1}{4}= \dfrac{4}{1}=4$
    • $4^{-1} = \dfrac{1}{4^{1}}=\dfrac{1}{4}$
  • Begründe, dass $a^0 = 1$ gilt.

    Tipps

    Für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis gilt:

    $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$

    Sind Zähler und Nenner eines Bruches gleich, so lässt sich der Bruch auf $1$ kürzen.

    Die $0$ kann auch als Differenz einer Zahl mit sich selbst ausdrückt werden.

    Es gilt beispielsweise $b-b = 0$ für beliebige $b$.

    Lösung

    Zu zeigen ist, dass $a^{0}=1$ für alle $a\in \mathbb{R}$ gilt.

    Wir starten also mit $a^{0}$. Nun kann die $0$ als Differenz ausgedrückt werden. In der Aufgabe wurde die Differenz $4-4$ gewählt. Aus dieser Überlegung folgt:

    $a^{0}=a^{4-4}$

    Laut dem Potenzgesetz der Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis können die Exponenten aufsummiert werden. Es gilt $a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$. Wendest du diese Gesetzmäßigkeit nun auf die obige rechte Seite an, ergibt sich:

    $a^{0}=a^{4-4}=a^{4} \cdot a^{-4}$

    Wird nun die Definition der Potenzen mit negativen Potenzen $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ angewendet, so gilt für die Beispielrechnung:

    $a^{0}=a^{4-4}=a^{4} \cdot a^{-4}=a^{4} \cdot \dfrac{1}{a^{4}}$

    Diese Multiplikation lässt sich nun zu einem Bruch zusammenfassen. Anschließend wendest du nun die Definition der Potenz an und schreibst den Term mit Hilfe von Multiplikationen:

    $a^{0}=a^{4-4}=a^{4} \cdot a^{-4}=a^{4} \cdot \dfrac{1}{a^{4}}=\dfrac{a^{4}}{a^{4}}=\dfrac{a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a}$

    Zum Schluss kann der Bruch mit $a$ mehrfach gekürzt werden und wir erhalten das gewünschte Endergebnis:

    $a^{0}=a^{4-4}=a^{4} \cdot a^{-4}=a^{4} \cdot \dfrac{1}{a^{4}}=\dfrac{a^{4}}{a^{4}}=\dfrac{a \cdot a \cdot a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a}=\dfrac{\not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a}}{\not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a} \cdot \not{a}}=\dfrac{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}=\dfrac{1}{1}=1$