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Kathetensatz und Höhensatz 06:22 min

Textversion des Videos

Transkript Kathetensatz und Höhensatz

Hallo, mein Name ist Markkus und ich möchte euch im heutigen Video den Kathetensatz und den Höhensatz erklären, beide Sätze sind von dem Satz des Pythagoras abgeleitet. Zunächst gebe ich euch eine kurze Übersicht über den Ablauf des Videos. Zuerst werden wir den Satz des Pythagoras wiederholen, weil dieser für das weitere Verständnis nötig ist. Dann beginnen wir mit dem Kathetensatz und einem anschließenden Beispiel. Am Ende besprechen wir noch den Höhensatz mit einem kombinierten Beispiel aus beiden Sätzen. Der Satz des Pythagoras Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke, wie zum Beispiel dieses hier. Der rechte Winkel befindet sich zwischen den Katheten a und b bzw. gegenüber der Hypotenuse c. Die Hypotenuse kann an der Höhenlinie h in die Abschnitte p und q aufgeteilt werden. Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. Das bedeutet, dass die Fläche, die bei der Quadrierung von b entsteht, zusammen mit der Fläche, die bei der Quadrierung von a entsteht, genauso groß ist, wie die Fläche, die entsteht, wenn die Seite c quadriert wird. In einer Formel ausgedrückt: a2+b2=c2. Der Kathetensatz Der Kathetensatz besagt, dass das Quadrat über b flächengleich zum Rechteck mit den Seiten p und c ist. In einer Formel: b2=c×p. Analog dazu ist das Quadrat über a flächengleich zum Rechteck mit den Seiten c und q. In einer Formel: a2=c×q. Nun setzen wir unsere neuen Erkenntnisse um und rechnen ein Beispiel zum Kathetensatz. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, die Seiten c und a sind bekannt mit c=10 cm und a=6 cm. Gesucht wird die Länge des Hypotenusenabschnittes p. Der Kathetensatz besagt: b2=c×p. Diese Gleichung wird nach der gesuchten Größe p umgestellt, sodass sich ergibt: p=b2/c. [1] Nun benötigen wir noch die Größe b bzw. b2. Der Satz des Pythagoras besagt: a2+b2=c2. Nach b2 umgestellt, ergibt sich: b2=c2-a2. [2] Jetzt können wir die Gleichung 2 in die Gleichung 1 einsetzen und dadurch erhalten wir p. p=(c2-a2)/c. Nachdem wir unsere Werte für c und a eingesetzt haben, erhalten wir unser Ergebnis: p=6,4 cm. Der Höhensatz Der Höhensatz besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über h flächengleich dem Rechteck mit den Seiten p und q ist. Denn diese Seite ist genauso lang wie diese. In einer Formel ausgedrückt: h2=p×q.  Nun folgt ein Anwendungsbeispiel zum Höhensatz. Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck, die Seiten c und a sind bekannt mit c=9 cm und a=6 cm. Gesucht wird die Höhe h des Dreiecks. Der Höhensatz sagt uns: h2=p×q. [1] Um diese Aufgabe lösen zu können, benötigen wir noch die Größen p und q. Die Größe p erhalten wir aus dem Kathetensatz: a2=c×p. Diese Formel nach p umgestellt, ergibt: p=a2/c. [2] Und da die Summe aus p und q gleich c ist, folgt: q=c-p. [3] Nun setzen wir die 2. Gleichung in die 3. Gleichung ein und erhalten: q=c-(a2/c). [4] Jetzt müssen wir nur noch die 2. und die 4. Gleichung in die 1. Gleichung einsetzen und wir erhalten: h2=(a2/c)×(c-(a2/c)). Als Letztes ziehen wir die Wurzel und setzen unsere Werte für a und c ein. Damit erhalten wir unser Ergebnis: h=4,47 cm. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit. Auf Wiedersehen, Markkus.

40 Kommentare
  1. Dsc 0663

    @SophiaKlussmann:
    Wenn man b²=c*p umstellen will, sodass p allein steht, muss man das c von dem p weg bekommen. Da es durch Multiplikation mit p verbunden ist, können wir Division dafür benutzen, da das die Gegenoperation zur Multiplikation ist. Wir dividieren also die gesamte Geichung durch c und erhalten folgendes: b²:c=c*p:c oder auch umgestellt b²/c=p*c:c. Wenn p zuerst mit c multipliziert und das Ergebnis anschließend wieder durch c dividiert wird, bleibt als Ergebnis nur p übrig, also b²/c=p.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor etwa 2 Monaten
  2. Default

    Ich finde das Video verständlich, da ich Mir auch vorher schon ein Video zum Satz des Pythagoras angeguckt habe, aber ich verstehe nicht wie man b2=c•p nach p umstellt und wieso dann p=b2/c rauskommt.

    Von Sophia Klussmann, vor etwa 2 Monaten
  3. Default

    Finde das Video Nicht so gut da die Schrift katastrophal ist und sehr unverständlich und unübersichtlich erklärt wurde, beim nächsten mal bitte besser, mein Problem konnte immer noch nicht geklärt werden :(

    Von Tom S., vor 4 Monaten
  4. Default

    Nicht verständlich, redet wie ein Roboter und erklärt es Super schlecht. Ich bin gerade am ausflippen weil er es einfach vorträgt aber nicht beibringt. Er erklärt es, sodass man gar keine Chance hat es zu verstehen

    Von Jannis K., vor 4 Monaten
  5. Img 20180314 122805 027

    @Etsegenet Kk
    Hallo Etsegenet Kk,
    es wird in der Aufgabe die Größe p gesucht. Wir haben mit dem Kathetensatz eine Formel die den Zusammenhang zwischen b², p und c angibt. Damit wir p aber wirklich berechnen können, müssen wir die Gleichung nach p umstellen. So können wir b² (über den Satz des Pythagoras zu berechnen) und c einsetzen und erhalten dann das Ergebnis für p.
    Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Hjördis Leiser, vor 5 Monaten
  1. Jeanne

    Hallo Familie Basel,
    die Aufteilung der Seite c in die Abschnitte p und q erfolgt leider nicht überall in einheitlicher Reihenfolge.
    In diesem Video befindet sich der Abschnitt q nahe der Seite a und der Abschnitt p nahe der Seite b. Wir haben c also in alphabetischer Reihenfolge zerlegt. Daher lauten unsere Formeln a²=c*q sowie b²=c*p.
    Dein Lehrer wird die Abschnitte genau andersherum beschriftet haben, sodass bei dir p der Abschnitt ist, der nahe an der Seite a liegt. Somit lauten deine Formeln a²=c*p sowie b²=c*q.
    An der Rechnung ändert sich dadurch nichts. Es sind einfach nur verschiedene Bezeichnungen.
    Bei weiteren Fragen oder näheren Erklärungen kannst du dich gerne auch an den Fach-Chat oder an die Lehrerbox wenden. Wir helfen dir gerne.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 5 Monaten
  2. Jeanne

    Hallo Marisa M.,
    mithilfe der Formel erhältst du am Ende den Ausdruck h²=... Allerdings möchtest du nicht das Quadrat von h berechnen, sondern h selbst. Deshalb verwenden wir die Umkehroperation des Quadrierens - das Wurzelziehen. So erhalten wir den Ausdruck für den Wert von h.
    Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen. Bei weiteren Fragen wende dich gerne wieder an uns.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 5 Monaten
  3. Default

    Die Formel lautet doch b zum quadrat = c*q und nicht c*p und dasselbe mit a quadrat

    Von Familie Basel, vor 5 Monaten
  4. Default

    Ich finde dass es etwas schwierig erklärt wurde, vielleicht kann man eine einfachere Verfassung des Videos herausbringen.

    Von Etsegenet Kk, vor 7 Monaten
  5. Default

    Wieso muss die Formel am Anfang des Rechnens beim Kathetensatz umgestellt werden?

    Von Etsegenet Kk, vor 7 Monaten
  6. 20170708 212712

    Wiso muss man am schluss die wurzel ziehen

    Von Marisa M., vor 7 Monaten
  7. Florian huge 2017

    Hallo Sandra,
    prinzipiell ist es nicht so wichtig, wie du die Seiten benennst, sprich ob a links oder rechts ist. Wichtig ist bei der Anwendung der verschiedenen Sätze, wie beispielsweise des Höhensatzes nur, dass die richtigen Beziehungen der einzelnen Seiten nicht vertauscht werden. Zur Kathete a gehört also der Hypotenusenabschnitt q. Du musst bei dem Beispiel also einfach a und b sowie p und q vertauschen. Schau dazu vielleicht auch nochmal in das Video ab Minute 4:21.

    Viele Grüße und viel Erfolg beim Lernen,
    Florian

    Von Florian H., vor etwa einem Jahr
  8. Default

    der Lösungsweg bei Aufgabe 4 ist viel komplizierter als bei uns im Unterricht... vielleicht könnte man auch einen einfacheren Weg dazu schreiben

    Von Sandra Roehrig, vor etwa einem Jahr
  9. Default

    warum ist bei der dritten Übung das Dreieck so komisch gezeichnet ? Normal ist doch links b und rechts a sowie unten auch links p ist und rechts q. wie soll mann dann q von a berechnen ?

    Von Sandra Roehrig, vor etwa einem Jahr
  10. Default

    Super Video! Aber es wäre gut wenn du etwas schöner schreiben würdest.
    Du hast mir sehr weitergeholfen!

    Von Manuela Hemsath, vor etwa einem Jahr
  11. 379070 blackangel

    Die Schrift ist nicht die beste aber das Video ist top ! Super erklärt.

    Von Fabian A., vor mehr als einem Jahr
  12. Default

    die Schrift ist nicht besonders schön, aber erklärt ist es sehr gut!

    Von Verena Rose, vor mehr als einem Jahr
  13. Drachen103

    ich mag sofatutoooooooooooooooooooooooooooooorrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

    Von Kimi F., vor mehr als einem Jahr
  14. Default

    Super Erklärung!!!

    Von Sven W., vor mehr als einem Jahr
  15. 041

    ups,hab dass falsche Video angesehen
    :-)

    Von salih han b., vor fast 2 Jahren
  16. Default

    ich fand das Video eigentlich ziemlich gut nur habe ich bei dem Höhensatz das komplette Dreieck nicht erkannt da die eine Hälfte dünner gezeichnet wurde. Dadurch habe ich dann nicht verstanden wie man auf die Länge des Rechtecks unterhalb des Dreiecks kommen konnte , bis mich ein Lehrer im Hausaufgabenchat darauf hingewiesen hat.

    Von Kunmar, vor mehr als 2 Jahren
  17. Default

    Ich finde das Video gut weil langsam gesprochen wurde und alles gut zusammengefasst wurde. Meine Frage sind jetzt geklärt.

    Von Kunmar, vor mehr als 2 Jahren
  18. Felix

    @Annelen: Vielen Dank für deinen Hinweis. Mit der Bezeichnung im Dreieck muss a^2=c*q gelten. Wir haben das jetzt korrigiert.

    Von Martin B., vor mehr als 2 Jahren
  19. Default

    Bei der Übung ist in Aufgabe 1 a^2=c*p richtig und in Aufgabe 5 ist es falsch. Da ist dann a^=c*q richtig was auch logischer ist, weil es ja heißt das die Katheten mit den benachbarten hypotenusenabschnitten in Beziehung gesetzt werden. Stimmt das oder hab ich etwas übersehen?

    Von Annelen, vor fast 3 Jahren
  20. Default

    topp

    Von Tina K, vor fast 4 Jahren
  21. Default

    sehr gutes video :)
    habe verstanden :D

    Von Tina K, vor fast 4 Jahren
  22. Giuliano test

    @Bers T.:
    Das ist wahrscheinlich ein technisches Problem. Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
    Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 4 Jahren
  23. Dsc07727

    Kein Ton mehr in der Mitte des Videos

    Von Bers T., vor fast 4 Jahren
  24. Giuliano test

    @Apiacea51.
    Bei dem ersten Beispiel ist p gesucht. Um p zu berechnen, brauchen wir eine Gleichung bzw. Term, bei dem alle Größen bekannt sind. (1) ist in diesem Fall die Gleichung, mit der p ausgerechnet werden kann.
    (1) p=b²/c. c ist durch die Aufgabenstellung schon gegeben. Wir benötigen also noch b² (oder b), um p auszurechnen.
    Dafür wird hier der Satz des Pythagoras verwendet und umgeformt. So erhält man die Gleichung (2):
    (2) b²=c²-a². Jetzt ersetzt man b² für c²-a² in der Gleichung (1). So erhältst du letztlich eine Gleichung mit bekannten Größen. Jetzt kannst du p berechnen.
    Es geht also grundlegend um das Einsetzen von Termen mit bekannten Größen in Gleichungen mit unbekannten Größen.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  25. Default

    Ich habe die Formeln verstanden, jedoch nicht was gemeint wurde mit den 'Gleichungen' oder den Klammern wo ständig (1) oder (2) standen. Irgendetwas mit hinzufügen oder so ähnlich?

    Von Apiacea51, vor mehr als 4 Jahren
  26. Sarah2

    @Annika Behnke: siehe auch die anderen Kommentare und die Antwort von Jonemi: Grundsätzlich ist es egal, es ist ja nur eine Frage der Benennung. Allerdings achte darauf, dass du dann die Formeln evtl. anpassen musst!

    Von Sarah Kriz, vor mehr als 4 Jahren
  27. Default

    Das Beispiel zum Höhensatz kann man doch viel einfacher rechnen, oder?
    Ohne so komplizierte Formeln verrechnet man sich weniger und mein Ergebnis stimmt ja auch.

    Ich habe gleich angefangen, hier meine Rechnung:

    h²=p*q

    a²=p*c |:c

    p=a²/c

    p=36cm/9cm=4cm

    c-p=q

    9cm-4cm=5cm

    q=5cm

    h²=p*q

    h²=4cm*5cm

    h²=20cm

    Wurzel aus 20 ist ca. 4,47cm

    h ist also ca. 4,47cm

    Ich hoffe das war verständlich.

    Von Hannah Sitte76, vor mehr als 4 Jahren
  28. Default

    ist es egal,ob p oder q der Kathetenabschnitt bei a ist? Also wo p und q liegen?

    Von Annika Behnke, vor mehr als 4 Jahren
  29. Giuliano test

    @Achim Nestler:
    Das ist sehr schade. Kannst du vielleicht konkretisieren, was genau du nicht verstanden hast? Wende dich dann mit deiner ausfürhluchen Frage an den Fach-Chat, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht. Den Button findest du rechts oben neben "Mein Sofa". Dort bekommst du dann nochmal individuelle Hilfe von Mathe-Experten.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 5 Jahren
  30. Default

    Verstehe ich nicht... bis jetzt hab ich hier alles Verstanden aber bei dem Video (weis nicht ob es am Thema liegt ^^) verstehe ich gar nichts. :/ Und nachher schreibe ich eine Arbeit. ._.

    Von Achim Nestler, vor fast 5 Jahren
  31. Default

    super

    Von Familiedachs, vor fast 5 Jahren
  32. Default

    im Unterricht haben wir das aber i.wie anders gerechnet ;o jetzt bin ich verwirrt !

    Von Andreas Boehme, vor etwa 6 Jahren
  33. Default

    An Tamibelle und Michelle97:
    Es ist völlig egal ob a²=p*c oder a²=q*c
    Denn: Es hängt von der Bezeichnung des Dreiecks ab.
    Merkt euch einfach: beides (das Quadrat a² (oder b²) und p/q) müssen auf der gleichen Seite, sprich links/rechts des Dreiecks sein. So könnt ihr leicht bestimmen ob die Strecke p zum Quadrat a² oder b² gehört. (selbiges natürlich auch mit q) Die zueinander gehörenden Variablen dann einfach in die Gleichung einbringen. a²=p*c a²=q*c b²=p*c b²=q*c Das sind die verschiedenen Möglichkeiten.
    Ich hoffe ich konnte euch helfen :)
    MfG Jonas

    Von Jonemi, vor etwa 7 Jahren
  34. Default

    bei mir im Buch sind die Formeln auch umgekehrt:
    a2 = p*c
    b2 = q*c

    Von Deleted User 34524, vor etwa 7 Jahren
  35. Default

    Wieso ist diese Formel anders wie in meinem Mathebuch ? In meinem Mathebuch steht: b2=q*c

    Von Michelle97, vor mehr als 7 Jahren
Mehr Kommentare

Kathetensatz und Höhensatz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kathetensatz und Höhensatz kannst du es wiederholen und üben.

  • Fasse den Satz des Pythagoras, den Katheten- und den Höhensatz zusammen.

    Tipps

    Diese Sätze funktionieren nur, wenn das Dreieck einen rechten Winkel besitzt.

    Das Quadrat einer Seite $a$ drückst du durch $a^2$ aus.

    Welche Seite wird beim Kathetensatz und welche beim Höhensatz quadriert?

    Lösung

    Merke dir, dass die hier behandelten Sätze nur in rechtwinkligen Dreiecken gelten. Für stumpfwinklige sowie alle anderen nicht rechtwinkligen Dreiecke funktionieren der Satz des Pythagoras, der Katheten- und Höhensatz nicht.

    Beim Satz des Pythagoras entspricht die Summe der Flächenquadrate über den Katheten gleich dem Flächenquadrat über der Hypotenuse: $a^2+b^2=c^2$.

    Der Kathetensatz besagt, dass das Flächenquadrat einer Kathete der Rechteckfläche, bestehend aus dem gegenüberliegenden Hypotenusenabschnitt und der Hypotenuse, $b^2=c\cdot p$ und $a^2=c\cdot q$ entspricht.

    Beim Höhensatz sind die Quadratfläche über der Höhe und die Rechteckfläche mit den Seiten der Hypotenusenabschnitte gleich: $h^2=p\cdot q$.

  • Beschreibe in Formeln die Sätze im rechtwinkligen Dreieck.

    Tipps

    Wenn du die Kathetensätze aufstellen willst, dann achte darauf, dass die Kathete zum richtigen Hypotenusenabschnitt passt.

    Welche Flächenquadrate werden beim Satz des Pythagoras in Relation gesetzt?

    Lösung

    Beachte, dass beim Kathetensatz die Katheten mit den benachbarten Hypotenusenabschnitten in Beziehung gesetzt werden. In Formel ausgedrückt:

    $\begin{align} a^2=c\cdot p \quad \mbox{bzw.} \quad b^2=c\cdot q. \end{align}$

    Beim Satz des Pythagoras ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat:

    $\begin{align} a^2+b^2=c^2. \end{align}$

    Nach dem Höhensatz ist das Flächenquadrat über der Höhe h gleich dem Rechteckinhalt mit den Seiten der Hypotenusenabschnitten p und q:

    $\begin{align} p\cdot q = h^2. \end{align}$

  • Schildere, wie du den Hypotenusenabschnitt p berechnen kannst.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, wie die gegebenen und gesuchten Größen zusammenhängen.

    Nutze den Zusammenhang zwischen den Katheten und der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.

    Was erhältst du, wenn du die gegebenen Werte einsetzt?

    Lösung

    Ziel ist es, den Hypotenusenabschnitt p durch die Dreiecksseiten a und c auszudrücken.

    Wir können dabei auf die Kathetensätze

    $\begin{align} a^2=c\cdot q \quad \mbox{und} \quad b^2=c\cdot p, \end{align}$

    , den Satz des Pythagoras

    $\begin{align} a^2+b^2=c^2 \end{align}$

    oder den Höhensatz

    $\begin{align} h^2=p\cdot q \end{align}$

    zurückgreifen.

    Besonders geeignet ist der zweite Kathetensatz, denn er stellt schon einmal einen Zusammenhang zwischen der Zielgröße p und der gegebenen Größe c dar: $p=\frac{b^2}{c}$. Leider ist die Größe von $b^2$ nicht gegeben. Diese kann aber mit Hilfe des Satzes des Pythagoras durch a und c ausgedrückt werden: $b^2=c^2-a^2$.

    $b^2$ in die erste Gleichung eingesetzt ergibt $p=\frac{c^2-a^2}{c}$ bzw. für unsere gegebenen Werte $p = \frac{(10~cm)^2-(6~cm)^2}{10~cm} = 6,4 ~cm$.

  • Leite den Kathetensatz und den Höhensatz her.

    Tipps

    Für was stehen S und W?

    Suche gleiche Winkel und Seitenverhältnisse, um zu zeigen, dass zwei Dreiecke ähnlich sind.

    Der Ähnlichkeitssatz SWS bedeutet, dass die Seitenverhältnisse zweier Seiten und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen.

    Passe bei den Ähnlichkeitssätzen auf, dass du die richtigen Seitenverhältnisse betrachtest.

    Setze $\alpha := \sphericalangle BCD$ und berechne die Winkel $\sphericalangle DCA$ und $\sphericalangle CAD$.

    Lösung

    Den Kathetensatz und den Höhensatz kannst du mit Hilfe der Ähnlichkeitssätze herleiten.

    Beispielsweise sind die Dreiecke ACD und ABC nach dem Kriterium WW (Kurzform für WinkelWinkel) ähnlich, denn sie haben jeweils einen rechten Winkel und den Winkel BAC gemeinsam. Wählen wir die richtigen Seitenverhältnisse, gilt: $\frac{c}{a}=\frac{a}{q}$ bzw. $a^2=c\cdot q$. Durch ähnliche Überlegungen erhalten wir auch den anderen Kathetensatz $b^2=c\cdot p$.

    Der Nachweis des Höhensatzes ist schwieriger, da man die gleichen Winkel nicht gleich erkennt. Natürlich haben die Dreiecke ADC und CDB wieder jeweils einen rechten Winkel. Doch welche Winkel stimmen noch überein?

    Dazu setzen wir $\alpha =\sphericalangle ACD$. Da bei C ein rechter Winkel ist, gilt $\sphericalangle DCB=90°-\alpha$. Wegen des Satzes zur Innenwinkelsumme im Dreieck DCB gilt $\sphericalangle DBC=\alpha$, denn $90°+(90°-\alpha)+\alpha=180°$. Die Winkel $\sphericalangle ACD$ und $\sphericalangle DBC$ stimmen also überein.

    Die Dreiecke ACD und ABC sind also tatsächlich ähnlich. Es gilt $\frac{h}{p}=\frac{q}{h}$ und somit der Höhensatz $h^2=p\cdot q$.

  • Entscheide, ob der Weihnachtsbaum ins Zimmer passt.

    Tipps

    Der Hypotenusenabschnitt zur Kathete $a$ heißt $q$, der Hypotenusenabschnitt zur Kathete $b$ heißt $p$.

    Die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ ergänzen sich zu $c$.

    Berechne zuerst $h^2$, bevor du die Höhe selber ermittelst.

    Lösung

    Mit dem Kathetensatz $a^2=c\cdot q$ können wir den Kathetenabschnitt $q=\frac{a^2}{c}=\frac{9}{5}=1,8~m$ berechnen. Die Kathetenabschnitte ergänzen sich zu $c = 5~m$, sodass der andere Kathetenabschnitt $p$ eine Länge von $c - q = 3,2~m$ hat.

    Mit dem Höhensatz gilt dann $h^2=p\cdot q=\frac{16\cdot 9}{25}=5,76~m^2$ bzw. $h=\sqrt{5,76}=2,4~m$. Das Zimmer ist an der höchsten Stelle also $10~cm$ zu niedrig, sodass der Weihnachtsbaum nicht komplett ins Zimmer passt.

  • Ermittle die fehlenden Seitenlängen.

    Tipps

    Wie heißt der Zusammenhang zwischen $a$, $b$ und $c$ in einem rechtwinkligen Dreieck?

    Bestimme die Hypotenusenabschnitte mit den Kathetensätzen.

    Die Hypotenusenabschnitte $p$ und $q$ ergänzen sich zu $c$.

    Was besagt der Höhensatz?

    Lösung

    Der Satz des Pythagoras, die Kathetensätze und der Höhensatz sind wichtige Sätze im rechtwinkligen Dreieck. Wir suchen die Seitenlängen $a$, $p$, $q$ und $h$ für gegebene Werte $c = 25~cm$ und $b = 15~cm$.

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt $a^2+b^2=c^2$ bzw. umgestellt $a^2=c^2-b^2=625~cm^2 -225~cm^2 = 400~cm^2$. Damit haben wir $a = 20~cm$ als die andere Kathetenlänge bestimmt.

    Als nächstes wenden wir uns den Hypotenusenabschnitten $p$ und $q$ zu: Nach dem Kathetensatz gilt $b^2=c\cdot p$ bzw. umgestellt $p=\frac{b^2}{c}=\frac{225}{25}= 9~cm$. Da sich die Hypotenusenabschnitte zur Seite $c = 25~cm$ ergänzen, haben wir auch $q=c-p= 16~cm$.

    Schließlich können wir auch noch die Höhe mit Hilfe des Höhensatzes bestimmen. Es gilt nämlich $h^2=p\cdot q = 144~cm^2$ und nach Wurzelziehen $h= 12~cm$.